Identités remarquables : (a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b)

1. Introduction et problématique

Situation-problème : en calcul littéral, on rencontre souvent des expressions comme (x + 5)², (3x − 2)² ou x² − 49. Faut-il tout développer avec la distributivité ? Peut-on aller plus vite ? Comment reconnaître une expression que l’on peut factoriser ? En classe de 3e, les identités remarquables permettent de répondre à ces questions. Elles servent à développer rapidement des carrés ou des produits, mais aussi à factoriser certaines expressions.

Par exemple, pour calculer mentalement 102², on peut écrire 102 = 100 + 2, puis utiliser une identité remarquable : (100 + 2)² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. On évite ainsi un calcul posé plus long. En algèbre, la même idée permet de transformer (x + 4)² en x² + 8x + 16.

L’objectif de cette leçon est de connaître les trois identités remarquables du programme de 3e, de savoir les utiliser pour développer une expression, et de savoir les reconnaître dans l’autre sens pour factoriser. Il faudra être particulièrement attentif aux signes, au terme du milieu et aux carrés des coefficients.

2. Définition

Définition : Une identité remarquable est une égalité littérale toujours vraie, valable pour tous les nombres que l’on peut mettre à la place des lettres. Elle est dite « remarquable » car elle revient très souvent et permet de calculer, développer ou factoriser plus efficacement.

En 3e, on étudie principalement trois identités remarquables :

• Carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Carré d’une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Produit somme-différence : (a + b)(a − b) = a² − b².

On utilise aussi la troisième identité dans le sens inverse :

Différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b).

Le mot repère est carré, que l’on peut lire « car-ré ». Par exemple, (x + 4)² signifie que l’on multiplie (x + 4) par lui-même : (x + 4)(x + 4). En développant, on obtient x² + 4x + 4x + 16 = x² + 8x + 16. Le terme 8x correspond au double produit 2 × x × 4.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres ou expressions algébriques a et b, on a les identités remarquables suivantes : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b².

Ces formules sont vraies que a et b soient des nombres simples, comme 3 et 5, ou des expressions plus complexes, comme 2x et 7. Par exemple, dans (2x + 7)², on peut choisir a = 2x et b = 7. Il faut alors calculer a², 2ab et b² avec soin.

Ces identités servent dans deux directions :

• Développer : transformer un produit ou un carré en une somme, par exemple (x + 3)² = x² + 6x + 9.
• Factoriser : transformer une somme ou une différence en produit, par exemple x² − 25 = (x + 5)(x − 5).

Attention : a² + b² n’est pas une différence de deux carrés. Au collège, on ne factorise pas a² + b² avec une identité remarquable. Par exemple, x² + 25 ne devient pas (x + 5)(x − 5), car ce produit donne x² − 25.

4. Démonstration

On peut démontrer les identités remarquables à partir de la distributivité. Cela permet de comprendre d’où viennent les formules et d’éviter de les apprendre comme de simples recettes.

Pour le carré d’une somme :

(a + b)² = (a + b)(a + b).

En développant :

(a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b.

Donc :

(a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Le terme 2ab vient donc de deux produits identiques : ab et ba. C’est pour cela qu’il ne faut pas l’oublier.

Pour le carré d’une différence :

(a − b)² = (a − b)(a − b).

On développe :

(a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b².

Donc :

(a − b)² = a² − 2ab + b².

On remarque que le premier carré a² et le dernier carré b² sont positifs, tandis que le terme du milieu est négatif.

Enfin, pour le produit somme-différence :

(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b².

Les termes −ab et +ab s’annulent. Il reste :

(a + b)(a − b) = a² − b².

Cette démonstration montre pourquoi le résultat n’a que deux termes.

5. Méthode pas à pas

Pour utiliser correctement une identité remarquable, on peut suivre la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère : j’identifie la forme de l’expression. Est-ce un carré d’une somme (a + b)² ? Un carré d’une différence (a − b)² ? Un produit somme-différence (a + b)(a − b) ? Ou une différence de deux carrés a² − b² ?
2. Je choisis a et b : je repère précisément les deux éléments. Dans (3x − 4)², on a a = 3x et b = 4. Dans 9x² − 25, on reconnaît (3x)² − 5², donc a = 3x et b = 5.
3. J’applique : je remplace a et b dans la formule complète. Il ne faut pas aller trop vite : on écrit d’abord la structure, puis les calculs.
4. Je calcule les carrés : par exemple, (3x)² = 3x × 3x = 9x², et non 3x². De même, (2x)² = 4x².
5. Je calcule le double produit : dans (2x + 5)², le terme du milieu est 2 × 2x × 5 = 20x.
6. Je réduis : je simplifie les produits et les signes pour obtenir une expression claire.
7. Je vérifie : je contrôle les signes, le double produit 2ab, les carrés a² et b². Pour une factorisation, je peux développer le résultat pour vérifier que je retrouve l’expression de départ.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Développer et réduire l’expression suivante :

A = (x + 6)².

On reconnaît le carré d’une somme :

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Ici, a = x et b = 6. On applique la formule :

(x + 6)² = x² + 2 × x × 6 + 6².

On calcule :

2 × x × 6 = 12x et 6² = 36.

Donc :

A = x² + 12x + 36.

Le résultat comporte trois termes : le carré du premier terme, le double produit, puis le carré du second terme. Le signe du terme du milieu est positif parce que l’expression de départ est une somme.

Autre exemple avec un coefficient :

B = (3x + 2)².

Ici, a = 3x et b = 2. Alors :

B = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2².

B = 9x² + 12x + 4.

La vigilance porte sur (3x)² : il faut mettre au carré le coefficient 3 et la lettre x.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Factoriser l’expression suivante :

C = x² − 64.

On cherche une identité remarquable dans le sens inverse. On reconnaît une différence de deux carrés :

x² − 64 = x² − 8².

On utilise :

a² − b² = (a + b)(a − b).

Ici, a = x et b = 8. Donc :

C = (x + 8)(x − 8).

On peut vérifier en développant :

(x + 8)(x − 8) = x² − 8x + 8x − 64 = x² − 64. La factorisation est correcte.

Factorisons maintenant :

D = 9x² − 25.

On reconnaît :

9x² = (3x)² et 25 = 5².

Donc :

D = (3x)² − 5².

On applique l’identité :

D = (3x + 5)(3x − 5).

Il ne faut pas écrire (9x + 5)(9x − 5), car le premier carré est celui de 3x, pas celui de 9x.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur propose de calculer rapidement l’aire d’un carré dont le côté mesure x + 3 centimètres. On veut exprimer cette aire en fonction de x.

L’aire d’un carré est donnée par la formule :

aire = côté × côté.

Donc :

A = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)².

On reconnaît le carré d’une somme :

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Ici, a = x et b = 3. Alors :

A = x² + 2 × x × 3 + 3².

Donc :

A = x² + 6x + 9.

Cette expression peut s’interpréter géométriquement : un grand carré de côté x + 3 peut être découpé en un carré d’aire x², deux rectangles d’aire 3x chacun, et un petit carré d’aire 9. Les deux rectangles donnent ensemble 6x, ce qui correspond au double produit.

Si le côté valait x − 3, l’aire serait :

(x − 3)² = x² − 6x + 9.

Le résultat reste une somme de trois termes, mais le terme du milieu devient négatif. Cela correspond à la formule du carré d’une différence.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire (a + b)² = a² + b² — À faire : revenir à (a + b)(a + b) et faire apparaître ab + ab = 2ab.
• Erreur : écrire (a − b)² = a² − b² — À faire : distinguer le carré d’une différence, qui donne trois termes, du produit (a + b)(a − b), qui donne deux termes.
• Erreur : se tromper sur le signe du terme du milieu dans (a − b)² — À faire : utiliser directement la formule a² − 2ab + b² et vérifier que seul le terme du milieu est négatif.
• Erreur : factoriser x² + 25 en (x + 5)(x − 5) — À faire : rappeler que (x + 5)(x − 5) = x² − 25. La formule concerne une différence, pas une somme.
• Erreur : écrire (3x)² = 3x² — À faire : calculer (3x)² = 3x × 3x = 9x². Le coefficient et la lettre sont tous les deux au carré.
• Erreur : oublier les parenthèses autour d’une expression composée — À faire : si a = 2x, écrire (2x)² avant de calculer 4x².

10. À retenir

• Les identités remarquables sont des égalités toujours vraies, utiles pour développer et factoriser.
• Carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Carré d’une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Produit somme-différence : (a + b)(a − b) = a² − b².
• Différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b).
• Un carré d’une somme ou d’une différence donne trois termes : a², ±2ab et b².
• Le produit (a + b)(a − b) donne deux termes, car les termes du milieu s’annulent.
• Pour factoriser, il faut reconnaître les carrés : 16x² = (4x)², 49 = 7², x² = x².
• La somme a² + b² ne se factorise pas avec une identité remarquable au collège.
• La vérification la plus sûre consiste à développer la forme obtenue.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Identités remarquables 3e : développer et factoriser » avec corrigé et barème. Les exercices proposés permettent de s’entraîner progressivement, depuis la reconnaissance des formules jusqu’au choix entre développement et factorisation.

Aperçu des types d’exercices :

• Reconnaître la bonne identité : associer une expression à (a + b)², (a − b)² ou (a + b)(a − b).
• Développer avec une identité remarquable : calculer par exemple (x + 7)², (2x − 5)² ou (4x + 3)(4x − 3).
• Recomposer une formule : compléter des égalités à trous, comme (x + ... )² = x² + 10x + ....
• Factoriser directement : transformer x² − 81, 4x² − 9 ou 25x² − 16 en produits.
• Choisir développer ou factoriser : décider quelle forme est la plus utile selon la question posée.

Barème possible sur 20 points : reconnaissance correcte de l’identité remarquable, 4 points ; développement exact des carrés et produits, 5 points ; factorisation correcte des expressions, 5 points ; réduction et gestion des signes, 4 points ; présentation claire et vérifications, 2 points.

12. Questions fréquentes

Pourquoi dit-on identités remarquables ?

Ce sont des égalités toujours vraies, très utiles parce qu’elles reviennent souvent et permettent de calculer plus vite. Elles sont « remarquables » car elles évitent de refaire à chaque fois toute la distributivité.

Quelle est la différence entre (a − b)² et a² − b² ?

(a − b)² est un carré et se développe en a² − 2ab + b². En revanche, a² − b² est une différence de deux carrés et se factorise en (a + b)(a − b).

Pourquoi y a-t-il un terme 2ab dans (a + b)² ?

Parce que (a + b)² = (a + b)(a + b). En développant, on obtient a² + ab + ab + b², donc a² + 2ab + b².

Peut-on factoriser a² + b² avec une identité remarquable en 3e ?

Non. Au collège, on utilise la différence de deux carrés a² − b², pas la somme a² + b². Par exemple, x² + 25 ne se factorise pas avec ces identités remarquables.

Comment vérifier une factorisation ?

On peut développer la forme factorisée obtenue. Si on retrouve exactement l’expression de départ, avec les mêmes termes et les mêmes signes, la factorisation est correcte.