Racine carrée : définition et propriétés

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, on rencontre souvent des longueurs, des aires ou des calculs qui ne donnent pas toujours un nombre entier ou décimal simple. Par exemple, un carré a une aire de 50 cm². Quelle est la longueur exacte de son côté ? Si le côté mesure c cm, alors son aire vaut c². Il faut donc trouver un nombre positif dont le carré vaut 50. Ce nombre s’écrit √50 et se lit « racine carrée de 50 ».

La racine carrée permet donc de répondre à une question inverse de celle du carré. Quand on calcule 7², on multiplie 7 par lui-même et on obtient 49. Quand on calcule √49, on cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 49. Ainsi, le mot repère est « carré » : 7² = 49, donc √49 = 7.

L’objectif de cette leçon est de définir correctement √a, de comprendre que (√a)² = a, de manipuler des racines carrées avec prudence et de simplifier des expressions comme √72 ou √50. On apprendra aussi à distinguer une valeur exacte, par exemple 5√2, d’une approximation décimale, par exemple 7,07.

La racine carrée est très utile en géométrie, notamment avec le théorème de Pythagore, mais aussi en calcul littéral et dans les problèmes concrets. Il est donc essentiel de savoir quand on peut utiliser les propriétés, et surtout quand on ne peut pas les utiliser.

2. Définition

Définition : Soit a un nombre positif. La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est égal à a. Autrement dit, √a est le nombre positif qui vérifie (√a)² = a.

La notation √a se lit « racine carrée de a ». Le nombre a, placé sous le symbole √, s’appelle le radicande. Dans le cadre du collège, on définit √a uniquement lorsque a est positif ou nul. On ne calcule donc pas √(-4) dans les nombres étudiés au collège.

Quelques exemples permettent de bien comprendre la définition. Comme 5² = 25, on a √25 = 5. Comme 12² = 144, on a √144 = 12. Comme 0² = 0, on a √0 = 0. La racine carrée d’un carré parfait est donc un nombre entier positif.

Attention : √36 = 6 et non -6. En effet, même si (-6)² = 36, la notation √36 désigne par convention le nombre positif dont le carré vaut 36. En revanche, l’équation x² = 36 possède deux solutions : x = 6 et x = -6. Il faut donc bien distinguer la notation √36 et la résolution d’une équation du type x² = 36.

On retiendra les écritures fondamentales suivantes : √a désigne une racine carrée, (√a)² = a exprime la définition, √(a × b) = √a × √b est une propriété du produit pour a et b positifs, et √(k² × a) = k√a permet de simplifier certaines racines lorsque k est positif.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres positifs a et b, on a √(a × b) = √a × √b. En particulier, si k est un nombre positif, alors √(k² × a) = k√a.

Cette propriété est très importante pour simplifier des racines carrées. Elle permet de sortir de la racine un facteur qui est un carré parfait. Par exemple, √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. L’écriture 5√2 est une valeur exacte de √50, plus simple que √50, et plus précise qu’une approximation comme 7,07.

On peut aussi utiliser la propriété dans l’autre sens : √3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6. Cette utilisation peut être pratique pour calculer un produit de racines carrées.

Voici quelques carrés parfaits à connaître : 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100, 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225.

Il existe aussi une propriété du quotient : si a est positif et b strictement positif, alors √(a ÷ b) = √a ÷ √b. Cette propriété peut être utile, mais la priorité en 3e est de maîtriser la définition, la propriété du produit et la simplification des racines carrées.

Il faut aussi connaître une propriété qui n’existe pas : en général, √(a + b) n’est pas égal à √a + √b. Par exemple, √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Ces deux résultats sont différents, donc la formule est fausse.

4. Démonstration

On veut justifier la propriété √(a × b) = √a × √b pour des nombres positifs a et b. Posons A = √a et B = √b. Par définition, A est positif et A² = a. De même, B est positif et B² = b.

Regardons maintenant le nombre A × B. Comme A et B sont positifs, leur produit A × B est positif. Calculons son carré :

(A × B)² = A² × B².

Or A² = a et B² = b. Donc :

(A × B)² = a × b.

Le nombre A × B est donc un nombre positif dont le carré vaut a × b. Par définition de la racine carrée, ce nombre est √(a × b). On obtient donc :

√(a × b) = A × B = √a × √b.

Cette démonstration montre pourquoi les conditions « a positif » et « b positif » sont nécessaires dans le cadre du collège : les racines carrées √a et √b doivent exister. Elle montre aussi pourquoi la propriété fonctionne avec un produit : le carré d’un produit est le produit des carrés.

Pour la simplification, on applique ce résultat avec un facteur carré. Si k est positif, alors :

√(k² × a) = √(k²) × √a = k√a.

Par exemple, √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2. Le facteur 36 est un carré parfait, car 36 = 6².

5. Méthode pas à pas

Pour réussir les exercices sur les racines carrées, on peut suivre la routine : « Je repère / J’applique / Je vérifie ».

1. Je repère : j’identifie le nombre sous la racine. Je cherche s’il est un carré parfait : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc. Si c’est le cas, je peux donner directement la racine carrée.
2. Je repère un facteur carré : si le nombre n’est pas un carré parfait, je cherche s’il contient un carré parfait comme facteur. Par exemple, 72 = 36 × 2, 50 = 25 × 2, 48 = 16 × 3.
3. J’applique la propriété du produit : pour des nombres positifs, j’écris √(a × b) = √a × √b. Je place le carré parfait dans une racine séparée.
4. Je simplifie : je remplace la racine carrée du carré parfait par l’entier correspondant. Par exemple, √36 = 6, donc √(36 × 2) = 6√2.
5. Je vérifie : je contrôle que ma réponse est positive et qu’elle est cohérente. Si j’ai simplifié √72 en 6√2, je peux vérifier que (6√2)² = 36 × 2 = 72.
6. Je garde la valeur exacte : si l’énoncé demande une valeur exacte, je ne remplace pas √2 par une approximation. J’écris 6√2, et non 8,48 environ.

Cette méthode est efficace pour les calculs simples comme pour les problèmes de géométrie. Elle permet d’éviter l’utilisation automatique de la calculatrice et de comprendre le sens des résultats.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Calculer √144, √81 et √0.

Résolution : On utilise directement la définition de la racine carrée. Il faut trouver le nombre positif dont le carré est égal au nombre donné.

Pour √144, on sait que 12² = 144. Donc √144 = 12.

Pour √81, on sait que 9² = 81. Donc √81 = 9.

Pour √0, on sait que 0² = 0. Donc √0 = 0.

Conclusion : √144 = 12, √81 = 9 et √0 = 0.

Dans ce premier type d’exercice, le point essentiel est la connaissance des carrés parfaits. Plus on connaît les carrés usuels, plus les calculs sont rapides. Il faut aussi se rappeler que le résultat d’une racine carrée est toujours positif ou nul.

Une erreur fréquente serait d’écrire √81 = -9. Cette écriture est fausse, car √81 désigne uniquement le nombre positif dont le carré vaut 81. En revanche, si l’on résout x² = 81, on obtient deux solutions : x = 9 et x = -9.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Simplifier √72 et √98 en donnant une valeur exacte.

Résolution de √72 : Le nombre 72 n’est pas un carré parfait. On cherche alors le plus grand carré parfait qui divise 72. On remarque que 72 = 36 × 2. Comme 36 est un carré parfait, on écrit :

√72 = √(36 × 2).

On applique la propriété du produit :

√(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2.

Donc √72 = 6√2.

Résolution de √98 : Le nombre 98 n’est pas un carré parfait. On cherche un facteur carré. On a 98 = 49 × 2. Donc :

√98 = √(49 × 2) = √49 × √2 = 7√2.

Conclusion : √72 = 6√2 et √98 = 7√2.

Ces résultats sont des valeurs exactes. On ne les remplace pas par des approximations décimales sauf si l’énoncé le demande. Par exemple, 6√2 est exact, alors que 8,49 est seulement une approximation de √72.

On peut vérifier le premier résultat : (6√2)² = 6² × (√2)² = 36 × 2 = 72. La vérification confirme que la simplification est correcte.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un carré a une aire de 50 m². Calculer la longueur exacte de son côté, puis donner une approximation au centième.

Analyse : Pour un carré, l’aire est égale au côté multiplié par lui-même. Si on appelle c la longueur du côté, alors l’aire vaut c². Ici, on sait que c² = 50. Comme une longueur est positive, on a c = √50.

Calcul exact : On simplifie √50. On cherche un facteur carré dans 50. On remarque que 50 = 25 × 2, et 25 est un carré parfait.

√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2.

La longueur exacte du côté est donc 5√2 m.

Approximation : À la calculatrice, √50 ≈ 7,071067811. Au centième, cela donne 7,07. On peut donc écrire c ≈ 7,07 m.

Conclusion : La valeur exacte de la longueur du côté est 5√2 m, et son approximation au centième est 7,07 m.

Dans un problème concret, il est important de lire précisément la consigne. Si l’on demande une valeur exacte, on écrit 5√2 m. Si l’on demande une approximation, on peut utiliser la calculatrice et arrondir. Les deux écritures ne jouent pas le même rôle : la valeur exacte ne perd aucune précision, tandis que l’approximation est plus facile à interpréter dans une situation réelle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire √36 = -6 — À faire : rappeler que √a désigne toujours le nombre positif dont le carré vaut a. Donc √36 = 6.
• Erreur : confondre √36 et l’équation x² = 36 — À faire : distinguer la notation √36, qui vaut 6, et l’équation x² = 36, qui a deux solutions : 6 et -6.
• Erreur : écrire √(9 + 16) = √9 + √16 — À faire : ne pas appliquer la propriété du produit à une somme. En réalité, √25 = 5, alors que 3 + 4 = 7.
• Erreur : ne pas simplifier √72 — À faire : chercher le plus grand carré parfait qui divise 72. Comme 72 = 36 × 2, on obtient √72 = 6√2.
• Erreur : donner une approximation au lieu d’une valeur exacte — À faire : écrire par exemple √50 = 5√2 si une valeur exacte est demandée, et non seulement 7,07.
• Erreur : additionner √18 + √50 en écrivant √68 — À faire : simplifier d’abord : √18 = 3√2 et √50 = 5√2, donc √18 + √50 = 8√2.
• Erreur : oublier les conditions de positivité — À faire : utiliser √(a × b) = √a × √b pour des nombres a et b positifs.

10. À retenir

• Pour un nombre positif a, √a est le nombre positif dont le carré vaut a.
• La relation fondamentale est (√a)² = a.
• La racine carrée d’un carré parfait est un entier positif : √49 = 7, √100 = 10, √144 = 12.
• La notation √36 désigne 6, pas -6. En revanche, l’équation x² = 36 a deux solutions.
• Pour a et b positifs, √(a × b) = √a × √b.
• Pour simplifier une racine, on cherche un facteur carré : √(k² × a) = k√a.
• Exemple important : √50 = √(25 × 2) = 5√2.
• On ne doit pas écrire √(a + b) = √a + √b : cette égalité est fausse en général.
• Une valeur exacte ne contient pas d’arrondi. Par exemple, 5√2 est exact, tandis que 7,07 est une approximation.
• La méthode à retenir est : je repère, j’applique, je vérifie.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Racine carrée : définition et propriétés (3e) » avec corrigé et barème.

Les exercices d’application doivent permettre de s’entraîner progressivement. Le premier type d’exercice consiste à reconnaître les racines carrées exactes : √64, √121, √169, √225. On vérifie ainsi la connaissance des carrés parfaits et la définition de √a.

Un deuxième type d’exercice est le « vrai ou faux ? ». Par exemple : √36 = -6 ; √(4 × 9) = √4 × √9 ; √(9 + 16) = √9 + √16 ; √50 = 5√2. Pour chaque affirmation, il faut justifier avec une propriété ou un contre-exemple.

Un troisième type d’exercice demande de décomposer pour simplifier : √12, √18, √27, √48, √72, √98. L’objectif est de repérer un carré parfait dans le radicande, puis d’appliquer √(a × b) = √a × √b.

Un quatrième type d’exercice demande d’écrire avec le symbole √. Par exemple : « le nombre positif dont le carré vaut 75 » s’écrit √75. Enfin, certains exercices demandent de calculer et de donner une valeur exacte, notamment dans des problèmes de géométrie utilisant des aires ou le théorème de Pythagore.

Barème possible sur 10 points : définition et vocabulaire de √a, 2 points ; reconnaissance des carrés parfaits, 2 points ; utilisation correcte des propriétés, 2 points ; simplification des racines carrées, 3 points ; présentation d’une valeur exacte et justification, 1 point.

12. Questions fréquentes