Theoreme de Thales : cours complet 3eme
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Le theoreme de Thales : cours complet pour la 3eme
Le theoreme de Thales est l'un des piliers du programme de mathematiques en 3eme. Il permet de calculer des longueurs dans des figures geometriques a partir de droites paralleles. Cette lecon complete t'explique le theoreme, sa reciproque, la methode de redaction et les configurations classiques (triangle et papillon).
- Enoncer et appliquer le theoreme de Thales
- Utiliser la reciproque du theoreme de Thales
- Rediger correctement une demonstration avec Thales
- Reconnaitre les configurations triangle et papillon
1. Enonce du theoreme de Thales
Le theoreme de Thales s'applique lorsque deux droites paralleles coupent deux droites secantes.
Soit deux droites (d) et (d') secantes en un point A.
Si une droite (BC) est parallele a une droite (DE), avec B et D sur (d), C et E sur (d'), alors :
AB/AD = AC/AE = BC/DE
En clair : quand deux droites paralleles coupent deux droites secantes, elles decoupent des segments proportionnels. C'est cette proportionnalite qui permet de calculer des longueurs inconnues.
2. La formule du theoreme de Thales
La formule de Thales s'ecrit sous forme de rapports egaux. Dans un triangle ABC ou une droite parallele a (BC) coupe (AB) en M et (AC) en N :
Ces trois rapports sont toujours egaux. Connaitre deux longueurs dans chaque rapport suffit pour calculer la troisieme.
Exemple concret
Dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC] tels que (MN) est parallele a (BC).
- AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm
- On cherche AN.
D'apres le theoreme de Thales : AM/AB = AN/AC
Donc : 3/5 = AN/7
AN = 3 x 7 / 5 = 4,2 cm
3. Les deux configurations du theoreme de Thales
Configuration en triangle
C'est la configuration la plus courante. Le point de croisement des secantes (le sommet) est a l'exterieur du segment forme par les paralleles. Les points M et N sont entre A et les sommets B et C.
Configuration en papillon (ou en sablier)
Dans la configuration papillon du theoreme de Thales, le point de croisement est entre les deux droites paralleles. Les segments se croisent au point A, formant un X.
4. Comment rediger avec le theoreme de Thales
La redaction du theoreme de Thales est un exercice classique au brevet. Voici le modele a suivre, etape par etape :
- Identifier la configuration : nommer les points et la figure (triangle ou papillon)
- Verifier les conditions : ecrire que les droites sont secantes en un point et qu'une droite est parallele a l'autre
- Enoncer le theoreme : « D'apres le theoreme de Thales... » suivi des rapports egaux
- Calculer : remplacer par les valeurs numeriques et effectuer le calcul
Exemple de redaction complete
Donnees : Dans la figure ci-dessous, les droites (MN) et (BC) sont paralleles. A, M, B sont alignes et A, N, C sont alignes. AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 3 cm, BC = 9 cm.
Calculer AC et MN.
Les droites (AM) et (AN) sont secantes en A.
Les droites (MN) et (BC) sont paralleles.
D'apres le theoreme de Thales :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
4/6 = 3/AC = MN/9
Pour AC : 4/6 = 3/AC donc AC = 3 x 6 / 4 = 4,5 cm
Pour MN : 4/6 = MN/9 donc MN = 4 x 9 / 6 = 6 cm
5. La reciproque du theoreme de Thales
La reciproque du theoreme de Thales permet de demontrer que deux droites sont paralleles.
Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignes dans le meme ordre, et si :
AM/AB = AN/AC
alors les droites (MN) et (BC) sont paralleles.
Exemple d'utilisation de la reciproque
A, M, B sont alignes. A, N, C sont alignes. AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5.
Calculons les rapports :
AM/AB = 2/5 = 0,4
AN/AC = 3/7,5 = 0,4
Les rapports sont egaux et les points sont dans le meme ordre.
D'apres la reciproque du theoreme de Thales, les droites (MN) et (BC) sont paralleles.
6. A quoi sert le theoreme de Thales ?
Le theoreme de Thales a de nombreuses applications concretes :
- Calculer des distances inaccessibles : hauteur d'un batiment, largeur d'une riviere
- Les plans et les echelles : cartes, maquettes, agrandissements et reductions
- La construction : tracer des paralleles, diviser un segment en parties egales
- Le brevet des colleges : exercice incontournable de l'epreuve de mathematiques
7. Fiche de revision — L'essentiel a retenir
| Element | A retenir |
|---|---|
| Theoreme direct | Droites paralleles + secantes = segments proportionnels |
| Formule | AM/AB = AN/AC = MN/BC |
| Reciproque | Rapports egaux + meme ordre = droites paralleles |
| Configuration triangle | Sommet a l'exterieur des paralleles |
| Configuration papillon | Sommet entre les paralleles |
| Redaction brevet | 4 etapes : config, conditions, enonce, calcul |
Pour aller plus loin
Maintenant que tu maitrises le cours, entraine-toi avec nos exercices corriges sur le theoreme de Thales pour le brevet. Tu peux aussi revoir le theoreme de Pythagore qui est souvent combine avec Thales dans les exercices du brevet.