Fonctions : définition, image, antécédent

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un club de cinéma propose une carte d’abonnement. L’entrée coûte 4 € avec la carte, et la carte coûte 12 € au départ. Si un élève va au cinéma x fois dans l’année, le prix total payé est donné par l’expression 4x + 12. On peut alors se demander : combien paie-t-il pour 5 séances ? Pour quel nombre de séances le prix total est-il 40 € ? Comment représenter cette situation sur un graphique ?

Ces questions font apparaître une idée centrale du programme de mathématiques en 3e : la notion de fonction. Une fonction permet d’associer à un nombre de départ un nombre d’arrivée. Ici, le nombre de départ est le nombre de séances, et le nombre d’arrivée est le prix total. Si on note cette fonction f, on peut écrire f(x) = 4x + 12. Cela signifie que la fonction f transforme le nombre x en 4x + 12.

En classe de 3e, il faut savoir reconnaître une fonction sous plusieurs formes : une formule, un tableau de valeurs, un programme de calcul, une courbe représentative ou une situation concrète. Il faut surtout maîtriser le vocabulaire : l’image est le résultat obtenu, tandis que l’antécédent est le nombre de départ. La notation f(x) se lit « f de x » et désigne l’image de x par la fonction f.

On peut retenir l’image de la machine : une fonction peut être vue comme une machine. Si f(x) = 2x + 1 et si on entre 3, alors f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. L’image de 3 est 7, et 3 est un antécédent de 7.

2. Définition

Définition : Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre de départ au plus un nombre d’arrivée. Si la fonction s’appelle f, l’image d’un nombre x par f se note f(x). Dans l’égalité f(a) = b, le nombre a est un antécédent de b par f, et le nombre b est l’image de a par f.

La lettre x désigne souvent le nombre de départ. Elle s’appelle une variable, car elle peut prendre différentes valeurs. L’écriture f(x) ne signifie pas f × x : c’est une notation fonctionnelle. Elle désigne le résultat obtenu quand on applique la fonction f au nombre x.

Une fonction peut être définie de plusieurs manières. Par une formule, par exemple f(x) = 3x - 5. Par un programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par 3, puis soustraire 5 ». Par un tableau de valeurs qui associe des entrées et des sorties. Par une courbe représentative dans un repère. Par une phrase décrivant une situation réelle, comme un tarif, une distance, une température ou une aire.

On rencontre aussi la notation x ↦ 2x + 1, qui se lit « x a pour image 2x + 1 ». Cette écriture met l’accent sur la transformation du nombre de départ. Par exemple, la fonction g définie par g : x ↦ x² associe à chaque nombre son carré. On a alors g(4) = 16 et g(-4) = 16. Cela montre déjà qu’un même nombre d’arrivée peut avoir plusieurs antécédents.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour une fonction donnée, un nombre de départ ne peut pas avoir deux images différentes. En revanche, un même nombre d’arrivée peut avoir plusieurs antécédents, un seul antécédent ou aucun antécédent.

Cette propriété est fondamentale. Si une fonction associe 7 à 2, elle ne peut pas aussi associer 9 à 2. Autrement dit, pour une même valeur de x, f(x) est unique. En revanche, plusieurs valeurs de x peuvent donner le même résultat. Par exemple, avec la fonction f(x) = x², on a f(3) = 9 et f(-3) = 9. Les nombres 3 et -3 sont donc deux antécédents de 9 par f.

Sur une courbe représentative, l’antécédent se lit sur l’axe horizontal, appelé axe des abscisses. L’image se lit sur l’axe vertical, appelé axe des ordonnées. Si un point de la courbe a pour coordonnées (a ; b), alors on peut lire f(a) = b. Cela signifie que b est l’image de a par f.

Pour chercher une image sur un graphique, on part de la valeur donnée sur l’axe horizontal, on monte ou on descend jusqu’à la courbe, puis on lit la valeur correspondante sur l’axe vertical. Pour chercher un antécédent, on part de la valeur donnée sur l’axe vertical, on trace mentalement ou réellement une ligne horizontale, puis on repère les abscisses des points d’intersection avec la courbe.

4. Démonstration

Justifions la propriété principale avec l’idée de procédé. Une fonction est une règle de correspondance. Lorsqu’on choisit un nombre de départ, la règle doit donner un résultat déterminé. Si la fonction est définie par une formule, par exemple f(x) = 2x + 1, alors pour x = 3, on remplace x par 3 et on obtient f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. Le calcul donne un seul résultat : 7. Il serait impossible, avec la même formule et le même nombre de départ, d’obtenir en même temps 7 et 8.

Si la fonction est définie par un tableau, chaque nombre de la ligne des x ne doit être associé qu’à une seule image. Par exemple, si dans un tableau on lit que pour x = 4, l’image vaut 10, on ne peut pas avoir dans le même tableau une autre valeur indiquant que l’image de 4 vaut 12. Sinon, le procédé ne serait pas une fonction au sens mathématique.

En revanche, rien n’interdit à deux nombres de départ différents d’avoir la même image. La fonction « carré » en donne une preuve simple. Elle associe à chaque nombre son carré. Or 5² = 25 et (-5)² = 25. Donc 5 et -5 ont la même image. Ils sont tous les deux antécédents de 25. Cela explique pourquoi, lorsqu’on cherche des antécédents, il faut souvent en chercher plusieurs et ne pas s’arrêter au premier trouvé.

Graphiquement, cette idée se voit bien. Pour une fonction, une droite verticale ne doit pas couper la courbe en deux points différents, car cela voudrait dire qu’une même abscisse possède deux ordonnées, donc deux images. En revanche, une droite horizontale peut couper la courbe en plusieurs points : cela signifie qu’une même image possède plusieurs antécédents.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : j’identifie le nom de la fonction, souvent f, g ou h. Je repère le nombre de départ x et je lis attentivement la question : demande-t-on une image ou un antécédent ?
2. Je traduis le vocabulaire : si on demande « l’image de 4 », je dois calculer f(4). Si on demande « un antécédent de 10 », je cherche une valeur de x telle que f(x) = 10.
3. J’applique la formule si elle est donnée : pour une image, je remplace x par la valeur indiquée. Par exemple, si f(x) = 2x - 3, alors f(5) = 2 × 5 - 3 = 7.
4. Je résous ou je cherche si c’est un antécédent : je peux tester des valeurs, utiliser un tableau, lire un graphique ou résoudre une équation simple. Pour f(x) = 2x - 3, chercher un antécédent de 7 revient à résoudre 2x - 3 = 7.
5. Je fais attention aux parenthèses : avec un nombre négatif, j’écris toujours la substitution. Par exemple, f(-2) = 2 × (-2) - 3 = -4 - 3 = -7.
6. Je vérifie le sens de la réponse : l’image est une sortie, l’antécédent est une entrée. Dans f(3) = 8, 3 est l’antécédent et 8 est l’image.
7. Je rédige clairement : j’écris une phrase complète : « L’image de 5 par f est 7 » ou « 4 est un antécédent de 9 par f ».

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère la fonction f définie par f(x) = 3x + 2. On veut calculer l’image de 4 par f, puis l’image de -2 par f.

Calcul de f(4) : on remplace x par 4 dans l’expression 3x + 2. On obtient f(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14. L’image de 4 par f est donc 14.

Calcul de f(-2) : on remplace x par -2. Il est important d’écrire les parenthèses pour éviter les erreurs de signe. On obtient f(-2) = 3 × (-2) + 2 = -6 + 2 = -4. L’image de -2 par f est donc -4.

On peut présenter ces résultats dans un tableau :

Ce cas est appelé direct, car on connaît le nombre de départ et on calcule le nombre d’arrivée. La question commence souvent par : « Calculer l’image de… », « Déterminer f(…) » ou « Compléter le tableau d’images ».

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère la fonction g définie par g(x) = 5x - 1. On cherche un antécédent de 19 par g. Cela signifie qu’on cherche le nombre de départ x qui donne 19 comme image. On doit donc résoudre l’équation g(x) = 19, c’est-à-dire 5x - 1 = 19.

Résolution : 5x - 1 = 19. On ajoute 1 aux deux membres : 5x = 20. On divise par 5 : x = 4. Donc 4 est un antécédent de 19 par g. On peut vérifier : g(4) = 5 × 4 - 1 = 20 - 1 = 19.

La phrase finale est importante : « 4 est un antécédent de 19 par g ». Il ne faut pas écrire « 19 est l’antécédent de 4 », car cela inverse les rôles. Dans l’égalité g(4) = 19, le nombre 4 est l’entrée et le nombre 19 est la sortie.

On peut aussi rencontrer des cas où il y a plusieurs antécédents. Par exemple, avec h(x) = x², chercher les antécédents de 16 revient à chercher les nombres dont le carré vaut 16. Il y en a deux : 4 et -4, car 4² = 16 et (-4)² = 16. On écrit alors : les antécédents de 16 par h sont -4 et 4.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une entreprise de livraison facture un forfait de 6 € puis 2 € par kilomètre parcouru. On note d le nombre de kilomètres et P(d) le prix en euros. La fonction qui modélise la situation est P(d) = 2d + 6.

Première question : quel est le prix pour 8 km ? On cherche l’image de 8 par P. On calcule P(8) = 2 × 8 + 6 = 16 + 6 = 22. Pour 8 km, le prix est 22 €.

Deuxième question : pour quelle distance le prix est-il 30 € ? On cherche un antécédent de 30 par P. Il faut résoudre 2d + 6 = 30. On soustrait 6 : 2d = 24. On divise par 2 : d = 12. Le prix est donc de 30 € pour une distance de 12 km.

Troisième question : comment lire cette situation sur un graphique ? On place les distances sur l’axe horizontal et les prix sur l’axe vertical. Le point de coordonnées (8 ; 22) appartient à la courbe, car P(8) = 22. Pour lire l’image de 8, on part de 8 sur l’axe horizontal et on va jusqu’à la courbe, puis on lit 22 sur l’axe vertical. Pour lire l’antécédent de 30, on part de 30 sur l’axe vertical, on rejoint la courbe horizontalement, puis on lit 12 sur l’axe horizontal.

Ce type de problème montre que les fonctions servent à modéliser des situations réelles : tarifs, distances, aires, volumes, températures ou grandeurs physiques.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre image et antécédent dans f(a) = b — À faire : verbaliser que a est le nombre de départ et que b est le nombre d’arrivée.
• Erreur : croire que f(x) signifie f × x — À faire : retenir que f(x) se lit « f de x » et désigne l’image de x par la fonction f.
• Erreur : calculer f(x) sans remplacer x — À faire : encadrer la valeur à substituer et écrire chaque étape du remplacement.
• Erreur : oublier les parenthèses avec un nombre négatif — À faire : écrire par exemple f(-2) = 2 × (-2) - 3 avant d’effectuer le calcul.
• Erreur : lire les coordonnées dans le mauvais ordre — À faire : rappeler que l’abscisse se lit horizontalement et l’ordonnée verticalement.
• Erreur : penser qu’un nombre ne peut avoir qu’un seul antécédent — À faire : observer graphiquement qu’une même hauteur peut couper la courbe en plusieurs points.
• Erreur : répondre seulement par un nombre sans phrase — À faire : rédiger : « L’image de … est … » ou « … est un antécédent de … ».

10. À retenir

• Une fonction associe à un nombre de départ au plus un nombre d’arrivée.
• Le nombre de départ est souvent noté x : c’est l’antécédent lorsqu’on parle d’une image donnée.
• L’image de x par la fonction f se note f(x).
• Dans l’égalité f(3) = 8, l’image de 3 est 8 et 3 est un antécédent de 8.
• Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée dans l’expression de la fonction.
• Pour chercher un antécédent, on cherche la valeur de x qui donne l’image demandée.
• Sur un graphique, les antécédents se lisent sur l’axe horizontal et les images sur l’axe vertical.
• Un nombre de départ ne peut pas avoir deux images différentes, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.
• La routine utile est : je repère, j’applique, je vérifie.

11. Exercices d'application

Pour s’entraîner, on peut télécharger une fiche d’exercices au format PDF : Fonctions 3e — image, antécédent et notation f(x). Elle permet de travailler progressivement les compétences attendues en fin de cycle 4.

Les exercices proposés peuvent porter sur les tâches suivantes : compléter un tableau d’images, comprendre le vocabulaire image et antécédent, recomposer des phrases mathématiques correctes, passer d’un programme de calcul à une fonction, calculer f(a) pour différentes valeurs de a, chercher un antécédent par calcul, et lire des images ou des antécédents sur une courbe représentative.

Exemples de consignes : « Soit f(x) = 4x - 7. Calculer f(0), f(3) et f(-2). » ; « Dans l’égalité g(5) = 12, identifier l’image et l’antécédent. » ; « À partir du programme de calcul : choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 1, écrire la fonction associée. » ; « Sur le graphique, lire l’image de 2 et les antécédents de 4. »

Un barème possible sur 20 points peut être le suivant : compréhension du vocabulaire image et antécédent, 4 points ; calcul correct d’images en remplaçant x, 4 points ; utilisation correcte de la notation f(x), 4 points ; lecture graphique d’images et d’antécédents, 4 points ; rédaction claire avec phrases mathématiques précises, 4 points.

12. Questions fréquentes