Fonction linéaire : f(x) = ax

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une association sportive, le prix payé dépend du nombre de séances suivies. Chaque séance coûte 8 €. Si un élève suit 1 séance, il paie 8 € ; s’il suit 2 séances, il paie 16 € ; s’il suit 5 séances, il paie 40 €. On remarque que le prix est toujours obtenu en multipliant le nombre de séances par le même nombre : 8. On peut écrire une formule : si x désigne le nombre de séances et f(x) le prix payé en euros, alors f(x)=8x.

Ce type de relation est essentiel en classe de 3e : il permet de relier les fonctions à la proportionnalité. Une fonction linéaire sert à modéliser de nombreuses situations où une grandeur est proportionnelle à une autre : prix selon une quantité, distance selon une durée à vitesse constante, masse selon un volume, agrandissement ou réduction d’une figure, conversion d’unités.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment reconnaître une fonction linéaire, comment calculer des images avec une formule du type f(x)=ax, comment déterminer le coefficient a, et comment interpréter sa représentation graphique ?

Mot repère : fonction linéaire, fonc-tion li-né-ai-re : si f(x)=3x, alors f(2)=3×2=6 ; le coefficient est 3. Une fonction linéaire se reconnaît à sa forme très simple : un nombre fixé multiplie x, sans terme ajouté.

2. Définition

Définition : Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax, où a est un nombre fixé. On la note f(x)=ax. Le nombre a est appelé coefficient de la fonction linéaire, ou coefficient de proportionnalité. L’image de x par f est f(x)=ax.

Dans l’écriture f(x)=ax, la lettre x désigne un nombre variable, appelé antécédent, et f(x) désigne son image. Le nombre a est constant : il ne change pas lorsque x change. Par exemple, la fonction f définie par f(x)=5x est une fonction linéaire de coefficient 5. L’image de 7 est f(7)=5×7=35.

Il faut bien distinguer une fonction linéaire d’une fonction qui semble proche. La fonction f(x)=x+5 n’est pas linéaire, car elle n’est pas de la forme ax : il y a un terme ajouté, +5. De même, f(x)=2x−3 n’est pas une fonction linéaire, même si elle contient le terme 2x, car elle comporte aussi −3. En classe de 3e, on dira que ces fonctions sont affines, mais pas linéaires.

Pour mémoriser : FONCTION LINÉAIRE signifie f(x)=ax ; COEFFICIENT signifie le nombre a ; REPRÉSENTATION GRAPHIQUE signifie droite passant par O ; PROPORTIONNALITÉ signifie multiplication par un même nombre.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Une fonction est linéaire si et seulement si elle traduit une situation de proportionnalité. Son tableau de valeurs est un tableau de proportionnalité et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère.

Cette propriété est fondamentale. Si f(x)=ax, alors chaque image est obtenue en multipliant l’antécédent par le même nombre a. On retrouve donc exactement le principe d’un tableau de proportionnalité : on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même coefficient.

Par exemple, pour f(x)=−2x, le coefficient est −2. On a f(1)=−2, f(3)=−6, f(−4)=8. Les quotients image ÷ antécédent valent tous −2 lorsque l’antécédent est non nul : −2÷1=−2, −6÷3=−2, 8÷(−4)=−2.

Graphiquement, une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine O du repère, c’est-à-dire le point de coordonnées (0 ; 0). En effet, f(0)=a×0=0. Donc le point de coordonnées (0 ; 0) appartient toujours à la représentation graphique. Si une droite ne passe pas par l’origine, elle ne représente pas une fonction linéaire.

Le coefficient a donne aussi une information sur l’inclinaison de la droite. Si a est positif, la droite monte de gauche à droite. Si a est négatif, la droite descend de gauche à droite. Si a=0, la fonction est f(x)=0, et sa représentation est l’axe des abscisses.

4. Démonstration

On veut justifier le lien entre fonction linéaire et proportionnalité. Supposons qu’une fonction f soit définie par f(x)=ax, où a est un nombre fixé. Pour tout nombre x, l’image f(x) est obtenue en multipliant x par a. Si l’on construit un tableau avec, sur la première ligne, des valeurs de x, et sur la deuxième ligne, les valeurs correspondantes f(x), alors chaque nombre de la deuxième ligne est égal au nombre de la première ligne multiplié par a. C’est exactement la définition d’un tableau de proportionnalité.

Par exemple, avec f(x)=4x, on obtient :

x : 0 ; 1 ; 2 ; 5 ; −3
f(x) : 0 ; 4 ; 8 ; 20 ; −12

On passe de chaque valeur de x à son image en multipliant par 4. Le coefficient de proportionnalité est donc 4. Ainsi, toute fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

Réciproquement, supposons qu’une situation soit proportionnelle. Cela signifie qu’il existe un même nombre a tel que chaque valeur y est obtenue en multipliant la valeur x par a. On peut donc écrire y=ax. Si on définit une fonction f qui associe à chaque x la valeur y correspondante, alors f(x)=ax. Cette fonction est donc linéaire.

Pour la représentation graphique, on remarque d’abord que f(0)=a×0=0. Le point O(0 ; 0) appartient donc toujours au graphique. De plus, comme les points d’un tableau de proportionnalité sont alignés avec l’origine, la représentation graphique est une droite passant par O. Cette propriété permet de reconnaître rapidement une fonction linéaire sur un graphique.

5. Méthode pas à pas

1. 🔎 Je repère : je vérifie que l’expression est exactement de la forme f(x)=ax, sans terme ajouté ni soustrait. Par exemple, f(x)=7x est linéaire, mais f(x)=7x+2 ne l’est pas.
2. ✍️ J’applique : pour calculer une image, je remplace x par la valeur donnée et je multiplie par le coefficient a. Si f(x)=−3x, alors f(4)=−3×4=−12.
3. ✅ Je vérifie : je contrôle que les valeurs obtenues forment un tableau de proportionnalité ou que la représentation graphique est une droite passant par l’origine.
4. Je détermine le coefficient : si je connais un antécédent x non nul et son image f(x), je calcule a=f(x)÷x. Attention : on fait image ÷ antécédent, et non l’inverse.
5. Je rédige : j’écris une phrase claire. Par exemple : « La fonction est linéaire car elle est de la forme f(x)=ax, avec a=6. »

Dans un tableau, il est conseillé de calculer plusieurs quotients image ÷ antécédent. Si tous les quotients sont égaux, le tableau est proportionnel et peut correspondre à une fonction linéaire. Si au moins deux quotients sont différents, la relation n’est pas linéaire.

Il faut cependant éviter de diviser par 0. Lorsque x=0, le quotient f(x)÷x n’existe pas, car on ne divise jamais par 0. Pour déterminer a, on choisit donc une colonne où l’antécédent est non nul.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère la fonction f définie par f(x)=4x. On veut calculer les images de −2, 0, 3 et 5.

La fonction est de la forme f(x)=ax, avec a=4. C’est donc une fonction linéaire de coefficient 4. Pour calculer les images, on remplace x par chaque valeur demandée.

f(−2)=4×(−2)=−8. L’image de −2 est −8.

f(0)=4×0=0. L’image de 0 est 0, ce qui est normal pour une fonction linéaire.

f(3)=4×3=12. L’image de 3 est 12.

f(5)=4×5=20. L’image de 5 est 20.

On peut présenter les résultats dans un tableau :

x : −2 ; 0 ; 3 ; 5
f(x) : −8 ; 0 ; 12 ; 20

On observe que chaque image est obtenue en multipliant l’antécédent par 4. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité. Les quotients, lorsque x est non nul, confirment cela : −8÷(−2)=4, 12÷3=4 et 20÷5=4.

Si l’on représentait cette fonction dans un repère, les points de coordonnées (−2 ; −8), (0 ; 0), (3 ; 12) et (5 ; 20) seraient alignés sur une droite passant par l’origine.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On sait qu’une fonction linéaire g vérifie g(6)=−18. On cherche son expression.

Comme g est une fonction linéaire, elle est de la forme g(x)=ax. On doit déterminer le coefficient a. On connaît un antécédent non nul, 6, et son image, −18. On utilise la formule :

a=image ÷ antécédent = g(6)÷6 = −18÷6 = −3.

Le coefficient de la fonction linéaire est donc −3. L’expression de la fonction est g(x)=−3x.

Vérification : si g(x)=−3x, alors g(6)=−3×6=−18. On retrouve bien l’information de départ.

Attention à une erreur fréquente : certains élèves calculent 6÷(−18), ce qui donne −1÷3, et non −3. Ce n’est pas le bon quotient. Dans l’égalité y=ax, le coefficient a est le nombre qui multiplie x pour obtenir y. On doit donc écrire a=y÷x, c’est-à-dire image ÷ antécédent.

Autre exemple rapide : si h est linéaire et h(−4)=10, alors a=10÷(−4)=−2,5. Donc h(x)=−2,5x. Le signe négatif est important : un antécédent négatif a une image positive, ce qui signifie que le coefficient est négatif.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un taxi facture 2,40 € par kilomètre, sans frais de départ. On note x la distance parcourue en kilomètres et p(x) le prix payé en euros. On veut modéliser la situation, calculer le prix pour 7 km, puis déterminer la distance correspondant à un prix de 30 €.

Comme le prix est proportionnel à la distance et qu’il n’y a pas de frais fixe, on peut utiliser une fonction linéaire. Le coefficient est 2,40, car chaque kilomètre coûte 2,40 €. On écrit donc p(x)=2,40x.

Pour 7 km, on calcule p(7)=2,40×7=16,80. Le prix pour 7 km est donc 16,80 €.

Pour trouver la distance correspondant à 30 €, on cherche x tel que p(x)=30. On résout 2,40x=30. On divise par 2,40 : x=30÷2,40=12,5. La distance parcourue est donc 12,5 km.

Cette situation est bien linéaire parce que si la distance est nulle, le prix est nul : p(0)=2,40×0=0. Graphiquement, la droite représentant le prix en fonction de la distance passe par l’origine du repère.

Si le taxi facturait en plus 5 € de frais de départ, la formule deviendrait p(x)=2,40x+5. Dans ce cas, la fonction ne serait plus linéaire, car il y aurait un terme ajouté. Elle ne traduirait plus une proportionnalité stricte entre la distance et le prix total.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : penser que f(x)=x+3 est linéaire — À faire : entourer le terme ajouté +3 et rappeler qu’une fonction linéaire est exactement de la forme f(x)=ax.
• Erreur : oublier le signe négatif du coefficient dans f(x)=−5x — À faire : reprendre la multiplication des nombres relatifs : −5×2=−10 et −5×(−2)=10.
• Erreur : déterminer a en calculant x÷f(x) au lieu de f(x)÷x — À faire : écrire systématiquement a=image ÷ antécédent, lorsque x est non nul.
• Erreur : affirmer qu’un tableau est proportionnel après une seule vérification — À faire : calculer tous les quotients y÷x possibles et vérifier qu’ils sont égaux.
• Erreur : croire qu’une droite quelconque représente une fonction linéaire — À faire : vérifier que la droite passe par l’origine O(0 ; 0).
• Erreur : confondre image et antécédent — À faire : dans f(3)=12, retenir que 3 est l’antécédent et 12 est l’image.

Ces erreurs sont fréquentes car la fonction linéaire est proche d’autres notions : proportionnalité, fonction affine, représentation graphique, calcul littéral. Pour progresser, il faut toujours revenir à la forme f(x)=ax et au sens de la multiplication par un même nombre.

10. À retenir

• Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x)=ax.
• Le nombre a est le coefficient de la fonction linéaire et le coefficient de proportionnalité.
• Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée et on multiplie par a.
• Si x est non nul, on peut déterminer le coefficient avec la formule a=f(x)÷x.
• Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
• Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
• Une expression comme f(x)=ax+b, avec b non nul, n’est pas linéaire.
• Si a>0, la droite monte de gauche à droite ; si a<0, elle descend de gauche à droite.
• La fonction f(x)=0x, c’est-à-dire f(x)=0, est aussi une fonction linéaire : sa représentation est l’axe des abscisses.

Barème possible pour une évaluation : reconnaissance de la forme f(x)=ax : 4 points ; calcul correct d’images : 4 points ; détermination du coefficient a : 5 points ; lien avec proportionnalité et droite passant par l’origine : 4 points ; rédaction, justification et vocabulaire : 3 points.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Fonction linéaire : f(x)=ax (3e) » avec énoncés, tableaux, graphiques et corrigé détaillé.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau de valeurs à partir d’une formule comme f(x)=−2x ; reconnaître une fonction linéaire parmi plusieurs expressions ; recomposer les correspondances entre antécédents et images ; déterminer le coefficient d’une fonction linéaire à partir d’une valeur connue ; interpréter un tableau et un graphique pour vérifier une situation de proportionnalité.

Exemple d’exercice 1 : compléter le tableau de la fonction f définie par f(x)=3x pour x=−4, x=0, x=2 et x=7. Il faut calculer f(−4)=3×(−4)=−12, f(0)=0, f(2)=6 et f(7)=21.

Exemple d’exercice 2 : dire si les fonctions suivantes sont linéaires : f(x)=6x ; g(x)=6x+1 ; h(x)=−x ; k(x)=x². Les fonctions f et h sont linéaires ; g ne l’est pas à cause du +1 ; k ne l’est pas car x² n’est pas de la forme ax.

Exemple d’exercice 3 : une fonction linéaire vérifie f(8)=20. Déterminer son coefficient. On calcule a=20÷8=2,5, donc f(x)=2,5x.

Exemple d’exercice 4 : sur un graphique, repérer si une droite représente une fonction linéaire. La condition indispensable est qu’elle passe par l’origine du repère. Si elle passe par O et par le point (2 ; 6), alors son coefficient est 6÷2=3, donc la fonction est f(x)=3x.

12. Questions fréquentes