Exercices corrigés Pythagore 3ème
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Exercices corrigés Pythagore 3ème : fiche complète pour s'entrainer vraiment
Le théorème de Pythagore fait partie des incontournables du programme de 3ème de l'Education nationale. On le retrouve partout : dans les triangles rectangles, les diagonales de rectangles, les distances sur un quadrillage, et bien sûr dans les exercices type brevet. Cette fiche rassemble des Exercices corrigés Pythagore 3ème progressifs, avec des questions simples au départ puis des situations plus riches, exactement dans l'esprit attendu en fin de collège.
Rappel express. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : BC2 = AB2 + AC2.
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit : c'est aussi le plus long côté.
La réciproque permet de montrer qu'un triangle est rectangle.
La contraposée permet de montrer qu'il ne l'est pas.
Petit réflexe qui sauve des points au brevet : avant de calculer, repère l'angle droit ou, s'il n'est pas donné, identifie le plus grand côté. Beaucoup d'erreurs viennent de là, pas du calcul lui-même. Anecdote amusante : le triplet 3-4-5 et ses multiples sont si célèbres qu'on les utilisait déjà dans l'Antiquité pour tracer des angles droits sur les chantiers.
Si tu veux revoir la méthode avant de te lancer, fais un passage par le cours Pythagore 3ème. Et si tu bloques surtout sur la distinction entre theorem, réciproque et contraposée, une fiche spécifique sur les méthodes de démonstration peut faire gagner un temps fou.
Progression pédagogique. Les exercices 1 à 5 servent à automatiser le calcul. Les exercices 6 à 10 introduisent la rédaction et les cas typiques du brevet. Les exercices 11 à 13 demandent davantage de raisonnement. Compte environ 15 minutes pour la première série, 20 à 25 minutes pour la deuxième, puis 20 minutes pour l'approfondissement. C'est très proche d'une vraie séance de révision de 3ème.
Comment rédiger un exercice de Pythagore au brevet
Présentation attendue au collège.
1. Je précise pourquoi j'utilise le théorème de Pythagore : “Le triangle ABC est rectangle en A.”
2. J'écris la relation correcte : BC2 = AB2 + AC2.
3. Je remplace par les valeurs numériques.
4. Je calcule.
5. Je donne la réponse avec l'unité.
Modèle de rédaction type brevet.
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64 = 100
Donc BC = 10 cm.
Cette mise en forme parait très scolaire, mais elle fait gagner des points. Au brevet, une ligne sautée au bon endroit rend la copie tout de suite plus lisible.
Erreurs fréquentes. Confondre l'hypoténuse avec un autre côté. Oublier le carré sur une longueur. Ecrire 62 + 82 = 142, ce qui est faux. Donner 100 cm au lieu de 10 cm après avoir trouvé BC2 = 100. Sur les exercices de triangle rectangle, le piège classique reste toujours le même : on calcule bien, mais on ne répond pas à la question posée.
Pour t'entrainer sur les configurations les plus courantes, tu peux aussi travailler les triangles rectangles en 3ème, revoir la distance dans un repère ou t'exercer avec des sujets type brevet sur Pythagore. Le maillage entre ces chapitres est naturel : au fond, c'est souvent la même idée qui change de décor.
5 exercices d'application directe — difficulté 1/3
Ici, l'idée est simple : appliquer la formule sans piège. C'est la base. Et très franchement, quand cette base est solide, toute la suite devient plus légère.
Exercice 1 — Calculer l'hypoténuse
Dans le triangle ABC rectangle en A, on donne AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Calculer BC.
Correction de l'exercice 1
Le triangle ABC est rectangle en A. On applique donc le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64
BC2 = 100
Donc BC = 10 cm.
Petit détail utile : 6, 8 et 10 forment un multiple du célèbre triplet 3-4-5. Quand on commence à les reconnaitre, certains calculs vont presque deux fois plus vite.
Exercice 2 — Calculer un côté de l'angle droit
Dans le triangle RST rectangle en R, on donne ST = 15 cm et RS = 9 cm.
Calculer RT.
Correction de l'exercice 2
Le triangle RST est rectangle en R. L'hypoténuse est donc ST.
D'après le théorème de Pythagore :
ST2 = RS2 + RT2
On remplace :
152 = 92 + RT2
225 = 81 + RT2
RT2 = 225 - 81
RT2 = 144
Donc RT = 12 cm.
Le piège ici, c'est d'écrire RT2 = 152 + 92. Si tu fais ça, c'est que tu as perdu l'hypoténuse de vue.
Exercice 3 — Diagonale d'un rectangle
ABCD est un rectangle tel que AB = 12 cm et BC = 5 cm.
Calculer la longueur de la diagonale AC.
Correction de l'exercice 3
Dans un rectangle, les angles sont droits. Le triangle ABC est donc rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 122 + 52
AC2 = 144 + 25
AC2 = 169
Donc AC = 13 cm.
Fait peu connu : le triplet 5-12-13 apparait très souvent dans les exercices de rectangle, justement parce qu'il donne une diagonale entière.
Exercice 4 — Triangle rectangle avec nombres décimaux
Le triangle MNP est rectangle en N. On donne MN = 4,8 cm et NP = 6,4 cm.
Calculer MP.
Correction de l'exercice 4
Le triangle MNP est rectangle en N. On applique le théorème de Pythagore :
MP2 = MN2 + NP2
MP2 = 4,82 + 6,42
MP2 = 23,04 + 40,96
MP2 = 64
Donc MP = 8 cm.
Ce résultat surprend parfois, parce qu'on part de nombres décimaux et on arrive à un entier. Pourtant, 4,8 ; 6,4 ; 8 est encore un multiple de 3-4-5.
Exercice 5 — Distance sur quadrillage
Dans un repère, on considère les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6).
Calculer la distance AB.
On pourra imaginer le triangle rectangle formé par les déplacements horizontaux et verticaux. C'est exactement le même schéma que dans un triangle classique, juste habillé autrement.
Indication visuelle. Sur le quadrillage, passe de A à B en faisant d'abord 3 cases horizontalement, puis 4 cases verticalement. Tu obtiens un triangle rectangle dont AB est l'hypoténuse. Ce dessin, très simple, aide beaucoup les élèves qui bloquent sur la géométrie dans un repère.
Correction de l'exercice 5
Entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6), on a :
Déplacement horizontal : 4 - 1 = 3
Déplacement vertical : 6 - 2 = 4
On forme donc un triangle rectangle de côtés 3 et 4.
D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = 32 + 42
AB2 = 9 + 16
AB2 = 25
Donc AB = 5.
Si tu veux aller plus loin sur cette idée, la fiche sur la distance dans un repère reprend exactement ce mécanisme avec d'autres exemples.
5 exercices d'entrainement — difficulté 2/3
On monte d'un cran. Il faut choisir la bonne méthode, rédiger proprement, et parfois penser à la réciproque ou à la contraposée. C'est le coeur des Exercices corrigés Pythagore 3ème qu'on rencontre en contrôle.
Exercice 6 — Vérifier qu'un triangle est rectangle
Un triangle DEF a pour côtés DE = 5 cm, EF = 12 cm et DF = 13 cm.
Le triangle DEF est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.
Correction de l'exercice 6
Le plus grand côté est DF = 13 cm. Si le triangle est rectangle, alors DF serait l'hypoténuse.
On calcule :
DE2 + EF2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
DF2 = 132 = 169
On a donc DE2 + EF2 = DF2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle. L'angle droit est au sommet E, car le côté opposé à E est DF, le plus grand côté.
Ce triangle est un grand classique. On le croise dans des manuels depuis des générations, au point qu'il est presque devenu un personnage secondaire du programme.
Exercice 7 — Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
Un triangle GHI a pour côtés GH = 4 cm, GI = 6 cm et HI = 8 cm.
Ce triangle est-il rectangle ?
Correction de l'exercice 7
Le plus grand côté est HI = 8 cm. On teste donc l'égalité de Pythagore :
GH2 + GI2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
HI2 = 82 = 64
Comme 52 ≠ 64, l'égalité n'est pas vérifiée.
Donc le triangle GHI n'est pas rectangle.
Erreur fréquente : certains élèves voient 4, 6, 8 et pensent trop vite à un “presque triplet”. Justement, le “presque” ne suffit jamais en mathématiques.
Exercice 8 — Problème de l'échelle
Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Son pied se trouve à 3 m du mur.
A quelle hauteur le sommet de l'échelle touche-t-il le mur ?
Ce type de situation tombe très souvent, parce qu'il relie le calcul à une image concrète. Et entre nous, c'est l'un des classiques absolus du brevet.
Indication visuelle. Dessine un triangle rectangle : le mur forme le côté vertical, le sol le côté horizontal, l'échelle l'hypoténuse. On a donc un schéma 3-?-5. Avec un croquis, l'exercice devient presque immédiat.
Correction de l'exercice 8
On note h la hauteur atteinte sur le mur.
Le triangle formé par le mur, le sol et l'échelle est rectangle.
D'après le théorème de Pythagore :
52 = 32 + h2
25 = 9 + h2
h2 = 16
Donc h = 4 m.
Ce schéma concret est ancien : on retrouve des problèmes d'échelle dans des textes de géométrie bien avant les programmes modernes de l'Education nationale.
Exercice 9 — Côté manquant dans un triangle rectangle
Le triangle JKL est rectangle en J. On donne KL = 17 cm et JK = 8 cm.
Calculer JL.
Correction de l'exercice 9
Le triangle JKL est rectangle en J. L'hypoténuse est donc KL.
D'après le théorème de Pythagore :
KL2 = JK2 + JL2
172 = 82 + JL2
289 = 64 + JL2
JL2 = 225
Donc JL = 15 cm.
Le triplet 8-15-17 est moins connu que 3-4-5, mais il tombe souvent dans les exercices avec correction de niveau 3ème.
Exercice 10 — Diagonale d'un écran rectangulaire
Un écran rectangulaire mesure 48 cm de large et 36 cm de haut.
Calculer la longueur de sa diagonale.
Fait peu connu : les dimensions d'écrans utilisent souvent des couples qui simplifient les calculs, car ils sont liés à des triplets pythagoriciens. Ici, 36-48-60 en est un multiple.
Indication visuelle. Trace un rectangle de largeur 48 cm et de hauteur 36 cm, puis sa diagonale. Cette diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles identiques. C'est exactement le schéma attendu dans beaucoup de sujets de brevet.
Correction de l'exercice 10
On note d la diagonale de l'écran.
Le triangle formé par la largeur, la hauteur et la diagonale est rectangle.
D'après le théorème de Pythagore :
d2 = 482 + 362
d2 = 2304 + 1296
d2 = 3600
Donc d = 60 cm.
Si tu travailles aussi les diagonales et les rectangles, la fiche sur les exercices sur les triangles rectangles complète très bien cette série.
3 exercices d'approfondissement — difficulté 3/3
Là, il faut davantage raisonner. Rien d'inaccessible, mais il faut rester propre dans la rédaction. C'est souvent à ce niveau qu'on voit si la notion est vraiment acquise.
Exercice 11 — Triangle rectangle dans un rectangle partagé
ABCD est un rectangle tel que AB = 10 cm et BC = 24 cm. Les diagonales se coupent en O.
Calculer AC, puis AO.
Indice : dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.
Correction de l'exercice 11
Dans le rectangle ABCD, le triangle ABC est rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 102 + 242
AC2 = 100 + 576
AC2 = 676
Donc AC = 26 cm.
Or, dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [AC].
Ainsi :
AO = AC / 2 = 26 / 2 = 13
Donc AO = 13 cm.
Anecdote utile : beaucoup d'élèves pensent que les diagonales d'un rectangle sont juste égales. Elles sont aussi coupées en leur milieu, et ce détail change tout dans ce genre d'exercice.
Exercice 12 — Quadrillage et triangle rectangle caché
Dans un repère, on considère les points C(2 ; 1), D(8 ; 1) et E(8 ; 9).
Montrer que le triangle CDE est rectangle, puis calculer CE.
Indication visuelle. Place les trois points sur un quadrillage. Le segment [CD] est horizontal, le segment [DE] est vertical. Rien qu'au dessin, on voit déjà apparaitre l'angle droit en D. Ce genre d'exercice a l'air abstrait tant qu'on ne prend pas trente secondes pour tracer les axes.
Correction de l'exercice 12
Les points C(2 ; 1) et D(8 ; 1) ont la même ordonnée. Le segment [CD] est donc horizontal.
Les points D(8 ; 1) et E(8 ; 9) ont la même abscisse. Le segment [DE] est donc vertical.
Un segment horizontal et un segment vertical sont perpendiculaires. Donc le triangle CDE est rectangle en D.
Calculons maintenant les longueurs utiles :
CD = 8 - 2 = 6
DE = 9 - 1 = 8
D'après le théorème de Pythagore :
CE2 = CD2 + DE2
CE2 = 62 + 82
CE2 = 36 + 64
CE2 = 100
Donc CE = 10.
On retrouve encore un multiple du schéma 3-4-5. Les auteurs de sujets aiment ce type de nombres parce qu'ils permettent de se concentrer sur le raisonnement plutôt que sur une racine carrée compliquée.
Exercice 13 — Echelle et vérification de sécurité
Une échelle mesure 6,5 m. Son pied est placé à 2,5 m du mur.
Calcule la hauteur atteinte, puis indique si l'échelle dépasse 6 m de hauteur.
Indication visuelle. Reprends le schéma classique mur-sol-échelle. Cette fois, les nombres sont moins “propres”, donc il faut poser les calculs calmement. C'est typiquement le genre de question ou une rédaction nette fait la différence au brevet.
Correction de l'exercice 13
On note h la hauteur atteinte.
Le triangle formé par le mur, le sol et l'échelle est rectangle.
D'après le théorème de Pythagore :
6,52 = 2,52 + h2
42,25 = 6,25 + h2
h2 = 42,25 - 6,25
h2 = 36
Donc h = 6 m.
L'échelle atteint exactement 6 m. Elle ne dépasse pas 6 m.
Le piège ici est très scolaire : certains lisent “dépasse 6 m” et répondent oui parce qu'ils trouvent 6. Or 6 n'est pas strictement supérieur à 6.
Pièges classiques dans les exercices corrigés Pythagore 3ème
Piège 1. Utiliser Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle, ou sans l'avoir prouvé avant. C'est une faute de méthode très fréquente en 3ème.
Piège 2. Oublier que l'hypoténuse est le plus grand côté. Si ton résultat final donne un côté de l'angle droit plus grand que l'hypoténuse, il y a forcément une erreur.
Piège 3. Confondre le théorème de Pythagore et sa réciproque. L'un sert à calculer, l'autre à prouver qu'un triangle rectangle l'est vraiment.
Piège 4. Dans un repère ou sur quadrillage, oublier de calculer les écarts horizontaux et verticaux avant d'appliquer la formule.
Piège 5. Laisser une réponse sans unité. Au brevet, c'est un détail qui coute des points plus souvent qu'on ne le croit.
FAQ rapide — théorème de Pythagore 3ème
Quand utiliser le théorème de Pythagore en 3ème ?
Quand on travaille dans un triangle rectangle et qu'on veut calculer une longueur. C'est l'un des attendus explicites du programme de l'Education nationale en cycle 4.
Quand utiliser la réciproque ?
Quand on connait les trois longueurs d'un triangle et qu'on veut montrer qu'il est rectangle.
Pourquoi retrouve-t-on souvent des nombres comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ?
Parce que ce sont des triplets pythagoriciens. Ils rendent les calculs plus simples et apparaissent très souvent dans les exercices avec correction et dans les sujets de brevet.
Comment progresser vite sur les exercices corrigés Pythagore 3ème ?
En travaillant d'abord les calculs directs, puis les preuves avec la réciproque, puis les problèmes plus concrets : rectangle, échelle, quadrillage, distance dans un repère. C'est exactement l'ordre suivi dans cette fiche.
Pour continuer après ces exercices corrigés Pythagore 3ème
Tu as maintenant une série complète de Exercices corrigés Pythagore 3ème, du calcul direct jusqu'aux questions plus proches du brevet. Si certains exercices t'ont paru faciles, passe à des sujets mélangés avec la préparation au brevet. Si c'est la rédaction qui bloque encore, reviens au cours sur le théorème de Pythagore en 3ème puis travaille la réciproque et la contraposée. Et pour varier les contextes, la fiche sur la distance dans un repère ou les exercices sur les triangles rectangles prolonge très bien l'entrainement.
Le plus efficace reste simple : refaire quelques exercices corrigés Pythagore 3ème en rédigeant proprement, comme en contrôle. Deux ou trois séances courtes valent souvent mieux qu'une longue révision brouillonne.
