Équations produit nul : (ax+b)(cx+d) = 0

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, on sait déjà résoudre des équations du premier degré comme 2x - 5 = 0 ou 3x + 6 = 0. Mais certaines équations semblent plus compliquées, par exemple : (2x - 1)(x + 3) = 0. On y voit deux expressions avec x, multipliées entre elles, et le résultat est égal à zéro. Faut-il développer ? Faut-il tout calculer ? La réponse importante est : non, pas forcément. Cette équation est déjà sous une forme très utile, appelée équation produit nul.

La situation-problème est la suivante : on cherche toutes les valeurs de x qui rendent le produit (2x - 1)(x + 3) égal à 0. Or, dans un produit, si un facteur vaut 0, alors tout le produit vaut 0. Par exemple, 0 × 7 = 0 et 12 × 0 = 0. Ainsi, pour que (2x - 1)(x + 3) soit nul, il suffit que 2x - 1 = 0 ou que x + 3 = 0.

La méthode repose donc sur une idée simple mais très puissante : un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Cette propriété permet de résoudre rapidement des équations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0, où a, b, c et d sont des nombres connus, et x est l’inconnue.

Objectif de la leçon : savoir reconnaître une équation produit nul, appliquer correctement la propriété A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0, résoudre les équations du premier degré obtenues, et factoriser lorsque l’équation n’est pas encore sous forme de produit.

2. Définition

Définition : Une équation produit nul est une équation dans laquelle un produit de facteurs est égal à zéro. Elle s’écrit par exemple A × B = 0, où A et B sont des expressions pouvant dépendre de x. En 3e, on rencontre souvent des équations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0.

Le mot repère est produit nul : « pro-duit nul ». Par exemple, si (x - 3)(2x + 5) = 0, alors x - 3 = 0 ou 2x + 5 = 0. On ne cherche pas directement à développer ; on utilise le fait que le produit vaut zéro.

Dans l’expression (2x - 1)(x + 3) = 0, les deux facteurs sont :

• 2x - 1 ;
• x + 3.

Dire que le produit est nul signifie que le premier facteur peut être nul, ou que le deuxième facteur peut être nul. On écrira donc :

2x - 1 = 0 ou x + 3 = 0.

Le mot « ou » est essentiel. Il ne signifie pas que les deux facteurs doivent forcément être nuls en même temps. Il signifie qu’au moins l’un des deux facteurs doit être nul.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres réels A et B, A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.

Ce théorème est appelé propriété du produit nul. Il s’écrit aussi :

A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.

Dans une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0, on applique cette propriété aux deux facteurs :

(ax + b)(cx + d) = 0 ⇔ ax + b = 0 ou cx + d = 0.

On obtient alors deux équations du premier degré à résoudre séparément :

• ax + b = 0 ;
• cx + d = 0.

Si a ≠ 0, la solution de ax + b = 0 est x = -b ÷ a. De même, si c ≠ 0, la solution de cx + d = 0 est x = -d ÷ c.

Attention : cette propriété ne s’applique que si le produit est égal à 0. Par exemple, on ne peut pas écrire que (x - 2)(x + 5) = 10 donne x - 2 = 10 ou x + 5 = 10. Ce serait faux. La propriété est spécifique au nombre zéro.

4. Démonstration

La propriété du produit nul est intuitive, mais on peut aussi la justifier rigoureusement. On veut montrer que, pour des nombres réels A et B, si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.

Supposons que A × B = 0. Deux cas sont possibles :

• Premier cas : A = 0. Alors la conclusion est vraie, car l’un des facteurs est nul.
• Deuxième cas : A ≠ 0. Comme A n’est pas nul, on peut diviser les deux membres de l’égalité A × B = 0 par A. On obtient alors B = 0 ÷ A, donc B = 0.

Dans tous les cas, si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Réciproquement, si A = 0, alors A × B = 0 × B = 0. Si B = 0, alors A × B = A × 0 = 0. Donc, dès qu’au moins un facteur est nul, le produit est nul.

On a donc bien l’équivalence :

A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.

Cette démonstration explique aussi pourquoi on emploie le mot ou et non le mot et. Par exemple, 0 × 5 = 0 : le produit est nul, mais les deux facteurs ne sont pas nuls. Seul le premier facteur vaut 0.

5. Méthode pas à pas

Pour résoudre une équation produit nul, on peut utiliser la routine suivante : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère : je vérifie que l’équation est bien sous la forme d’un produit égal à zéro. Exemple : (2x - 1)(x + 3) = 0. Le membre de gauche est un produit, et le membre de droite est 0.
2. J’identifie les facteurs : j’entoure mentalement ou sur ma copie les deux facteurs : 2x - 1 et x + 3.
3. J’applique la propriété : j’écris que chaque facteur peut être nul : 2x - 1 = 0 ou x + 3 = 0.
4. Je résous séparément : je résous les deux équations du premier degré obtenues, en faisant attention aux signes et aux divisions.
5. Je conclus : je donne l’ensemble des solutions, souvent noté S. Par exemple : S = { -3 ; 1 ÷ 2 }.
6. Je vérifie : je remplace x par chaque solution dans l’équation de départ pour confirmer que le produit vaut bien zéro.

Si l’équation n’est pas encore factorisée, il faut d’abord transformer l’expression pour obtenir un produit égal à zéro. On peut utiliser une mise en facteur commune, une identité remarquable ou une factorisation simple.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Résolvons l’équation suivante :

(3x + 6)(x - 4) = 0.

L’équation est déjà sous la forme d’un produit égal à zéro. Les deux facteurs sont 3x + 6 et x - 4. On applique la propriété du produit nul :

3x + 6 = 0 ou x - 4 = 0.

Résolvons la première équation :

3x + 6 = 0

3x = -6

x = -6 ÷ 3

x = -2

Résolvons la deuxième équation :

x - 4 = 0

x = 4

Les solutions de l’équation sont donc -2 et 4. On écrit :

S = { -2 ; 4 }.

Vérification rapide : si x = -2, alors 3x + 6 = 3 × (-2) + 6 = -6 + 6 = 0, donc le produit vaut 0. Si x = 4, alors x - 4 = 0, donc le produit vaut aussi 0. Les deux valeurs conviennent.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un cas inverse, on peut chercher une équation produit nul ayant des solutions données. Par exemple, construisons une équation produit nul dont les solutions sont x = 5 et x = -2.

Si x = 5 est une solution, alors un facteur peut être x - 5, car x - 5 = 0 lorsque x = 5. Si x = -2 est une solution, alors un autre facteur peut être x + 2, car x + 2 = 0 lorsque x = -2.

On peut donc écrire l’équation :

(x - 5)(x + 2) = 0.

Vérifions en appliquant la propriété du produit nul :

x - 5 = 0 ou x + 2 = 0

x = 5 ou x = -2

L’ensemble des solutions est bien :

S = { -2 ; 5 }.

On peut aussi construire une équation équivalente avec des coefficients. Par exemple :

(2x - 10)(3x + 6) = 0.

Le premier facteur s’annule pour x = 5, car 2x - 10 = 0 donne 2x = 10, donc x = 5. Le second facteur s’annule pour x = -2, car 3x + 6 = 0 donne 3x = -6, donc x = -2.

Ce type de raisonnement permet de comprendre le lien entre les solutions et les facteurs d’un produit nul.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un rectangle a pour dimensions, en centimètres, x + 2 et 2x - 6. On cherche pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle est nulle. Même si, dans un vrai problème géométrique, les longueurs doivent être positives, cet exemple permet de travailler l’équation associée.

L’aire d’un rectangle est donnée par :

longueur × largeur.

On obtient donc :

(x + 2)(2x - 6) = 0.

Cette équation est un produit nul. On applique la propriété :

x + 2 = 0 ou 2x - 6 = 0

Résolvons :

x + 2 = 0 donne x = -2.

2x - 6 = 0 donne 2x = 6, donc x = 3.

Les solutions de l’équation sont :

S = { -2 ; 3 }.

Interprétons dans le contexte. Si x = -2, alors la dimension x + 2 vaut 0. Si x = 3, alors la dimension 2x - 6 vaut 0. Dans les deux cas, l’aire est nulle car l’une des dimensions est égale à 0.

Dans un problème concret, il faut toujours vérifier si les solutions ont un sens. Par exemple, une longueur négative n’est pas possible en géométrie. Ici, x = -2 donne une dimension 2x - 6 = -10, qui n’est pas une longueur possible. Selon les contraintes du problème, on pourrait donc ne garder que x = 3.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : développer le produit au lieu d’utiliser la propriété du produit nul — À faire : reconnaître la forme factorisée et entourer les deux facteurs avant de résoudre.
• Erreur : écrire A × B = 0 donc A = 0 et B = 0 — À faire : écrire A = 0 ou B = 0, car un seul facteur nul suffit.
• Erreur : oublier une des deux solutions — À faire : présenter la résolution en deux colonnes : facteur 1 = 0, facteur 2 = 0.
• Erreur : se tromper dans une équation du type 3x + 6 = 0 — À faire : soustraire d’abord 6, puis diviser par 3 : 3x = -6, donc x = -2.
• Erreur : appliquer la propriété du produit nul alors que l’équation n’est pas égale à zéro — À faire : vérifier systématiquement que le second membre est 0.
• Erreur : confondre une somme et un produit, par exemple traiter (x + 2) + (x - 5) = 0 comme un produit nul — À faire : vérifier qu’il y a bien une multiplication entre les facteurs.

10. À retenir

• Une équation produit nul est une équation dans laquelle un produit de facteurs est égal à 0.
• La propriété essentielle est : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
• Dans l’équation (ax + b)(cx + d) = 0, on résout séparément ax + b = 0 et cx + d = 0.
• Le mot important est ou : les deux facteurs n’ont pas besoin d’être nuls en même temps.
• Il ne faut pas développer inutilement une forme déjà factorisée.
• Si l’équation n’est pas sous forme factorisée, on cherche d’abord à factoriser pour obtenir un produit égal à zéro.
• Une équation produit nul peut avoir deux solutions, une seule solution si les facteurs donnent la même valeur, ou parfois aucune solution réelle si la factorisation ne donne aucun facteur nul possible dans le contexte étudié.
• La conclusion doit être claire : on écrit l’ensemble des solutions, par exemple S = { -3 ; 1 ÷ 2 }.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : équations produit nul en 3e. La fiche propose plusieurs types d’exercices progressifs : repérer les facteurs dans une équation, résoudre des produits nuls simples, remettre une résolution dans l’ordre, factoriser puis résoudre, et choisir la bonne méthode selon la forme de l’équation.

Exemples d’exercices possibles :

• Repérer les facteurs : dans (5x - 2)(x + 7) = 0, identifier les deux facteurs.
• Résoudre des produits nuls simples : résoudre (x - 4)(2x + 8) = 0.
• Remettre la résolution dans l’ordre : replacer les étapes : propriété du produit nul, équations du premier degré, solutions, conclusion.
• Factoriser puis résoudre : résoudre x(x + 3) - 5(x + 3) = 0 en mettant d’abord x + 3 en facteur.
• Choisir la bonne méthode : décider s’il faut développer, factoriser ou appliquer directement la propriété du produit nul.

Barème conseillé pour une évaluation : reconnaître la forme produit nul, 4 points ; écrire correctement les deux équations à résoudre, 4 points ; résoudre les équations du premier degré sans erreur de calcul, 5 points ; factoriser correctement lorsque c’est nécessaire, 5 points ; présenter clairement l’ensemble des solutions et vérifier si demandé, 2 points.

12. Questions fréquentes