Théorème de Pythagore : cours complet 3ème
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Le théorème de Pythagore : cours complet pour la 3ème
Le théorème de Pythagore est un des théorèmes les plus importants en mathématiques. Il établit une relation entre les côtés d'un triangle rectangle. En 3ème, tu dois maîtriser le théorème direct, sa réciproque et sa contraposée pour le brevet.
- Énoncer et appliquer le théorème de Pythagore
- Calculer une longueur dans un triangle rectangle
- Utiliser la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle
- Utiliser la contraposée pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
1. Énoncé du théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans un triangle ABC rectangle en A :
BC2 = AB2 + AC2
L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle. C'est le côté opposé à l'angle droit.
2. La formule de Pythagore
Calculer l'hypoténuse
Triangle ABC rectangle en A. AB = 3 cm, AC = 4 cm. Calculer BC.
D'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
BC = racine(25) = 5 cm
Calculer un côté de l'angle droit
Triangle DEF rectangle en D. EF = 13 cm, DE = 5 cm. Calculer DF.
EF est l'hypoténuse (angle droit en D).
EF2 = DE2 + DF2
132 = 52 + DF2
169 = 25 + DF2
DF2 = 169 - 25 = 144
DF = racine(144) = 12 cm
3. La réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est opposé au plus grand côté.
Exemple
Triangle GHI : GH = 6, HI = 8, GI = 10. Est-il rectangle ?
Plus grand côté : GI = 10.
GI2 = 102 = 100
GH2 + HI2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
GI2 = GH2 + HI2
D'après la réciproque de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en H.
4. La contraposée du théorème de Pythagore
Si le carré du plus grand côté n'est PAS égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est PAS rectangle.
Côtés : 5, 7, 9. Rectangle ?
92 = 81
52 + 72 = 25 + 49 = 74
81 différent de 74
Ce triangle n'est pas rectangle.
5. Méthode de rédaction pour le brevet
- Identifier : nommer le triangle, préciser l'angle droit
- Énoncer : D'après le théorème de Pythagore...
- Calculer : poser l'égalité et calculer
- Conclure : donner le résultat avec l'unité
6. Applications concrètes
- Diagonale d'un rectangle ou d'un carré
- Distance entre deux points dans un repère
- Vérifier un angle droit en construction
- Combiner avec Thalès au brevet
7. Fiche de révision
| Élément | À retenir |
|---|---|
| Théorème direct | Triangle rectangle : hypoténuse2 = côte12 + côte22 |
| Réciproque | Égalité vérifiée : triangle rectangle |
| Contraposée | Égalité non vérifiée : pas rectangle |
| Hypoténuse | Plus grand côté, opposé à l'angle droit |
Entraîne-toi avec les exercices corrigés Pythagore. Combine avec le théorème de Thalès pour le brevet.
