Probabilités : événements, calcul et équiprobabilité

1. Introduction et problématique

Tu lances un dé équilibré à 6 faces. Avant de le lancer, tu ne peux pas savoir avec certitude quel nombre va apparaître : c'est une situation de hasard. Pourtant, tu peux mesurer cette chance. Obtenir un 6 est moins probable qu'obtenir un nombre pair, car il n'y a qu'une seule face portant le 6, alors qu'il y a trois faces paires : 2, 4 et 6. De même, si tu tires une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, tu peux calculer la probabilité d'obtenir un cœur, une dame ou une figure. L'objectif de cette leçon est de comprendre comment modéliser une expérience aléatoire, identifier les événements, puis calculer leur probabilité lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire.

2. Définition

En probabilités, on étudie des expériences dont le résultat n'est pas connu à l'avance. On utilise un vocabulaire précis. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat exact avant de la réaliser. Par exemple, lancer un dé équilibré, tirer une boule dans une urne ou lancer une pièce sont des expériences aléatoires.

L'ensemble de tous les résultats possibles s'appelle l'univers. On le note souvent Ω. Chaque résultat possible s'appelle une issue. Un événement est une partie de l'univers : il est constitué d'une ou de plusieurs issues. On note souvent un événement par une lettre majuscule, par exemple A.

La probabilité d'un événement A se note P(A). C'est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance que l'événement A se réalise. On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Définition : dans une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement A est donnée par la formule : P(A) = nombre de cas favorables à A / nombre total de cas possibles.

Par exemple, pour un dé équilibré, l'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. L'événement A : "obtenir un nombre pair" est A = {2 ; 4 ; 6}. Il y a 3 cas favorables sur 6 cas possibles, donc P(A) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50 %.

3. Propriétés et théorèmes

Une probabilité respecte toujours des règles générales. Ces règles permettent de vérifier les calculs et d'éviter les résultats impossibles. Pour tout événement A, on a toujours 0 ≤ P(A) ≤ 1. Une probabilité ne peut donc jamais être négative, ni dépasser 1.

Un événement impossible ne peut jamais se produire. Sa probabilité est égale à 0. Par exemple, obtenir 7 en lançant un dé classique à 6 faces est impossible : P(obtenir 7) = 0.

Un événement certain se produit toujours. Sa probabilité est égale à 1. Par exemple, obtenir un nombre entre 1 et 6 en lançant un dé classique est certain : P(obtenir un nombre entre 1 et 6) = 1.

L'événement contraire de A, noté "non A", est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. Par exemple, si A est "obtenir un 6 au dé", alors non A est "ne pas obtenir un 6", c'est-à-dire obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5.

Théorème : pour tout événement A, la probabilité de son événement contraire est P(non A) = 1 - P(A). Autrement dit, P(A) + P(non A) = 1.

Lorsque deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, on dit qu'ils sont incompatibles. Dans ce cas, la probabilité de "A ou B" se calcule en additionnant les probabilités : P(A ou B) = P(A) + P(B), à condition que A et B soient incompatibles. Par exemple, lors d'un seul lancer de dé, "obtenir 2" et "obtenir 5" sont incompatibles.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

La formule P(A) = nombre de cas favorables / nombre total de cas possibles se comprend très bien grâce à une représentation simple. Imaginons un dé équilibré à 6 faces. Les 6 issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Comme le dé est équilibré, chaque face a la même chance d'apparaître. On peut donc imaginer que les 6 issues occupent 6 cases de même taille dans un tableau.

Si l'événement A est "obtenir un nombre pair", les cases favorables sont 2, 4 et 6. Il y a donc 3 cases favorables parmi les 6 cases possibles. La probabilité correspond à la part occupée par les cases favorables dans l'ensemble des cases : P(A) = 3/6. En simplifiant, on obtient P(A) = 1/2.

Cette justification repose sur une condition essentielle : les cases doivent avoir la même "taille", c'est-à-dire la même chance d'être choisies. C'est exactement l'hypothèse d'équiprobabilité. Si le dé est truqué, ou si les secteurs d'une roue n'ont pas la même taille, on ne peut pas utiliser directement cette formule sans information supplémentaire.

Pour l'événement contraire, les issues se partagent en deux groupes : celles où A se réalise et celles où A ne se réalise pas. Ces deux groupes forment tout l'univers, sans se chevaucher. Leur probabilité totale vaut donc 1. Ainsi, P(A) + P(non A) = 1, donc P(non A) = 1 - P(A).

5. Méthode pas à pas

Pour calculer correctement une probabilité en 3e, il faut commencer par modéliser la situation. La formule est simple, mais elle ne fonctionne que si l'on sait précisément ce que l'on compte.

1. Étape 1 : identifier l'expérience aléatoire et l'univers Ω. Il faut lister ou compter toutes les issues possibles. Par exemple, pour un dé équilibré, il y a 6 issues possibles.
2. Étape 2 : identifier l'événement A étudié et compter les cas favorables. Par exemple, pour "obtenir un nombre premier" au dé, les cas favorables sont 2, 3 et 5 : il y en a 3.
3. Étape 3 : appliquer la formule P(A) = nombre de cas favorables / nombre total de cas possibles, puis simplifier si possible. On peut aussi convertir le résultat en décimal ou en pourcentage.

Après le calcul, il faut toujours vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1. Si l'on trouve 3, 7 ou 125 %, c'est qu'une erreur a été commise. Une probabilité de 0 signifie que l'événement est impossible ; une probabilité de 1 signifie qu'il est certain.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : on lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 ? Donner le résultat sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage.

Rédaction modèle :

Étape 1 : identification de l'univers. L'expérience aléatoire est le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il y a donc 6 cas possibles.

Étape 2 : identification de l'événement. On note A l'événement : "obtenir un nombre supérieur à 4". Les nombres supérieurs à 4 sur un dé sont 5 et 6. Il y a donc 2 cas favorables.

Étape 3 : application de la formule. Comme les 6 faces d'un dé équilibré sont équiprobables, on peut écrire : P(A) = nombre de cas favorables / nombre total de cas possibles = 2/6.

Étape 4 : simplification et conclusion. On simplifie la fraction : 2/6 = 1/3. En écriture décimale, 1/3 ≈ 0,333. En pourcentage, cela donne environ 33,3 %. Donc la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 est P(A) = 1/3 ≈ 0,333 ≈ 33,3 %.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule rouge ?

Rédaction modèle :

Étape 1 : identification de l'univers. L'expérience aléatoire consiste à tirer une boule dans l'urne. Il y a 5 + 3 + 2 = 10 boules au total. L'univers contient donc 10 issues possibles, si l'on considère chaque boule comme une issue.

Étape 2 : choix de l'événement. On note R l'événement : "tirer une boule rouge". Il y a 5 boules rouges sur 10, donc P(R) = 5/10 = 1/2.

Étape 3 : utilisation de l'événement contraire. L'événement demandé est "ne pas tirer une boule rouge". C'est l'événement contraire de R, noté non R. On utilise la propriété : P(non R) = 1 - P(R).

Étape 4 : calcul et conclusion. On obtient P(non R) = 1 - 1/2 = 1/2. On peut aussi vérifier directement : les boules non rouges sont les 3 bleues et les 2 vertes, soit 5 boules. Donc P(non R) = 5/10 = 1/2 = 50 %. La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est donc 1/2.

Cette méthode est souvent plus rapide lorsqu'un événement est décrit avec "ne pas", "aucun", "pas de" ou "au moins un" dans certaines situations.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : lors d'une tombola organisée par un club sportif, 200 tickets ont été vendus. Il y a 12 tickets gagnants : 1 ticket permet de gagner un vélo, 3 tickets permettent de gagner un ballon et 8 tickets permettent de gagner une gourde. Une personne achète un ticket au hasard. Quelle est la probabilité que son ticket soit gagnant ? Quelle est la probabilité qu'elle ne gagne rien ?

Résolution : L'expérience aléatoire est le choix d'un ticket parmi les 200 tickets vendus. On suppose que chaque ticket a la même chance d'être tiré : on est donc dans une situation d'équiprobabilité. L'univers contient 200 issues possibles.

On note G l'événement : "le ticket est gagnant". Les tickets gagnants sont les tickets donnant un vélo, un ballon ou une gourde. Il y en a 1 + 3 + 8 = 12. Il y a donc 12 cas favorables.

On applique la formule : P(G) = 12/200. On simplifie la fraction en divisant par 4 : 12/200 = 3/50. En écriture décimale, 3/50 = 0,06. En pourcentage, cela donne 6 %. La probabilité d'avoir un ticket gagnant est donc 6 %.

On cherche maintenant la probabilité de ne rien gagner. C'est l'événement contraire de G. On écrit donc : P(non G) = 1 - P(G). Comme P(G) = 0,06, on obtient P(non G) = 1 - 0,06 = 0,94. En pourcentage, cela correspond à 94 %. On peut aussi vérifier directement : il y a 200 - 12 = 188 tickets perdants, donc P(non G) = 188/200 = 94/100 = 0,94.

Conclusion : la personne a 6 % de chance de gagner un lot et 94 % de risque de ne rien gagner.

9. Erreurs classiques à éviter

Les calculs de probabilités semblent courts, mais les erreurs viennent souvent d'un mauvais comptage ou d'une mauvaise interprétation de l'événement. Voici les pièges les plus fréquents.

• Erreur : écrire une probabilité supérieure à 1, par exemple P(A) = 5 ou P(A) = 1,2 — À faire : vérifier systématiquement que 0 ≤ P(A) ≤ 1. Une probabilité est un rapport, pas seulement un nombre de cas favorables.
• Erreur : prendre le mauvais dénominateur, par exemple écrire P(obtenir un nombre pair au dé) = 3/3 — À faire : le dénominateur est toujours le nombre total de cas possibles. Ici, il y a 6 issues possibles, donc P(pair) = 3/6.
• Erreur : confondre "ou" et "et", par exemple multiplier les probabilités pour calculer "rouge ou bleue" — À faire : si les événements sont incompatibles, "ou" correspond à une addition des cas favorables. Dans une urne, tirer une boule rouge ou bleue signifie compter les rouges et les bleues.
• Erreur : oublier de vérifier si l'événement est possible, par exemple chercher P(obtenir 7) avec un dé à 6 faces — À faire : comparer l'événement à l'univers. Si aucune issue ne correspond, la probabilité vaut 0.
• Erreur : appliquer la formule d'équiprobabilité alors que les issues n'ont pas la même chance — À faire : vérifier que le dé est équilibré, que la pièce n'est pas truquée, que les secteurs d'une roue sont identiques ou que les objets sont tirés au hasard dans les mêmes conditions.
• Erreur : donner seulement un résultat sans phrase ni notation — À faire : écrire clairement l'événement et la notation, par exemple P(tirer une boule rouge) = 5/10 = 1/2.

10. À retenir

• La formule centrale en situation d'équiprobabilité est : P(A) = nombre de cas favorables / nombre total de cas possibles.
• La méthode consiste à identifier l'expérience aléatoire, l'univers Ω, l'événement A, puis à compter les cas favorables et les cas possibles.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si le résultat dépasse 1 ou est négatif, le calcul est faux.
• Un événement impossible a une probabilité égale à 0 ; un événement certain a une probabilité égale à 1.
• L'événement contraire de A se note non A et vérifie P(non A) = 1 - P(A).
• Dans un calcul avec "ou", il faut faire attention : si les événements sont incompatibles, on additionne les cas favorables ou les probabilités.
• L'équiprobabilité est une condition essentielle : toutes les issues doivent avoir la même chance de se produire.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — vérifier les prérequis avec des affirmations vrai ou faux sur les probabilités.
• Type 2 — identifier des événements certains, impossibles ou ni l'un ni l'autre.
• Type 3 — calculer des probabilités simples avec un dé, une pièce, une urne ou des cartes.
• Type 4 — compléter des égalités utilisant P(A), P(non A) et des fractions.
• Type 5 — résoudre des problèmes concrets en identifiant l'univers et l'événement.