Fonction affine : f(x) = ax + b

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, les fonctions servent à modéliser des situations où une grandeur dépend d’une autre : prix en fonction d’une quantité, distance en fonction du temps, température en fonction de l’altitude, forfait téléphonique en fonction du nombre de minutes utilisées. Parmi ces fonctions, les fonctions affines occupent une place essentielle, car elles sont simples à calculer et leur représentation graphique est toujours une droite.

Imaginons une compagnie de taxis qui facture 3 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre parcouru. Si on appelle x le nombre de kilomètres et f(x) le prix à payer, on peut écrire : f(x) = 2x + 3. Le nombre 2 correspond au prix ajouté pour chaque kilomètre supplémentaire. Le nombre 3 correspond au prix de départ, même si aucun kilomètre n’a encore été parcouru. On reconnaît ici une fonction affine.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment étudier une fonction affine de la forme f(x) = ax + b, comment tracer sa droite représentative, et comment lire graphiquement les nombres a et b ? Pour répondre, il faudra savoir identifier le coefficient directeur a, l’ordonnée à l’origine b, calculer des images, placer des points dans un repère et interpréter une droite.

2. Définition

Définition : Une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés. Le nombre a s’appelle le coefficient directeur et le nombre b s’appelle l’ordonnée à l’origine.

Dans l’écriture f(x) = ax + b, la lettre x désigne un nombre choisi, appelé antécédent. Le résultat f(x) est appelé l’image de x par la fonction f. Par exemple, si f(x) = 4x − 5, alors l’image de 2 est f(2) = 4 × 2 − 5 = 8 − 5 = 3.

Le coefficient directeur a indique comment les images varient lorsque x augmente. Si a = 2, alors quand x augmente de 1, l’image augmente de 2. Si a = −3, alors quand x augmente de 1, l’image diminue de 3. Si a = 0, la fonction devient f(x) = b : toutes les images sont égales à b, et la droite est horizontale.

L’ordonnée à l’origine b est l’image de 0, car f(0) = a × 0 + b = b. Graphiquement, cela signifie que la droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b). Le mot repère à retenir est : droite. Une fonction affine se représente par une droite.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : La représentation graphique d’une fonction affine f définie par f(x) = ax + b est une droite. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; b). Son coefficient directeur est a.

Ce théorème permet de faire le lien entre l’expression algébrique et la représentation graphique. L’expression donne directement deux informations importantes : le nombre b permet de placer un premier point sur l’axe des ordonnées, et le nombre a donne l’inclinaison de la droite.

Si a est positif, la droite monte de gauche à droite : la fonction est croissante. Si a est négatif, la droite descend de gauche à droite : la fonction est décroissante. Si a est nul, la droite est horizontale : la fonction est constante.

Une autre propriété utile est la suivante : pour une fonction affine f(x) = ax + b, la différence des images est proportionnelle à la différence des antécédents. Pour deux nombres x₁ et x₂, on a f(x₂) − f(x₁) = a(x₂ − x₁). Ainsi, le coefficient directeur peut se calculer par la formule :

a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), si x₁ ≠ x₂.

Graphiquement, cela signifie que a mesure le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale. On dit parfois : a = déplacement vertical ÷ déplacement horizontal. Par exemple, si la droite monte de 6 carreaux quand on avance de 3 carreaux, alors a = 6 ÷ 3 = 2.

4. Démonstration

Montrons pourquoi la représentation graphique d’une fonction affine est une droite. On considère une fonction f définie par f(x) = ax + b. Les points de sa représentation graphique sont les points de coordonnées (x ; f(x)), c’est-à-dire les points (x ; ax + b).

Prenons deux valeurs différentes x₁ et x₂. Les points correspondants sont A(x₁ ; ax₁ + b) et B(x₂ ; ax₂ + b). Calculons la variation des ordonnées entre ces deux points :

f(x₂) − f(x₁) = (ax₂ + b) − (ax₁ + b).

En simplifiant, on obtient :

f(x₂) − f(x₁) = ax₂ + b − ax₁ − b = ax₂ − ax₁ = a(x₂ − x₁).

Donc le rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses est :

(f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁) = a.

Ce rapport est constant : il ne dépend pas des deux points choisis. Cela signifie que la pente est toujours la même. Les points obtenus sont donc alignés : la représentation graphique est une droite. Cette droite coupe l’axe des ordonnées lorsque x = 0. Or f(0) = a × 0 + b = b. Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a donc pour coordonnées (0 ; b).

Cette démonstration justifie les deux idées centrales : le nombre a contrôle la direction de la droite, et le nombre b indique où la droite coupe l’axe vertical.

5. Méthode pas à pas

Pour étudier une fonction affine, on peut suivre la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère : j’identifie la forme f(x) = ax + b. Le nombre placé devant x est le coefficient directeur a. Le nombre ajouté ou retranché est l’ordonnée à l’origine b.
2. Je réécris si nécessaire : par exemple, f(x) = −x + 7 se réécrit f(x) = −1x + 7. Donc a = −1 et b = 7.
3. Je calcule deux images : je choisis deux valeurs simples de x, souvent x = 0 et x = 1, puis je calcule f(0) et f(1).
4. Je place les deux points : le point associé à une valeur x a pour coordonnées (x ; f(x)). Il faut bien respecter l’ordre : d’abord l’abscisse, ensuite l’ordonnée.
5. Je trace la droite : deux points suffisent pour tracer la représentation graphique d’une fonction affine. On prolonge la droite avec une règle.
6. Je vérifie : la droite doit passer par le point (0 ; b). Sa pente doit correspondre à a : si a est positif, elle monte ; si a est négatif, elle descend ; si a = 0, elle est horizontale.

Pour lire a et b graphiquement, on commence par lire b : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Ensuite, on lit a en observant la variation verticale quand on avance horizontalement. Si on avance de 1 carreau et que la droite monte de 3 carreaux, alors a = 3. Si on avance de 2 carreaux et que la droite descend de 4 carreaux, alors a = −4 ÷ 2 = −2.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère la fonction affine f définie par f(x) = 2x + 3. On veut identifier a et b, calculer deux images et décrire la droite représentative.

La fonction est déjà écrite sous la forme f(x) = ax + b. On lit donc directement : a = 2 et b = 3. Le coefficient directeur est 2. Cela signifie que lorsque x augmente de 1, l’image augmente de 2. L’ordonnée à l’origine est 3. Cela signifie que la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 3).

Calculons deux images. Pour x = 0 :

f(0) = 2 × 0 + 3 = 3.

On obtient le point A(0 ; 3). Pour x = 1 :

f(1) = 2 × 1 + 3 = 5.

On obtient le point B(1 ; 5). On place les points A et B dans un repère, puis on trace la droite qui les relie. Comme a = 2, la droite doit monter rapidement : quand on avance de 1 unité vers la droite, on monte de 2 unités.

On peut aussi calculer une autre image pour contrôler. Par exemple :

f(−1) = 2 × (−1) + 3 = −2 + 3 = 1.

Le point C(−1 ; 1) doit lui aussi appartenir à la même droite. Si les trois points ne sont pas alignés sur le dessin, c’est qu’une erreur de calcul ou de placement a été commise.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On connaît une droite représentant une fonction affine. Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 4. De plus, quand on avance de 2 unités vers la droite, la droite descend de 6 unités. On veut retrouver l’expression de la fonction.

Comme la droite coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 4, on a b = 4. La fonction est donc de la forme f(x) = ax + 4.

Pour trouver a, on utilise la pente. La variation horizontale est +2 et la variation verticale est −6. Donc :

a = variation verticale ÷ variation horizontale = −6 ÷ 2 = −3.

On obtient donc a = −3. L’expression de la fonction est :

f(x) = −3x + 4.

Vérifions avec deux points. Le point d’ordonnée à l’origine est A(0 ; 4). Si on avance de 2 unités à partir de ce point, on passe à x = 2, et on descend de 6 unités : l’ordonnée devient 4 − 6 = −2. Le point B(2 ; −2) est donc sur la droite.

Avec l’expression trouvée, on calcule :

f(2) = −3 × 2 + 4 = −6 + 4 = −2.

Le résultat confirme la lecture graphique. Le coefficient directeur négatif indique que la droite descend lorsque x augmente.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un service de location de vélos facture 5 € d’abonnement fixe, puis 1,50 € par heure de location. On note x le nombre d’heures de location et f(x) le prix total en euros. On veut modéliser la situation par une fonction affine, calculer le prix pour plusieurs durées, puis interpréter graphiquement les nombres a et b.

Le prix total comprend une partie fixe et une partie variable. La partie fixe est 5 €. La partie variable est 1,50 € multiplié par le nombre d’heures. On écrit donc :

f(x) = 1,5x + 5.

Cette fonction est affine avec a = 1,5 et b = 5. Le coefficient directeur 1,5 signifie que chaque heure supplémentaire augmente le prix de 1,50 €. L’ordonnée à l’origine 5 signifie que, pour x = 0, le prix est déjà de 5 € : c’est l’abonnement fixe.

Calculons quelques images :

f(0) = 1,5 × 0 + 5 = 5.

f(2) = 1,5 × 2 + 5 = 3 + 5 = 8.

f(4) = 1,5 × 4 + 5 = 6 + 5 = 11.

On peut placer les points (0 ; 5), (2 ; 8) et (4 ; 11) dans un repère. Ils sont alignés, car la fonction est affine. La droite monte, car a est positif. Elle coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 5).

Si un client paie 14 €, on peut chercher combien d’heures il a loué le vélo. On résout :

1,5x + 5 = 14.

On soustrait 5 aux deux membres :

1,5x = 9.

On divise par 1,5 :

x = 9 ÷ 1,5 = 6.

Le client a donc loué le vélo pendant 6 heures.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre a et b en lisant seulement les nombres dans l’ordre. — À faire : repérer que a est le nombre qui multiplie x, tandis que b est le terme constant. Vérifier avec f(0) = b.
• Erreur : oublier que −x signifie −1x. — À faire : réécrire −x + 7 sous la forme −1x + 7 avant de conclure que a = −1 et b = 7.
• Erreur : placer le point (x ; f(x)) en inversant abscisse et ordonnée. — À faire : rappeler que la première coordonnée est x et que la deuxième est l’image f(x).
• Erreur : tracer une courbe au lieu d’une droite. — À faire : retenir qu’une fonction affine est toujours représentée par une droite.
• Erreur : mal interpréter un coefficient directeur négatif. — À faire : comprendre que si a < 0, la droite descend quand x augmente.
• Erreur : lire b au mauvais endroit sur le graphique. — À faire : lire b uniquement sur l’axe des ordonnées, au point où la droite coupe cet axe.

10. À retenir

• Une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b.
• Le nombre a est le coefficient directeur : il indique la pente de la droite.
• Le nombre b est l’ordonnée à l’origine : il est égal à f(0).
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
• Deux points suffisent pour tracer la droite représentative.
• Si a > 0, la fonction est croissante et la droite monte.
• Si a < 0, la fonction est décroissante et la droite descend.
• Si a = 0, la fonction est constante et la droite est horizontale.
• Une fonction linéaire f(x) = ax est une fonction affine particulière avec b = 0.
• Pour lire a graphiquement, on calcule : variation verticale ÷ variation horizontale.

11. Exercices d'application

Un fichier PDF d’exercices peut accompagner cette leçon : Télécharger la fiche d’exercices sur les fonctions affines en 3e. Les exercices proposés permettent de s’entraîner progressivement à reconnaître, calculer, tracer et interpréter une fonction affine.

Types d’exercices conseillés : repérer a et b dans des expressions comme f(x) = 3x − 2, g(x) = −x + 5 ou h(x) = 7 ; calculer des images pour différentes valeurs de x ; associer une expression à une description graphique ; tracer une fonction affine dans un repère à partir de deux points ; lire a et b sur un graphique décrit.

Un barème possible sur 20 points peut être le suivant : identifier correctement a et b dans une expression affine, 4 points ; calculer correctement des images, 4 points ; associer une expression à une interprétation graphique, 4 points ; déterminer deux points et tracer une droite avec précision, 5 points ; retrouver l’expression d’une fonction affine à partir d’informations graphiques, 3 points.

Pour réussir ces exercices, il faut toujours commencer par reconnaître la forme f(x) = ax + b. Ensuite, il faut donner du sens aux deux nombres : a correspond à la variation, b correspond au point de départ sur l’axe des ordonnées. Enfin, il faut vérifier graphiquement que la droite obtenue est cohérente avec les calculs.

12. Questions fréquentes