Exercices corriges Pythagore 3eme
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Exercices corriges Pythagore 3eme : fiche complete pour s'entrainer vraiment
Le theoreme de Pythagore fait partie des incontournables du programme de 3eme de l'Education nationale. On le retrouve partout : dans les triangles rectangles, les diagonales de rectangles, les distances sur un quadrillage, et bien sûr dans les exercices type brevet. Cette fiche rassemble des Exercices corriges Pythagore 3eme progressifs, avec des questions simples au depart puis des situations plus riches, exactement dans l'esprit attendu en fin de college.
Rappel express. Dans un triangle rectangle, le carre de l'hypotenuse est egal a la somme des carres des deux autres cotes.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : BC2 = AB2 + AC2.
L'hypotenuse est toujours le cote oppose a l'angle droit : c'est aussi le plus long cote.
La reciproque permet de montrer qu'un triangle est rectangle.
La contraposee permet de montrer qu'il ne l'est pas.
Petit reflexe qui sauve des points au brevet : avant de calculer, repere l'angle droit ou, s'il n'est pas donne, identifie le plus grand cote. Beaucoup d'erreurs viennent de la, pas du calcul lui-meme. Anecdote amusante : le triplet 3-4-5 et ses multiples sont si celebres qu'on les utilisait deja dans l'Antiquite pour tracer des angles droits sur les chantiers.
Si tu veux revoir la methode avant de te lancer, fais un passage par le cours Pythagore 3eme. Et si tu bloques surtout sur la distinction entre theorem, reciproque et contraposee, une fiche specifique sur les methodes de demonstration peut faire gagner un temps fou.
Progression pedagogique. Les exercices 1 a 5 servent a automatiser le calcul. Les exercices 6 a 10 introduisent la redaction et les cas typiques du brevet. Les exercices 11 a 13 demandent davantage de raisonnement. Compte environ 15 minutes pour la premiere serie, 20 a 25 minutes pour la deuxieme, puis 20 minutes pour l'approfondissement. C'est tres proche d'une vraie seance de revision de 3eme.
Comment rediger un exercice de Pythagore au brevet
Presentation attendue au college.
1. Je precise pourquoi j'utilise le theoreme de Pythagore : “Le triangle ABC est rectangle en A.”
2. J'ecris la relation correcte : BC2 = AB2 + AC2.
3. Je remplace par les valeurs numeriques.
4. Je calcule.
5. Je donne la reponse avec l'unite.
Modele de redaction type brevet.
Dans le triangle ABC rectangle en A, d'apres le theoreme de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64 = 100
Donc BC = 10 cm.
Cette mise en forme parait tres scolaire, mais elle fait gagner des points. Au brevet, une ligne sautee au bon endroit rend la copie tout de suite plus lisible.
Erreurs frequentes. Confondre l'hypotenuse avec un autre cote. Oublier le carre sur une longueur. Ecrire 62 + 82 = 142, ce qui est faux. Donner 100 cm au lieu de 10 cm apres avoir trouve BC2 = 100. Sur les exercices de triangle rectangle, le piege classique reste toujours le meme : on calcule bien, mais on ne repond pas a la question posee.
Pour t'entrainer sur les configurations les plus courantes, tu peux aussi travailler les triangles rectangles en 3eme, revoir la distance dans un repere ou t'exercer avec des sujets type brevet sur Pythagore. Le maillage entre ces chapitres est naturel : au fond, c'est souvent la meme idee qui change de decor.
5 exercices d'application directe — difficulte 1/3
Ici, l'idee est simple : appliquer la formule sans piege. C'est la base. Et tres franchement, quand cette base est solide, toute la suite devient plus legere.
Exercice 1 — Calculer l'hypotenuse
Dans le triangle ABC rectangle en A, on donne AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Calculer BC.
Correction de l'exercice 1
Le triangle ABC est rectangle en A. On applique donc le theoreme de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 62 + 82
BC2 = 36 + 64
BC2 = 100
Donc BC = 10 cm.
Petit detail utile : 6, 8 et 10 forment un multiple du celebre triplet 3-4-5. Quand on commence a les reconnaitre, certains calculs vont presque deux fois plus vite.
Exercice 2 — Calculer un cote de l'angle droit
Dans le triangle RST rectangle en R, on donne ST = 15 cm et RS = 9 cm.
Calculer RT.
Correction de l'exercice 2
Le triangle RST est rectangle en R. L'hypotenuse est donc ST.
D'apres le theoreme de Pythagore :
ST2 = RS2 + RT2
On remplace :
152 = 92 + RT2
225 = 81 + RT2
RT2 = 225 - 81
RT2 = 144
Donc RT = 12 cm.
Le piege ici, c'est d'ecrire RT2 = 152 + 92. Si tu fais ca, c'est que tu as perdu l'hypotenuse de vue.
Exercice 3 — Diagonale d'un rectangle
ABCD est un rectangle tel que AB = 12 cm et BC = 5 cm.
Calculer la longueur de la diagonale AC.
Correction de l'exercice 3
Dans un rectangle, les angles sont droits. Le triangle ABC est donc rectangle en B.
D'apres le theoreme de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 122 + 52
AC2 = 144 + 25
AC2 = 169
Donc AC = 13 cm.
Fait peu connu : le triplet 5-12-13 apparait tres souvent dans les exercices de rectangle, justement parce qu'il donne une diagonale entiere.
Exercice 4 — Triangle rectangle avec nombres decimaux
Le triangle MNP est rectangle en N. On donne MN = 4,8 cm et NP = 6,4 cm.
Calculer MP.
Correction de l'exercice 4
Le triangle MNP est rectangle en N. On applique le theoreme de Pythagore :
MP2 = MN2 + NP2
MP2 = 4,82 + 6,42
MP2 = 23,04 + 40,96
MP2 = 64
Donc MP = 8 cm.
Ce resultat surprend parfois, parce qu'on part de nombres decimaux et on arrive a un entier. Pourtant, 4,8 ; 6,4 ; 8 est encore un multiple de 3-4-5.
Exercice 5 — Distance sur quadrillage
Dans un repere, on considere les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6).
Calculer la distance AB.
On pourra imaginer le triangle rectangle forme par les deplacements horizontaux et verticaux. C'est exactement le meme schema que dans un triangle classique, juste habille autrement.
Indication visuelle. Sur le quadrillage, passe de A a B en faisant d'abord 3 cases horizontalement, puis 4 cases verticalement. Tu obtiens un triangle rectangle dont AB est l'hypotenuse. Ce dessin, tres simple, aide beaucoup les eleves qui bloquent sur la geometrie dans un repere.
Correction de l'exercice 5
Entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6), on a :
Deplacement horizontal : 4 - 1 = 3
Deplacement vertical : 6 - 2 = 4
On forme donc un triangle rectangle de cotes 3 et 4.
D'apres le theoreme de Pythagore :
AB2 = 32 + 42
AB2 = 9 + 16
AB2 = 25
Donc AB = 5.
Si tu veux aller plus loin sur cette idee, la fiche sur la distance dans un repere reprend exactement ce mecanisme avec d'autres exemples.
5 exercices d'entrainement — difficulte 2/3
On monte d'un cran. Il faut choisir la bonne methode, rediger proprement, et parfois penser a la reciproque ou a la contraposee. C'est le coeur des Exercices corriges Pythagore 3eme qu'on rencontre en controle.
Exercice 6 — Verifier qu'un triangle est rectangle
Un triangle DEF a pour cotes DE = 5 cm, EF = 12 cm et DF = 13 cm.
Le triangle DEF est-il rectangle ? Si oui, preciser en quel sommet.
Correction de l'exercice 6
Le plus grand cote est DF = 13 cm. Si le triangle est rectangle, alors DF serait l'hypotenuse.
On calcule :
DE2 + EF2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
DF2 = 132 = 169
On a donc DE2 + EF2 = DF2.
D'apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle DEF est rectangle. L'angle droit est au sommet E, car le cote oppose a E est DF, le plus grand cote.
Ce triangle est un grand classique. On le croise dans des manuels depuis des generations, au point qu'il est presque devenu un personnage secondaire du programme.
Exercice 7 — Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
Un triangle GHI a pour cotes GH = 4 cm, GI = 6 cm et HI = 8 cm.
Ce triangle est-il rectangle ?
Correction de l'exercice 7
Le plus grand cote est HI = 8 cm. On teste donc l'egalite de Pythagore :
GH2 + GI2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
HI2 = 82 = 64
Comme 52 ≠ 64, l'egalite n'est pas verifiee.
Donc le triangle GHI n'est pas rectangle.
Erreur frequente : certains eleves voient 4, 6, 8 et pensent trop vite a un “presque triplet”. Justement, le “presque” ne suffit jamais en mathematiques.
Exercice 8 — Probleme de l'echelle
Une echelle de 5 m est posee contre un mur vertical. Son pied se trouve a 3 m du mur.
A quelle hauteur le sommet de l'echelle touche-t-il le mur ?
Ce type de situation tombe tres souvent, parce qu'il relie le calcul a une image concrete. Et entre nous, c'est l'un des classiques absolus du brevet.
Indication visuelle. Dessine un triangle rectangle : le mur forme le cote vertical, le sol le cote horizontal, l'echelle l'hypotenuse. On a donc un schema 3-?-5. Avec un croquis, l'exercice devient presque immediat.
Correction de l'exercice 8
On note h la hauteur atteinte sur le mur.
Le triangle forme par le mur, le sol et l'echelle est rectangle.
D'apres le theoreme de Pythagore :
52 = 32 + h2
25 = 9 + h2
h2 = 16
Donc h = 4 m.
Ce schema concret est ancien : on retrouve des problemes d'echelle dans des textes de geometrie bien avant les programmes modernes de l'Education nationale.
Exercice 9 — Cote manquant dans un triangle rectangle
Le triangle JKL est rectangle en J. On donne KL = 17 cm et JK = 8 cm.
Calculer JL.
Correction de l'exercice 9
Le triangle JKL est rectangle en J. L'hypotenuse est donc KL.
D'apres le theoreme de Pythagore :
KL2 = JK2 + JL2
172 = 82 + JL2
289 = 64 + JL2
JL2 = 225
Donc JL = 15 cm.
Le triplet 8-15-17 est moins connu que 3-4-5, mais il tombe souvent dans les exercices avec correction de niveau 3eme.
Exercice 10 — Diagonale d'un ecran rectangulaire
Un ecran rectangulaire mesure 48 cm de large et 36 cm de haut.
Calculer la longueur de sa diagonale.
Fait peu connu : les dimensions d'ecrans utilisent souvent des couples qui simplifient les calculs, car ils sont lies a des triplets pythagoriciens. Ici, 36-48-60 en est un multiple.
Indication visuelle. Trace un rectangle de largeur 48 cm et de hauteur 36 cm, puis sa diagonale. Cette diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles identiques. C'est exactement le schema attendu dans beaucoup de sujets de brevet.
Correction de l'exercice 10
On note d la diagonale de l'ecran.
Le triangle forme par la largeur, la hauteur et la diagonale est rectangle.
D'apres le theoreme de Pythagore :
d2 = 482 + 362
d2 = 2304 + 1296
d2 = 3600
Donc d = 60 cm.
Si tu travailles aussi les diagonales et les rectangles, la fiche sur les exercices sur les triangles rectangles complete tres bien cette serie.
3 exercices d'approfondissement — difficulte 3/3
La, il faut davantage raisonner. Rien d'inaccessible, mais il faut rester propre dans la redaction. C'est souvent a ce niveau qu'on voit si la notion est vraiment acquise.
Exercice 11 — Triangle rectangle dans un rectangle partage
ABCD est un rectangle tel que AB = 10 cm et BC = 24 cm. Les diagonales se coupent en O.
Calculer AC, puis AO.
Indice : dans un rectangle, les diagonales ont la meme longueur et se coupent en leur milieu.
Correction de l'exercice 11
Dans le rectangle ABCD, le triangle ABC est rectangle en B.
D'apres le theoreme de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 102 + 242
AC2 = 100 + 576
AC2 = 676
Donc AC = 26 cm.
Or, dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [AC].
Ainsi :
AO = AC / 2 = 26 / 2 = 13
Donc AO = 13 cm.
Anecdote utile : beaucoup d'eleves pensent que les diagonales d'un rectangle sont juste egales. Elles sont aussi coupees en leur milieu, et ce detail change tout dans ce genre d'exercice.
Exercice 12 — Quadrillage et triangle rectangle cache
Dans un repere, on considere les points C(2 ; 1), D(8 ; 1) et E(8 ; 9).
Montrer que le triangle CDE est rectangle, puis calculer CE.
Indication visuelle. Place les trois points sur un quadrillage. Le segment [CD] est horizontal, le segment [DE] est vertical. Rien qu'au dessin, on voit deja apparaitre l'angle droit en D. Ce genre d'exercice a l'air abstrait tant qu'on ne prend pas trente secondes pour tracer les axes.
Correction de l'exercice 12
Les points C(2 ; 1) et D(8 ; 1) ont la meme ordonnee. Le segment [CD] est donc horizontal.
Les points D(8 ; 1) et E(8 ; 9) ont la meme abscisse. Le segment [DE] est donc vertical.
Un segment horizontal et un segment vertical sont perpendiculaires. Donc le triangle CDE est rectangle en D.
Calculons maintenant les longueurs utiles :
CD = 8 - 2 = 6
DE = 9 - 1 = 8
D'apres le theoreme de Pythagore :
CE2 = CD2 + DE2
CE2 = 62 + 82
CE2 = 36 + 64
CE2 = 100
Donc CE = 10.
On retrouve encore un multiple du schema 3-4-5. Les auteurs de sujets aiment ce type de nombres parce qu'ils permettent de se concentrer sur le raisonnement plutot que sur une racine carree compliquee.
Exercice 13 — Echelle et verification de securite
Une echelle mesure 6,5 m. Son pied est place a 2,5 m du mur.
Calcule la hauteur atteinte, puis indique si l'echelle depasse 6 m de hauteur.
Indication visuelle. Reprends le schema classique mur-sol-echelle. Cette fois, les nombres sont moins “propres”, donc il faut poser les calculs calmement. C'est typiquement le genre de question ou une redaction nette fait la difference au brevet.
Correction de l'exercice 13
On note h la hauteur atteinte.
Le triangle forme par le mur, le sol et l'echelle est rectangle.
D'apres le theoreme de Pythagore :
6,52 = 2,52 + h2
42,25 = 6,25 + h2
h2 = 42,25 - 6,25
h2 = 36
Donc h = 6 m.
L'echelle atteint exactement 6 m. Elle ne depasse pas 6 m.
Le piege ici est tres scolaire : certains lisent “depasse 6 m” et repondent oui parce qu'ils trouvent 6. Or 6 n'est pas strictement superieur a 6.
Pieges classiques dans les exercices corriges Pythagore 3eme
Piege 1. Utiliser Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle, ou sans l'avoir prouve avant. C'est une faute de methode tres frequente en 3eme.
Piege 2. Oublier que l'hypotenuse est le plus grand cote. Si ton resultat final donne un cote de l'angle droit plus grand que l'hypotenuse, il y a forcement une erreur.
Piege 3. Confondre le theoreme de Pythagore et sa reciproque. L'un sert a calculer, l'autre a prouver qu'un triangle rectangle l'est vraiment.
Piege 4. Dans un repere ou sur quadrillage, oublier de calculer les ecarts horizontaux et verticaux avant d'appliquer la formule.
Piege 5. Laisser une reponse sans unite. Au brevet, c'est un detail qui coute des points plus souvent qu'on ne le croit.
FAQ rapide — theoreme de Pythagore 3eme
Quand utiliser le theoreme de Pythagore en 3eme ?
Quand on travaille dans un triangle rectangle et qu'on veut calculer une longueur. C'est l'un des attendus explicites du programme de l'Education nationale en cycle 4.
Quand utiliser la reciproque ?
Quand on connait les trois longueurs d'un triangle et qu'on veut montrer qu'il est rectangle.
Pourquoi retrouve-t-on souvent des nombres comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ?
Parce que ce sont des triplets pythagoriciens. Ils rendent les calculs plus simples et apparaissent tres souvent dans les exercices avec correction et dans les sujets de brevet.
Comment progresser vite sur les exercices corriges Pythagore 3eme ?
En travaillant d'abord les calculs directs, puis les preuves avec la reciproque, puis les problemes plus concrets : rectangle, echelle, quadrillage, distance dans un repere. C'est exactement l'ordre suivi dans cette fiche.
Pour continuer apres ces exercices corriges Pythagore 3eme
Tu as maintenant une serie complete de Exercices corriges Pythagore 3eme, du calcul direct jusqu'aux questions plus proches du brevet. Si certains exercices t'ont paru faciles, passe a des sujets melanges avec la preparation au brevet. Si c'est la redaction qui bloque encore, reviens au cours sur le theoreme de Pythagore en 3eme puis travaille la reciproque et la contraposee. Et pour varier les contextes, la fiche sur la distance dans un repere ou les exercices sur les triangles rectangles prolonge tres bien l'entrainement.
Le plus efficace reste simple : refaire quelques exercices corriges Pythagore 3eme en redigeant proprement, comme en controle. Deux ou trois seances courtes valent souvent mieux qu'une longue revision brouillonne.
