Rédaction théorème de Thalès : méthode simple et exacte
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Mis à jour le 24 avril 2026
La rédaction du théorème de Thalès consiste à écrire la configuration, l’alignement des points, le parallélisme des droites, puis l’égalité des rapports entre longueurs correspondantes. Ensuite, on remplace par les valeurs connues, on calcule la longueur cherchée et on rédige une conclusion claire.
« J’ai mis la formule, mais le professeur a dit que la rédaction était incomplète » : cette remarque revient souvent en 4e et en 3e. En réalité, pour réussir Thalès, il ne suffit pas d’écrire des rapports au hasard. Il faut suivre un ordre précis, avec les bons mots et les bonnes longueurs correspondantes. Quand j’aide un élève à corriger sa copie, je vois presque toujours les mêmes oublis : points alignés non précisés, parallélisme absent, ou conclusion trop vague. Une bonne rédaction est courte, logique et très codifiée. C’est exactement ce qui permet de gagner des points sans stress.
En bref : les réponses rapides
Comment rédiger le théorème de Thalès correctement
Pour bien rédiger le théorème de Thalès, il faut nommer les triangles, préciser l’alignement des points, indiquer le parallélisme des droites parallèles, puis écrire l’égalité des rapports avec les longueurs correspondantes. Enfin, on remplace par les valeurs connues, on calcule et on conclut clairement par la longueur cherchée. Cette méthode répond exactement à la question comment rédiger le théorème de thalès en collège.
En mathématiques, au collège, la rédaction sert à montrer que le calcul repose sur une démonstration courte et ordonnée, pas sur une simple recette. Le théorème de Thalès, hérité du nom de Thalès de Milet, s’utilise en 4e puis en 3e quand deux droites sécantes sont coupées par des droites parallèles. La phrase-type attendue dans une copie est la suivante : Dans le triangle $ABC$, les points $D$ et $E$ appartiennent respectivement aux droites $(AB)$ et $(AC)$, et les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a : $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$ Cette phrase du théorème de Thalès doit toujours faire apparaître la configuration, les hypothèses et les rapports de longueurs dans le bon ordre.
La bonne rédaction suit une logique fixe, attendue aussi bien en rédaction Thalès 3ème qu’en 4e : on annonce la figure, on vérifie les points alignés, on cite le parallélisme, puis on applique le théorème. Ensuite seulement, on écrit la théorème de thalès formule avec les côtés correspondants, sans mélanger les longueurs. Si $A$, $D$, $B$ sont alignés, si $A$, $E$, $C$ sont alignés, et si $(DE)\parallel(BC)$, alors les triangles $ADE$ et $ABC$ sont en situation de Thalès. Une copie correcte peut donc enchaîner ainsi : D’après le théorème de Thalès, $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$ Puis on remplace, par exemple, $$\frac{3}{5}=\frac{AE}{10},$$ d’où $AE=\frac{3\times 10}{5}=6$. La conclusion doit être rédigée : Donc $AE=6$ cm.
Exemple 1 : dans le triangle $ABC$, on sait que $D\in[AB]$, $E\in[AC]$, $(DE)\parallel(BC)$, $AD=4$, $AB=10$ et $AC=15$. La rédaction attendue est brève et exacte : Dans le triangle $ABC$, les points $D$ et $E$ appartiennent respectivement aux droites $(AB)$ et $(AC)$, et $(DE)\parallel(BC)$. D’après le théorème de Thalès, $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$ On remplace : $$\frac{4}{10}=\frac{AE}{15}.$$ Donc $$AE=\frac{4\times 15}{10}=6.$$ Conclusion : $AE=6$ cm. Exemple 2 : avec $AD=5$, $AB=8$ et $BC=12$, on écrit $$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC},$$ soit $$\frac{5}{8}=\frac{DE}{12},$$ donc $$DE=\frac{5\times 12}{8}=7{,}5.$$ La rédaction prouve le lien entre les triangles ; elle ne se limite jamais au calcul.
Exercice 1 : avec $AD=3$, $AB=9$, $AC=12$, trouver $AE$. Corrigé : $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{3}{9}=\frac{AE}{12},$$ donc $AE=4$. Exercice 2 : avec $AD=6$, $AB=10$, $BC=15$, trouver $DE$. Corrigé : $$\frac{6}{10}=\frac{DE}{15},$$ donc $DE=9$. Exercice 3 : avec $AE=8$, $AC=10$, $AB=15$, trouver $AD$. Corrigé : $$\frac{AD}{15}=\frac{8}{10},$$ donc $AD=12$. Exercice 4 : un élève écrit seulement $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$ Corrigé : c’est insuffisant, car il manque les hypothèses d’alignement et de parallélisme. Voilà le point clé quand on cherche comment rédiger le théorème de thalès : la formule seule ne vaut pas démonstration.
À retenir : une bonne rédaction du théorème de Thalès au collège suit toujours la même chaîne : configuration, hypothèses, application, rapports, calcul, conclusion. La différence avec la réciproque est nette : ici, on part des droites parallèles pour déduire des rapports égaux. En 3e, cette rigueur est attendue dans chaque exercice.
La phrase-type à apprendre presque par cœur
Phrase modèle à retenir pour la rédaction théorème de Thalès : dans les triangles $ABC$ et $AMN$, on sait que $A$, $M$, $B$ sont alignés, que $A$, $N$, $C$ sont alignés et que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. D’après le théorème de Thalès, on écrit alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.
Cette rédaction est celle qu’on attend le plus souvent au collège, car elle nomme d’abord les conditions, puis la conclusion. Pour l’adapter à une autre figure, il suffit de remplacer les lettres par celles du dessin, sans changer la logique. Le point commun des deux triangles doit rester à la même place, puis les points alignés et les côtés parallèles doivent correspondre exactement. Surtout, garde toujours le même ordre dans les rapports : si tu écris $\frac{AM}{AB}$, tu dois ensuite écrire $\frac{AN}{AC}$ et $\frac{MN}{BC}$, car ce sont des côtés homologues. Inverser une seule fraction ou mélanger l’ordre des lettres rend la rédaction fausse, même si l’idée générale est bonne.
Méthode de rédaction pas à pas avec un exemple de calcul
La méthode la plus sûre, pour savoir comment on fait le théorème de Thalès, consiste à garder toujours la même trame : repérer la figure, écrire les alignements, vérifier le parallélisme, appliquer la relation de proportionnalité, poser le calcul de longueur, puis conclure par une phrase complète. Cette routine simple évite les oublis et sécurise la rédaction théorème de thalès 3eme en contrôle.
Dans une configuration classique, on considère un triangle $ABC$ avec des points $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles. La rédaction exacte attendue dans l’énoncé d’un exercice de théorème de thalès 4ème commence toujours par les données de la figure : « Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre, les points $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et $(MN)\parallel(BC)$. » Cette base est indispensable, car écrire seulement une formule sans rappeler la configuration rend la solution incomplète, même si le résultat numérique est juste.
On peut alors rédiger proprement : « D’après le théorème de Thalès, dans les triangles $AMN$ et $ABC$, on a : $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$ » Le bon réflexe est de choisir la fraction qui contient l’inconnue et des longueurs connues. Par exemple, si $AM=3$ cm, $AB=5$ cm et $BC=7$ cm, pour trouver $MN$, on utilise $$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$$ puis $$\frac{3}{5}=\frac{MN}{7}.$$ Ensuite, on isole l’inconnue : $$MN=\frac{3\times 7}{5}=\frac{21}{5}=4{,}2\ \text{cm}.$$ La phrase finale doit être rédigée : « Donc $MN=4{,}2$ cm. » C’est cette structure, nette et complète, qui distingue une vraie rédaction d’une simple suite de calculs.
Exemple 1. Dans le triangle $ABC$, on sait que $M\in[AB]$, $N\in[AC]$, $(MN)\parallel(BC)$, $AM=4$ cm, $AB=10$ cm et $BC=6$ cm. La rédaction complète est la suivante : « Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, les points $A$, $N$, $C$ sont alignés et $(MN)\parallel(BC)$. D’après le théorème de Thalès, $$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}.$$ Donc $$\frac{4}{10}=\frac{MN}{6}.$$ Ainsi $$MN=\frac{4\times 6}{10}=2{,}4\ \text{cm}.$$ Donc $MN=2{,}4$ cm. » Ici, la bonne proportion est celle qui relie un petit côté du triangle $AMN$ au côté correspondant du grand triangle $ABC$.
Exemple 2. On garde la même figure, avec $AM=3$ cm, $AB=9$ cm et $AC=12$ cm, et l’on cherche $AN$. On écrit : « Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, les points $A$, $N$, $C$ sont alignés et $(MN)\parallel(BC)$. D’après le théorème de Thalès, $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$ Donc $$\frac{3}{9}=\frac{AN}{12}.$$ Alors $$AN=\frac{3\times 12}{9}=4\ \text{cm}.$$ Donc $AN=4$ cm. » Cette rédaction théorème de thalès 3eme est correcte, car elle nomme les points, cite le théorème, choisit la bonne égalité et termine par une réponse rédigée, sans sauter d’étape.
| À écrire | À ne pas écrire |
|---|---|
| « $A$, $M$, $B$ sont alignés ; $A$, $N$, $C$ sont alignés ; $(MN)\parallel(BC)$ » | « J’applique Thalès » sans justification |
| $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$ | Des rapports mélangés, par exemple $$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{AB}$$ |
| « Donc $MN=4{,}2$ cm » | « $=4{,}2$ » sans unité ni phrase |
Application rapide avec corrigé. Exercice 1 : $AM=2$, $AB=8$, $BC=10$, trouver $MN$. Corrigé : $$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{2}{8}=\frac{MN}{10}\Rightarrow MN=\frac{2\times 10}{8}=2{,}5.$$ Exercice 2 : $AM=5$, $AB=15$, $AC=18$, trouver $AN$. Corrigé : $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{5}{15}=\frac{AN}{18}\Rightarrow AN=6.$$ Exercice 3 : $AN=4$, $AC=10$, $BC=7$, trouver $MN$. Corrigé : $$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{4}{10}=\frac{MN}{7}\Rightarrow MN=2{,}8.$$ À chaque fois, la logique reste identique : repérer la configuration, choisir les côtés correspondants, puis terminer par une phrase de réponse.
À retenir : une rédaction correcte ne se limite jamais au résultat. Elle contient la figure, les alignements, le parallélisme, la relation de proportionnalité, le calcul posé proprement et la conclusion avec unité. C’est la méthode la plus fiable pour le calcul de longueur dans $ABC$ et $AMN$.
Exemple rédigé de A à Z
Exemple type de rédaction théorème de Thalès : dans le triangle $ABC$, avec $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$, on connaît $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm et $MN = 4{,}2$ cm. La rédaction exacte est : Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$, $N$ appartient à $[AC]$ et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Donc, d’après le théorème de Thalès, $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$ Puis on choisit le bon rapport : $$\frac{3}{5}=\frac{4{,}2}{BC}.$$ On calcule par produit en croix : $$3 \times BC = 5 \times 4{,}2 = 21,$$ donc $$BC=\frac{21}{3}=7.$$ Conclusion : donc $BC = 7$ cm.
Variante utile. Si $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm et $AC = 15$ cm, avec la même figure, on écrit encore $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$ Cette fois, on remplace correctement les côtés correspondants : $$\frac{4}{10}=\frac{AN}{15}.$$ Alors $$10 \times AN = 4 \times 15 = 60,$$ d’où $$AN=\frac{60}{10}=6.$$ En revanche, si l’on cherche $AC$, on part de $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$$ avec, par exemple, $AN = 6$ cm : $$\frac{4}{10}=\frac{6}{AC}.$$ Donc $$4 \times AC = 10 \times 6 = 60,$$ puis $$AC=\frac{60}{4}=15.$$ Ne permute jamais les rapports au hasard : petit sur grand doit rester dans le même ordre.
Réciproque du théorème de Thalès : rédaction, pièges et différence avec le théorème
La réciproque du théorème de Thalès sert à prouver que des droites parallèles existent. On vérifie d’abord que les points sont alignés sur les bonnes droites, puis on établit l’égalité de deux rapports égaux formés avec des longueurs correspondantes. Si tout est correct, on conclut que les droites sont parallèles.
La différence d’objectif est nette. Avec le théorème de Thalès, le parallélisme est déjà donné et permet de calculer des longueurs. Avec la réciproque du théorème de Thalès, c’est l’inverse : on connaît des longueurs et l’on veut démontrer que deux droites sont parallèles. Pour savoir comment rédiger la réciproque du théorème de Thalès, il faut toujours vérifier trois conditions : les points sont alignés sur les mêmes droites, dans le bon ordre ; les longueurs comparées sont correspondantes ; les deux rapports sont égaux, par exemple $ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} $. Sans ces trois éléments, la conclusion est fausse ou incomplète.
Rédaction modèle attendue au collège : « Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A$, $N$, $C$. De plus, $ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} $. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. » Cette rédaction réciproque Thalès 3ème doit rester stricte. On ne mélange pas les rapports, on n’écrit pas $ \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB} $ si les segments ne correspondent pas, et on ne conclut jamais au parallélisme sans citer les alignements. En 3e, la confusion vient souvent du schéma plus que du calcul.
Exemple 1 : $A$, $M$, $B$ sont alignés, $A$, $N$, $C$ sont alignés, avec $AM=4$, $AB=10$, $AN=6$ et $AC=15$. On calcule : $ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ et $ \frac{AN}{AC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Les rapports sont égaux. Les points sont bien sur les deux mêmes droites. On rédige alors : « Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. De plus, $ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} $. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel(BC)$. »
Exemple 2 : en configuration papillon, souvent appelée théorème de thalès papillon, les droites se croisent et l’ordre visuel perturbe. Si $A$, $M$, $B$ sont alignés mais avec $M$ entre $A$ et $B$, et si $A$, $N$, $C$ sont alignés sur l’autre droite, la méthode reste la même. On compare des segments portés par les mêmes droites, pas des longueurs choisies au hasard. Si $ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} $, alors la réciproque fonctionne encore ; sinon, le dessin trompe.
Exercice 1 : on donne $AM=3$, $AB=9$, $AN=5$, $AC=15$. Corrigé : $ \frac{AM}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ et $ \frac{AN}{AC}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. Avec les alignements, on conclut que les droites sont parallèles. Exercice 2 : mêmes longueurs, mais les points $M$ et $N$ ne sont pas situés sur les droites $(AB)$ et $(AC)$. Corrigé : la réciproque est impossible. Exercice 3 : un élève écrit $ \frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC} $. Corrigé : rapports mal choisis, car les longueurs ne sont pas correspondantes.
À retenir : le théorème de thalès réciproque sert à démontrer un parallélisme, pas à calculer une longueur. La rédaction exacte exige les alignements, l’égalité de deux rapports de longueurs correspondantes, puis la conclusion : $(MN)\parallel(BC)$. Les erreurs classiques sont toujours les mêmes : rapports inversés, alignement oublié, ou mauvaise lecture de la configuration papillon.
Formule, propriétés et astuces pour ne plus se tromper
La formule de Thalès n’est utile que si la figure respecte bien les hypothèses. Retenez trois réflexes : repérer les côtés homologues, conserver exactement le même ordre dans les rapports, puis vérifier la configuration avant tout calcul. En géométrie, une bonne rédaction vaut autant que le résultat numérique.
Quelle est la phrase pour le théorème de Thalès ? Dans un triangle $ABC$, si les points $D$ et $E$ appartiennent respectivement aux droites $(AB)$ et $(AC)$ et si $(DE)$ est parallèle à $(BC)$, alors les longueurs sont proportionnelles : $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$ Cette écriture donne aussi quelle est la formule du théorème de Thalès. Les propriétés à mémoriser sont simples : une droite parallèle crée des triangles emboîtés semblables, les rapports comparent des segments placés dans le même sens, et un produit en croix n’est juste que si l’ordre des lettres reste cohérent.
Si vous vous demandez quelles sont les propriétés du théorème de Thalès, pensez à ceci : même sommet, côtés correspondants, parallèle obligatoire. L’astuce la plus sûre consiste à suivre un trajet identique dans les deux triangles, par exemple “petit puis grand” : $AD \leftrightarrow AB$, $AE \leftrightarrow AC$, $DE \leftrightarrow BC$. En revanche, écrire $\frac{AD}{AC}$ mélange deux côtés non homologues. Pour distinguer Thalès de la rédaction théorème de pythagore, regardez la figure : Thalès parle de parallèles et proportionnalité, tandis que le théorème de Pythagore demande un triangle rectangle et relie des carrés de longueurs, comme $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$.
Exemple 1. Dans le triangle $ABC$, $D \in [AB]$, $E \in [AC]$ et $(DE)\parallel(BC)$. On connaît $AD=3$, $AB=5$ et $AC=10$. Par Thalès : $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$$ Donc $\frac{3}{5}=\frac{AE}{10}$, d’où $AE=\frac{3\times10}{5}=6$. Exemple 2. On connaît $AD=4$, $AB=10$ et $BC=15$. Alors $$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$$ soit $\frac{4}{10}=\frac{DE}{15}$, donc $DE=\frac{4\times15}{10}=6$. À chaque étape, la rédaction doit citer la parallèle avant le calcul.
Exercice 1. $AD=2$, $AB=8$, $AC=12$. Trouver $AE$. Réponse : $\frac{2}{8}=\frac{AE}{12}$, donc $AE=3$. Exercice 2. $AD=6$, $AB=9$, $BC=12$. Trouver $DE$. Réponse : $\frac{6}{9}=\frac{DE}{12}$, donc $DE=8$. Exercice 3. Un élève écrit $\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{AC}$ : faux, car les segments ne sont pas homologues. Exercice 4. Peut-on appliquer Thalès sans parallèle ? Non. Exercice 5. Peut-on utiliser sa réciproque pour prouver un parallélisme ? Oui, si les rapports de longueurs sont égaux dans le bon ordre.
Checklist mentale : vérifier la parallèle ; nommer les points dans l’ordre ; écrire seulement des côtés homologues ; garder le même ordre dans tous les rapports ; faire le produit en croix seulement après la rédaction. Si la figure montre un angle droit plutôt qu’une parallèle, pensez d’abord au théorème de Pythagore, pas à Thalès.
comment rédiger le théorème de thalès
Pour rédiger le théorème de Thalès, je commence par décrire la figure : dans un triangle, une droite est parallèle à un côté. Ensuite, je nomme les points alignés, puis j’écris l’égalité des rapports de longueurs correspondants. Enfin, je conclus avec le calcul demandé. La rédaction doit toujours citer l’alignement, le parallélisme et les rapports.
Comment bien rédiger le théorème de Pythagore ?
Pour bien rédiger le théorème de Pythagore, j’indique d’abord que le triangle est rectangle en un point précis. Ensuite, je précise quel côté est l’hypoténuse. Puis j’écris la formule adaptée, par exemple AB² + AC² = BC². Enfin, je remplace par les valeurs connues et je termine par une phrase de conclusion claire avec l’unité.
Quelle est la phrase du théorème de Pythagore ?
La phrase classique est : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En rédaction, j’ajoute souvent le nom du triangle et le sommet de l’angle droit pour que la démonstration soit précise et complète.
Comment rédiger la réciproque du théorème de Thalès ?
Pour rédiger la réciproque du théorème de Thalès, je commence par signaler les points alignés sur deux droites. Ensuite, je montre que les rapports des longueurs sont égaux. Si les conditions d’alignement sont respectées, je conclus que les droites concernées sont parallèles. La conclusion doit être explicite : l’égalité des rapports permet d’affirmer le parallélisme.
Comment on fait le théorème de Thalès ?
Pour faire le théorème de Thalès, je vérifie d’abord qu’il y a une configuration avec des points alignés et deux droites parallèles. Ensuite, j’écris les rapports entre les côtés correspondants. Je remplace par les longueurs connues, puis je résous l’équation. Enfin, je donne la valeur trouvée dans une phrase de conclusion avec l’unité adaptée.
Quelles sont les propriétés du théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès permet d’affirmer que, dans une figure avec des droites parallèles, certaines longueurs sont proportionnelles. Il sert à calculer une longueur inconnue ou à prouver un parallélisme avec sa réciproque. Ses propriétés reposent sur l’alignement des points, le parallélisme des droites et la correspondance correcte entre les segments comparés.
Comment rédiger théorème de Thalès ?
Je rédige le théorème de Thalès en trois étapes simples. D’abord, j’annonce la configuration géométrique avec les points alignés et les droites parallèles. Ensuite, j’écris les rapports de proportionnalité entre les segments correspondants. Enfin, j’effectue le calcul et je conclus clairement. Une bonne rédaction est structurée, précise et respecte les notations de la figure.
Quelle est la phrase pour le théorème de Thalès ?
La phrase du théorème de Thalès est généralement : si, dans un triangle, une droite est parallèle à l’un des côtés et coupe les deux autres côtés, alors les longueurs des segments formés sont proportionnelles. En pratique, j’ajoute les noms des points pour écrire ensuite les rapports exacts demandés dans l’exercice.
Bien rédiger le théorème de Thalès, c’est surtout respecter une méthode fixe : décrire la figure, rappeler les hypothèses, écrire les rapports dans le bon ordre, calculer, puis conclure proprement. Avec une phrase-type apprise et quelques réflexes sur les longueurs correspondantes, la rédaction devient beaucoup plus simple. Pour progresser vite, entraînez-vous sur deux ou trois figures classiques en distinguant toujours le théorème de Thalès et sa réciproque.
