Theoreme de Pythagore : cours complet 3eme
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Le theoreme de Pythagore : cours complet pour la 3eme
Le theoreme de Pythagore est un des theoremes les plus importants en mathematiques. Il etablit une relation entre les cotes d'un triangle rectangle. En 3eme, tu dois maitriser le theoreme direct, sa reciproque et sa contraposee pour le brevet.
- Enoncer et appliquer le theoreme de Pythagore
- Calculer une longueur dans un triangle rectangle
- Utiliser la reciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle
- Utiliser la contraposee pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
1. Enonce du theoreme de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carre de l'hypotenuse est egal a la somme des carres des deux autres cotes.
Dans un triangle ABC rectangle en A :
BC2 = AB2 + AC2
L'hypotenuse est le cote le plus long du triangle rectangle. C'est le cote oppose a l'angle droit.
2. La formule de Pythagore
Calculer l'hypotenuse
Triangle ABC rectangle en A. AB = 3 cm, AC = 4 cm. Calculer BC.
D'apres le theoreme de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
BC = racine(25) = 5 cm
Calculer un cote de l'angle droit
Triangle DEF rectangle en D. EF = 13 cm, DE = 5 cm. Calculer DF.
EF est l'hypotenuse (angle droit en D).
EF2 = DE2 + DF2
132 = 52 + DF2
169 = 25 + DF2
DF2 = 169 - 25 = 144
DF = racine(144) = 12 cm
3. La reciproque du theoreme de Pythagore
La reciproque permet de demontrer qu'un triangle est rectangle.
Si dans un triangle, le carre du plus grand cote est egal a la somme des carres des deux autres cotes, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est oppose au plus grand cote.
Exemple
Triangle GHI : GH = 6, HI = 8, GI = 10. Est-il rectangle ?
Plus grand cote : GI = 10.
GI2 = 102 = 100
GH2 + HI2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
GI2 = GH2 + HI2
D'apres la reciproque de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en H.
4. La contraposee du theoreme de Pythagore
Si le carre du plus grand cote n'est PAS egal a la somme des carres des deux autres, alors le triangle n'est PAS rectangle.
Cotes : 5, 7, 9. Rectangle ?
92 = 81
52 + 72 = 25 + 49 = 74
81 different de 74
Ce triangle n'est pas rectangle.
5. Methode de redaction pour le brevet
- Identifier : nommer le triangle, preciser l'angle droit
- Enoncer : D'apres le theoreme de Pythagore...
- Calculer : poser l'egalite et calculer
- Conclure : donner le resultat avec l'unite
6. Applications concretes
- Diagonale d'un rectangle ou d'un carre
- Distance entre deux points dans un repere
- Verifier un angle droit en construction
- Combiner avec Thales au brevet
7. Fiche de revision
| Element | A retenir |
|---|---|
| Theoreme direct | Triangle rectangle : hypotenuse2 = cote12 + cote22 |
| Reciproque | Egalite verifiee : triangle rectangle |
| Contraposee | Egalite non verifiee : pas rectangle |
| Hypotenuse | Plus grand cote, oppose a l'angle droit |
Entraine-toi avec les exercices corriges Pythagore. Combine avec le theoreme de Thales pour le brevet.
