Équations du 1er degré : résoudre ax + b = 0

1. Introduction et problématique

Je pense à un nombre. Je le multiplie par 3, puis j'ajoute 7. J'obtiens 25. Quel est ce nombre ? On peut essayer plusieurs valeurs : si le nombre est 5, on obtient 3 × 5 + 7 = 22 ; si le nombre est 6, on obtient 3 × 6 + 7 = 25. Le nombre cherché est donc 6. Mais cette méthode par essais devient vite lente dès que les nombres sont moins simples. En classe de 3e, on apprend à traduire ce type de situation par une équation, ici 3x + 7 = 25, puis à la résoudre de manière méthodique. L'objectif est d'isoler l'inconnue x en respectant l'égalité, comme on garderait une balance en équilibre.

2. Définition

Une équation est une égalité dans laquelle figure au moins une inconnue, souvent notée x. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions de l'équation. En 3e, dans le domaine « Nombres et calcul », on étudie notamment les équations du premier degré à une inconnue, c'est-à-dire des équations où l'inconnue apparaît seulement à la puissance 1 : x, 2x, -5x, mais pas x².

Une équation du premier degré peut se présenter sous la forme ax + b = 0, où a et b sont des nombres connus et a est non nul. Elle peut aussi apparaître sous une forme équivalente, par exemple ax + b = c, ou encore ax + b = cx + d. Les lettres a, b, c et d désignent des nombres fixés ; la lettre x désigne l'inconnue.

Définition : une équation du premier degré à une inconnue est une égalité contenant une inconnue x, qui peut se ramener à la forme ax + b = 0 avec a ≠ 0. Résoudre cette équation consiste à déterminer la valeur de x qui vérifie l'égalité.

3. Propriétés et théorèmes

Pour résoudre une équation, on utilise des transformations qui conservent les solutions. Cela signifie que l'on remplace l'équation par une équation équivalente, qui a exactement les mêmes solutions. La règle fondamentale est simple : on a le droit de faire la même opération dans les deux membres de l'égalité.

Si deux expressions sont égales, alors on peut ajouter le même nombre aux deux membres, soustraire le même nombre aux deux membres, multiplier les deux membres par le même nombre, ou diviser les deux membres par le même nombre non nul. La condition « non nul » est indispensable pour la division, car on ne peut jamais diviser par 0.

Théorème : pour tous nombres A, B et k, si A = B, alors A + k = B + k et A - k = B - k. De plus, si k ≠ 0, alors A × k = B × k et A / k = B / k.

En particulier, l'équation ax + b = 0, avec a ≠ 0, admet une unique solution : x = -b/a. Cette formule résume la méthode générale : on soustrait b aux deux membres, puis on divise par a.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

On peut justifier les règles de transformation avec l'image d'une balance à deux plateaux. Une égalité signifie que les deux plateaux sont en équilibre : le membre de gauche a la même valeur que le membre de droite. Si l'on ajoute exactement la même masse sur les deux plateaux, la balance reste équilibrée. Si l'on retire exactement la même masse des deux côtés, elle reste également équilibrée. C'est l'idée utilisée quand on ajoute ou soustrait le même nombre dans les deux membres d'une équation.

Pour la multiplication, imaginons que chaque plateau soit remplacé par 3 plateaux identiques : les masses totales restent égales, donc multiplier les deux membres par 3 conserve l'égalité. Pour la division par un nombre non nul, on partage chaque plateau en un même nombre de parts égales. Si les masses totales étaient égales au départ, les parts correspondantes ont la même masse. C'est pourquoi diviser les deux membres par 2, par 5 ou par -3 conserve l'égalité.

Prenons maintenant l'équation ax + b = 0, avec a ≠ 0. On veut obtenir x seul. On soustrait b aux deux membres : ax + b - b = 0 - b, donc ax = -b. Puis on divise les deux membres par a : ax / a = -b / a, donc x = -b/a. Chaque étape conserve les solutions, donc la valeur obtenue est bien la solution de l'équation de départ.

5. Méthode pas à pas

La résolution d'une équation du premier degré repose sur une routine stable : repérer, transformer, vérifier. Il ne faut pas chercher à deviner la solution, mais avancer ligne par ligne en justifiant les opérations.

1. Étape 1 : repérer les termes contenant x et les termes numériques. Si nécessaire, développer les parenthèses et réduire les expressions de chaque côté.
2. Étape 2 : rassembler les termes en x d'un côté de l'égalité et les nombres de l'autre côté, en effectuant la même opération dans les deux membres.
3. Étape 3 : isoler x en divisant par son coefficient, à condition que ce coefficient soit non nul.
4. Étape 4 : vérifier la solution en remplaçant x par la valeur trouvée dans l'équation de départ.

Dans la pratique, on écrit souvent les transformations sous forme de lignes successives. Par exemple, pour 3x + 7 = 25, on commence par enlever 7 aux deux membres : 3x = 18. Puis on divise par 3 : x = 6. La vérification donne 3 × 6 + 7 = 25, donc la solution est correcte.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : résoudre l'équation 5x - 4 = 16.

Rédaction modèle :

1. On identifie la forme de l'équation. L'équation est du type ax + b = c, avec un seul terme contenant x : 5x. L'objectif est d'isoler x.

2. On isole le terme contenant x. On ajoute 4 aux deux membres de l'égalité : 5x - 4 + 4 = 16 + 4, donc 5x = 20.

3. On isole x. Comme 5x signifie 5 × x, on divise les deux membres par 5 : 5x / 5 = 20 / 5, donc x = 4.

4. On vérifie. Dans l'équation de départ, on remplace x par 4 : 5 × 4 - 4 = 20 - 4 = 16. L'égalité est vraie, donc la solution de l'équation est x = 4.

Cette rédaction montre les deux opérations inverses utilisées : pour annuler « -4 », on ajoute 4 ; pour annuler « × 5 », on divise par 5. On ne modifie jamais un seul membre de l'égalité.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : résoudre l'équation 5x - 2 = 3x + 8.

Rédaction modèle :

1. On repère l'inconnue des deux côtés. Il y a des termes en x dans les deux membres : 5x à gauche et 3x à droite. On choisit de rassembler les termes en x à gauche et les nombres à droite.

2. On enlève 3x aux deux membres. 5x - 2 - 3x = 3x + 8 - 3x, donc 2x - 2 = 8.

3. On isole le terme en x. On ajoute 2 aux deux membres : 2x - 2 + 2 = 8 + 2, donc 2x = 10.

4. On divise par le coefficient de x. On divise les deux membres par 2 : x = 10 / 2, donc x = 5.

Vérification : pour x = 5, le membre de gauche vaut 5 × 5 - 2 = 25 - 2 = 23. Le membre de droite vaut 3 × 5 + 8 = 15 + 8 = 23. Les deux membres sont égaux, donc x = 5 est bien la solution.

Cette variante est importante : lorsqu'il y a des x des deux côtés, on ne les « supprime » pas sans opération. On transforme l'équation en effectuant la même soustraction ou la même addition dans les deux membres.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : un abonnement de sport coûte 18 € d'inscription, puis 7 € par séance. Léa a payé 67 € au total. Combien de séances a-t-elle faites ?

Résolution :

On commence par choisir l'inconnue. Soit x le nombre de séances faites par Léa. Le coût des séances est alors 7x, car chaque séance coûte 7 €. Le coût total est composé de l'inscription et des séances : 18 + 7x. D'après l'énoncé, ce total vaut 67. On obtient donc l'équation 18 + 7x = 67.

On résout cette équation. On soustrait 18 aux deux membres : 18 + 7x - 18 = 67 - 18, donc 7x = 49. Puis on divise les deux membres par 7 : x = 49 / 7, donc x = 7.

On vérifie dans la situation réelle : 7 séances coûtent 7 × 7 = 49 €, et avec les 18 € d'inscription, le total est 49 + 18 = 67 €. Cela correspond bien à l'énoncé. Léa a donc fait 7 séances.

Dans un problème concret, la mise en équation est souvent l'étape la plus importante. Il faut écrire clairement ce que représente x, traduire les informations en langage mathématique, résoudre, puis répondre avec une phrase adaptée à la question posée.

9. Erreurs classiques à éviter

Les équations du premier degré sont accessibles, mais elles exigent de la rigueur. La plupart des erreurs viennent d'une confusion entre addition et multiplication, d'un oubli de signe ou d'une vérification absente.

• Erreur : résoudre 2x = 10 en écrivant x = 8, comme si l'on devait soustraire 2. — À faire : se rappeler que 2x signifie 2 × x ; pour défaire une multiplication par 2, on divise par 2, donc x = 5.
• Erreur : résoudre -x = 5 en écrivant x = 5. — À faire : reconnaître que -x signifie -1 × x ; on multiplie ou divise par -1, donc x = -5.
• Erreur : résoudre 3x + 7 = 25 en s'arrêtant à 3x = 18 et en donnant 18 comme solution. — À faire : continuer jusqu'à obtenir x seul : 3x = 18, donc x = 6.
• Erreur : « changer de côté » sans gérer les signes, par exemple transformer 5x - 3 = 2x + 9 de manière incorrecte. — À faire : comprendre que changer de côté correspond à ajouter ou soustraire le même terme aux deux membres : 5x - 2x = 9 + 3, donc 3x = 12.
• Erreur : développer trop vite et oublier un signe moins, par exemple -3(x - 2) = -3x - 6. — À faire : appliquer la distributivité à chaque terme : -3(x - 2) = -3x + 6.
• Erreur : ne pas vérifier la solution. — À faire : remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation initiale, pas seulement dans une équation transformée.

10. À retenir

• La formule centrale est : si ax + b = 0 avec a ≠ 0, alors x = -b/a.
• Résoudre une équation signifie trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
• On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre, mais on ne divise jamais par 0.
• La méthode standard est : développer si nécessaire, réduire, rassembler les x d'un côté, rassembler les nombres de l'autre, puis diviser par le coefficient de x.
• Quand on déplace un terme d'un membre à l'autre, son signe change car cela correspond à effectuer l'opération inverse dans les deux membres.
• Le piège fréquent est de confondre 3x avec x + 3 : dans 3x = 18, on divise par 3 ; dans x + 3 = 18, on soustrait 3.
• La vérification consiste à remplacer x dans l'équation de départ et à contrôler que les deux membres ont la même valeur.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — pré-requis rapides sous forme de vrai ou faux pour revoir le sens d'une équation.
• Type 2 — équations très simples comme x + 7 = 12, 2x = 14 ou -x = 8.
• Type 3 — équations de la forme ax + b = c, avec vérification de la solution.
• Type 4 — équations avec l'inconnue des deux côtés, comme 5x - 2 = 3x + 8.
• Type 5 — équations avec parenthèses et problèmes à mettre en équation.