Fonctions : lecture graphique, image et antécédent

1. Introduction et problématique

Une voiture roule à vitesse constante, par exemple 60 km/h. La distance parcourue dépend alors du temps de trajet : au bout de 1 h, elle a parcouru 60 km ; au bout de 2 h, 120 km ; au bout de 2,5 h, 150 km. Si on appelle x la durée du trajet en heures, la distance parcourue peut être notée f(x) = 60x. On dit que f est une fonction : à chaque valeur de x, elle associe une valeur f(x). En classe de 3e, il faut savoir utiliser cette idée de plusieurs façons : calculer une image avec une formule, retrouver un antécédent en résolvant une équation, et lire ces informations sur un graphique.

2. Définition

Une fonction est un procédé mathématique qui associe à un nombre de départ un unique nombre d'arrivée. Le nombre de départ est souvent noté x. Le nombre obtenu est noté f(x), ce qui se lit "f de x". La notation f : x → f(x) signifie que la fonction f transforme le nombre x en le nombre f(x).

Le nombre f(x) s'appelle l'image de x par la fonction f. Inversement, si f(a) = b, alors a est un antécédent de b par la fonction f. L'image est donc une valeur de sortie, tandis qu'un antécédent est une valeur d'entrée.

Définition : Une fonction f associe à chaque nombre x de son ensemble de définition un unique nombre noté f(x). Si f(a) = b, alors b est l'image de a par f, et a est un antécédent de b par f.

Attention : un nombre donné ne peut pas avoir deux images différentes par une même fonction. En revanche, un même nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul antécédent, ou aucun antécédent selon la fonction étudiée.

3. Propriétés et théorèmes

Les fonctions se rencontrent sous plusieurs formes : une formule, un tableau de valeurs, un programme de calcul, une phrase, ou une représentation graphique. Au cycle 4, on apprend à passer d'une représentation à une autre et à interpréter les résultats.

Si une fonction est donnée par une expression algébrique, par exemple f(x) = 2x + 3, calculer l'image de 5 signifie remplacer x par 5 : f(5) = 2 × 5 + 3 = 13. Chercher un antécédent de 13 signifie résoudre l'équation f(x) = 13, donc 2x + 3 = 13.

Sur un graphique, l'axe horizontal correspond généralement aux valeurs de x, c'est-à-dire aux antécédents possibles. L'axe vertical correspond aux valeurs de y, c'est-à-dire aux images. Le point de la courbe d'abscisse x a pour ordonnée f(x).

Théorème : Dans un repère, une courbe représente une fonction sur un intervalle si, pour chaque abscisse x de cet intervalle, la verticale d'abscisse x coupe la courbe en un seul point. L'ordonnée de ce point est alors f(x).

Ce résultat est souvent appelé le test de la verticale. Il exprime la définition même d'une fonction : une valeur d'entrée ne peut pas donner deux valeurs de sortie différentes.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

La justification du test de la verticale repose directement sur la définition d'une fonction. Imaginons un repère avec une courbe tracée. Choisissons une valeur de x, par exemple x = 2. Tous les points du plan dont l'abscisse vaut 2 sont situés sur la même droite verticale. Si cette verticale coupe la courbe en un seul point, par exemple le point de coordonnées (2 ; 5), alors on peut lire f(2) = 5 : l'image de 2 est 5.

Si la verticale d'abscisse 2 coupait la courbe en deux points, par exemple (2 ; 5) et (2 ; 8), cela signifierait que le même nombre 2 aurait deux images différentes : 5 et 8. Ce serait contraire à la définition d'une fonction. Une telle courbe ne pourrait donc pas représenter une fonction de x.

En revanche, une horizontale peut couper la courbe en plusieurs points. Cela signifie qu'un même nombre peut avoir plusieurs antécédents. Par exemple, pour la fonction f(x) = x², on a f(3) = 9 et f(-3) = 9. Le nombre 9 a donc deux antécédents : 3 et -3. Cela ne contredit pas la définition, car chaque nombre de départ garde une seule image.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir les questions sur les fonctions, il faut d'abord identifier ce qui est donné et ce qui est demandé. La méthode n'est pas la même selon que l'on cherche une image ou un antécédent.

1. Étape 1 : Repérer la question. Si on donne x et qu'on cherche f(x), on cherche une image. Si on donne f(x) ou y et qu'on cherche x, on cherche un antécédent.
2. Étape 2 : Choisir la bonne technique. Avec une formule, on remplace x par la valeur donnée pour une image ; on résout une équation f(x) = nombre pour un antécédent. Avec un graphique, on lit verticalement pour une image et horizontalement pour un antécédent.
3. Étape 3 : Vérifier la réponse. On contrôle le calcul en remplaçant x dans la formule, ou on vérifie que la lecture graphique respecte bien les graduations des axes.

Un bon réflexe consiste à dire mentalement : "image = sortie y" et "antécédent = entrée x". Cette phrase simple évite beaucoup de confusions.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : On considère la fonction f définie par f(x) = 2x + 3. Calculer l'image de 4 par f.

Rédaction modèle :

Étape 1 : On identifie la demande. On cherche l'image de 4 par la fonction f. Cela signifie qu'il faut calculer f(4).

Étape 2 : On utilise l'expression de la fonction : f(x) = 2x + 3. Pour calculer f(4), on remplace x par 4 dans l'expression.

Étape 3 : On effectue le calcul : f(4) = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.

Étape 4 : On conclut clairement : l'image de 4 par la fonction f est 11. On peut aussi écrire f(4) = 11.

Cette rédaction est importante : il ne suffit pas d'écrire le résultat. Il faut montrer que l'on a bien remplacé x par la valeur demandée. La notation f(4) ne signifie pas "f multiplié par 4" ; elle signifie "la valeur de la fonction f lorsque x vaut 4".

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : On considère la fonction f définie par f(x) = 2x + 3. Déterminer un antécédent de 15 par f.

Rédaction modèle :

Étape 1 : On identifie la demande. On cherche un nombre x dont l'image par f est 15. Il faut donc résoudre l'équation f(x) = 15.

Étape 2 : On remplace f(x) par son expression : 2x + 3 = 15.

Étape 3 : On résout l'équation : 2x + 3 = 15, donc 2x = 12, donc x = 6.

Étape 4 : On vérifie et on conclut. f(6) = 2 × 6 + 3 = 12 + 3 = 15. Donc 6 est un antécédent de 15 par la fonction f.

Dans cet exemple, la fonction est affine et l'équation obtenue est une équation du premier degré. Il n'y a qu'un seul antécédent de 15. Ce ne sera pas toujours le cas : avec f(x) = x², certains nombres positifs ont deux antécédents. Par exemple, 25 a pour antécédents 5 et -5, car 5² = 25 et (-5)² = 25.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un taxi facture 2,50 € de prise en charge, puis 1,20 € par kilomètre parcouru. On note T(x) le prix payé, en euros, pour un trajet de x kilomètres. Exprimer T(x), calculer le prix pour 10 km, puis déterminer la distance correspondant à un prix de 20,50 €.

Résolution :

Le prix total comprend une partie fixe, 2,50 €, et une partie proportionnelle à la distance, 1,20 € par kilomètre. Pour x kilomètres, la partie proportionnelle vaut 1,20x. On obtient donc la fonction T définie par T(x) = 2,50 + 1,20x.

Pour calculer le prix d'un trajet de 10 km, on cherche l'image de 10 par T : T(10) = 2,50 + 1,20 × 10 = 2,50 + 12 = 14,50. Le prix d'un trajet de 10 km est donc 14,50 €.

Pour trouver la distance correspondant à 20,50 €, on cherche un antécédent de 20,50 par T. On résout l'équation T(x) = 20,50, c'est-à-dire 2,50 + 1,20x = 20,50. On soustrait 2,50 aux deux membres : 1,20x = 18. On divise par 1,20 : x = 18 ÷ 1,20 = 15. Un prix de 20,50 € correspond donc à un trajet de 15 km.

Ce problème montre l'intérêt des fonctions : elles permettent de modéliser une situation réelle, de calculer une valeur directe et de répondre à une question inverse.

9. Erreurs classiques à éviter

Les erreurs sur les fonctions viennent souvent d'une confusion de vocabulaire ou d'une lecture trop rapide du graphique. Voici les pièges les plus fréquents.

• Erreur : Confondre f(3) avec une multiplication entre f et 3 — À faire : retenir que f(3) signifie "l'image de 3 par la fonction f", donc on remplace x par 3 dans l'expression de f.
• Erreur : Confondre image et antécédent — À faire : image = valeur obtenue en sortie, donc y ; antécédent = valeur donnée en entrée, donc x.
• Erreur : Penser qu'un nombre a toujours un seul antécédent — À faire : se souvenir qu'il peut y en avoir plusieurs. Pour f(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents : 3 et -3.
• Erreur : Lire une image horizontalement et un antécédent verticalement — À faire : pour une image, partir de x sur l'axe horizontal puis monter ou descendre jusqu'à la courbe ; pour un antécédent, partir de y sur l'axe vertical puis aller horizontalement jusqu'à la courbe.
• Erreur : Affirmer que f(0) = 0 pour toutes les fonctions — À faire : calculer avec l'expression donnée. Par exemple, si f(x) = 2x + 3, alors f(0) = 3.
• Erreur : Oublier les unités dans un problème concret — À faire : préciser si x représente des kilomètres, des heures, des euros, des centimètres ou une autre grandeur.

10. À retenir

• Une fonction f associe à chaque valeur x une unique valeur f(x). On écrit f : x → f(x).
• Calculer une image, c'est remplacer x par une valeur donnée dans l'expression de la fonction.
• Chercher un antécédent, c'est résoudre une équation du type f(x) = nombre.
• Sur un graphique, l'image se lit verticalement à partir de l'abscisse x ; l'antécédent se lit horizontalement à partir de l'ordonnée y.
• Un nombre ne peut pas avoir deux images par une même fonction, mais il peut avoir plusieurs antécédents.
• La valeur f(0) n'est pas forcément égale à 0 : elle dépend de la fonction étudiée.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — Pré-requis rapides sous forme de vrai ou faux pour vérifier le vocabulaire.
• Type 2 — Calculer des images avec une expression comme f(x) = 2x + 3.
• Type 3 — Calculer des antécédents en résolvant des équations simples.
• Type 4 — Lire graphiquement images et antécédents sur une droite dans un repère.
• Type 5 — Résoudre des problèmes concrets : taxi, périmètre, aire, bougie.