Théorème de Thalès : configuration directe

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on veut calculer une longueur inaccessible sans la mesurer directement. Par exemple, dans un triangle ADE, un point B est placé sur le segment [AD] et un point C est placé sur le segment [AE]. On sait que la droite (BC) est parallèle à la droite (DE). Si certaines longueurs sont connues, peut-on trouver une longueur manquante comme BC, AC ou DE ?

Le théorème de Thalès répond précisément à ce type de question. Il permet de relier des longueurs dans une configuration géométrique où deux droites parallèles coupent deux droites sécantes. En classe de 3e, on l’utilise notamment dans la configuration directe en triangle : un petit triangle est « inclus » dans un grand triangle, et les deux bases sont parallèles.

L’objectif de cette leçon est triple : reconnaître une configuration de Thalès, écrire correctement les rapports de longueurs, puis calculer une longueur à l’aide de la proportionnalité et du produit en croix. La formule essentielle à retenir dans la configuration directe est :

Si B appartient à [AD], C appartient à [AE] et (BC) // (DE), alors AB/AD = AC/AE = BC/DE.

Cette égalité de rapports traduit une idée simple : le petit triangle ABC est une réduction du grand triangle ADE. Les longueurs correspondantes sont donc proportionnelles.

2. Définition

Définition : On appelle configuration de Thalès directe en triangle une situation où, dans un triangle ADE, le point B appartient au segment [AD], le point C appartient au segment [AE], et la droite (BC) est parallèle à la droite (DE). Dans cette configuration, les triangles ABC et ADE ont des côtés correspondants proportionnels.

Les mots importants sont : points alignés, droites parallèles et côtés correspondants. On ne peut pas utiliser le théorème de Thalès uniquement parce qu’une figure « ressemble » à une configuration de Thalès. Il faut vérifier ou disposer des hypothèses : B est bien sur [AD], C est bien sur [AE], et les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Dans la configuration directe, le point A est le sommet commun des deux triangles. Le petit triangle est ABC et le grand triangle est ADE. Les côtés correspondants sont :

• AB correspond à AD ;
• AC correspond à AE ;
• BC correspond à DE.

Il faut conserver le même ordre dans les fractions : petit côté sur grand côté, ou bien grand côté sur petit côté, mais sans mélanger les deux au milieu de l’égalité.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans le triangle ADE, si B appartient à [AD], si C appartient à [AE] et si (BC) // (DE), alors les longueurs des triangles ABC et ADE sont proportionnelles. On a : AB/AD = AC/AE = BC/DE.

Ce théorème est le théorème de Thalès dans sa forme directe. Il permet de calculer une longueur inconnue lorsqu’on connaît suffisamment de longueurs correspondantes.

On peut aussi écrire les rapports dans l’autre sens, à condition de rester cohérent :

AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Mais on ne doit pas mélanger les deux écritures. Par exemple, écrire AB/AD = AE/AC est généralement une erreur, car la première fraction est « petit sur grand » alors que la deuxième est « grand sur petit ».

Dans cette leçon, on privilégie l’écriture suivante, très utilisée en 3e :

AB/AD = AC/AE = BC/DE.

Cette formule signifie que le coefficient de réduction du grand triangle vers le petit triangle est le même pour toutes les longueurs correspondantes. Si AB/AD = 1/3, alors AC/AE = 1/3 et BC/DE = 1/3.

4. Démonstration

Au collège, le théorème de Thalès est admis ou justifié à partir de la proportionnalité et de propriétés géométriques liées aux droites parallèles. L’idée principale est que deux triangles placés dans cette configuration ont la même « forme » : leurs angles correspondants sont égaux.

Dans le triangle ADE, on suppose que B appartient à [AD], que C appartient à [AE] et que (BC) // (DE). Comme les droites (AD) et (AE) sont sécantes en A, et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles, les angles correspondants formés par ces droites sont égaux.

Ainsi, le triangle ABC a les mêmes angles que le triangle ADE. On dit qu’ils sont de même forme. Le triangle ABC est une réduction du triangle ADE. Les longueurs correspondantes sont donc multipliées par un même coefficient.

Si ce coefficient est noté k, alors :

• AB = k × AD ;
• AC = k × AE ;
• BC = k × DE.

En divisant chaque égalité par la longueur du grand triangle correspondante, on obtient :

AB/AD = k, AC/AE = k et BC/DE = k.

Donc ces trois rapports sont égaux :

AB/AD = AC/AE = BC/DE.

Cette démonstration explique pourquoi le parallélisme est indispensable. Sans les droites parallèles, les triangles n’ont pas nécessairement la même forme, et les rapports de longueurs ne sont pas forcément égaux.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la configuration. Je cherche deux droites sécantes, souvent (AD) et (AE), puis deux points B et C placés sur ces droites ou sur ces segments.
2. Je vérifie les hypothèses. Je dois pouvoir dire : B appartient à [AD], C appartient à [AE] et (BC) // (DE). Si le parallélisme n’est pas donné ou démontré, je ne peux pas appliquer Thalès.
3. J’identifie les triangles. Le petit triangle est ABC et le grand triangle est ADE. Le sommet commun est A.
4. J’associe les côtés correspondants. Je relie AB avec AD, AC avec AE, et BC avec DE.
5. J’écris les rapports littéraux. Dans la configuration directe, j’écris : AB/AD = AC/AE = BC/DE.
6. Je remplace par les valeurs connues. Je garde uniquement deux fractions utiles : celle qui contient l’inconnue et celle qui contient des nombres connus.
7. Je calcule avec un produit en croix. Si x/a = b/c, alors x = a × b ÷ c.
8. Je vérifie la cohérence. Si je cherche une longueur du petit triangle, elle doit être plus petite que la longueur correspondante du grand triangle. Si je cherche une longueur du grand triangle, elle peut être plus grande.
9. Je conclus avec une phrase et une unité. Par exemple : « Donc la longueur BC mesure 4 cm. »

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Dans le triangle ADE, on sait que B appartient à [AD], que C appartient à [AE] et que (BC) // (DE). On donne :

• AB = 3 cm ;
• AD = 9 cm ;
• DE = 12 cm.

On cherche BC.

Les hypothèses de Thalès sont vérifiées : les points sont bien alignés sur les côtés du triangle et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. On peut donc écrire :

AB/AD = AC/AE = BC/DE.

On utilise les rapports qui contiennent les longueurs utiles :

AB/AD = BC/DE.

On remplace par les valeurs :

3/9 = BC/12.

On calcule par produit en croix :

BC = 12 × 3 ÷ 9.

BC = 36 ÷ 9 = 4.

Donc BC mesure 4 cm.

La réponse est cohérente : BC est un côté du petit triangle et DE est le côté correspondant du grand triangle. Comme le petit triangle est une réduction du grand triangle, il est normal que BC < DE.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère encore le triangle ADE, avec B appartient à [AD], C appartient à [AE] et (BC) // (DE). On donne :

• AB = 5 cm ;
• BC = 7 cm ;
• DE = 21 cm.

On cherche AD, une longueur du grand triangle.

On applique le théorème de Thalès :

AB/AD = AC/AE = BC/DE.

On choisit les rapports utiles :

AB/AD = BC/DE.

On remplace :

5/AD = 7/21.

On simplifie si possible : 7/21 = 1/3. On obtient donc :

5/AD = 1/3.

Par produit en croix :

AD = 5 × 3 = 15.

Donc AD mesure 15 cm.

Dans ce cas, la longueur cherchée est celle du grand triangle. Il est donc normal qu’elle soit plus grande que AB. On vérifie : 15 cm > 5 cm. Cette vérification permet de repérer certaines erreurs, comme une inversion de fraction qui aurait donné une longueur trop petite.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un élève veut estimer la largeur d’une rivière sans la traverser. Il place des repères au sol de manière à former un grand triangle ADE. Il place ensuite deux points B et C sur les côtés [AD] et [AE], de sorte que (BC) soit parallèle à (DE). La longueur DE représente la largeur à estimer à une certaine échelle. On connaît :

• AB = 4 m ;
• AD = 10 m ;
• BC = 6 m.

On cherche DE.

La configuration est une configuration de Thalès directe : B appartient à [AD], C appartient à [AE] et (BC) // (DE). On écrit donc :

AB/AD = AC/AE = BC/DE.

On utilise :

AB/AD = BC/DE.

On remplace :

4/10 = 6/DE.

On applique le produit en croix :

4 × DE = 10 × 6.

4 × DE = 60.

DE = 60 ÷ 4 = 15.

Donc DE mesure 15 m.

Ce type de situation montre l’intérêt du théorème de Thalès : on peut calculer une longueur difficile ou impossible à mesurer directement, à condition de construire une configuration avec des alignements et des droites parallèles.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : appliquer Thalès sans vérifier que les droites sont parallèles — À faire : entourer les hypothèses indispensables avant tout calcul : points alignés et droites parallèles.
• Erreur : écrire les rapports dans un ordre incohérent, par exemple AB/AD = AE/AC — À faire : associer les côtés correspondants et garder le même sens dans chaque fraction.
• Erreur : inverser une fraction au milieu du calcul — À faire : écrire d’abord la ligne littérale AB/AD = AC/AE = BC/DE, puis seulement remplacer par les valeurs numériques.
• Erreur : obtenir une longueur impossible, par exemple une longueur du petit triangle plus grande que celle du grand triangle correspondant — À faire : vérifier la cohérence du résultat avec la figure.
• Erreur : oublier l’unité dans la réponse finale — À faire : terminer par une phrase complète : « Donc la longueur ... mesure ... cm. »
• Erreur : utiliser une longueur partielle à la place d’une longueur totale, par exemple utiliser BD au lieu de AD — À faire : repérer si la formule demande une longueur depuis le sommet A ou une différence de longueurs.

10. À retenir

• La configuration directe de Thalès se reconnaît dans un triangle ADE avec B sur [AD], C sur [AE] et (BC) // (DE).
• Le petit triangle est ABC et le grand triangle est ADE.
• Les côtés correspondants sont AB et AD, AC et AE, BC et DE.
• La formule essentielle est : AB/AD = AC/AE = BC/DE.
• Les rapports doivent être écrits dans le même ordre : petit sur grand ou grand sur petit, mais pas les deux en même temps.
• Pour trouver une longueur, on utilise une égalité de deux fractions puis un produit en croix.
• Avant de calculer, il faut toujours vérifier les hypothèses : alignements et parallélisme.
• Après le calcul, il faut vérifier la cohérence du résultat et écrire une conclusion avec l’unité.

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie.

• 🔎 Je repère : je vérifie les alignements et le parallélisme.
• ✍️ J’applique : j’écris les rapports dans le même ordre, puis je remplace par les longueurs connues.
• ✅ Je vérifie : je contrôle l’unité, la cohérence de la longueur trouvée et la rédaction de la conclusion.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Théorème de Thalès : configuration directe (3e) » avec énoncés, figures et corrigé détaillé.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Reconnaître les rapports : à partir d’une figure, associer les côtés correspondants et compléter une égalité du type AB/AD = AC/AE = BC/DE.
• Dire si Thalès s’applique : observer plusieurs figures et justifier si les hypothèses sont réunies : points alignés, droites parallèles, configuration en triangle.
• Remettre une résolution dans l’ordre : replacer les étapes d’une solution : hypothèses, théorème, rapports, remplacement, calcul, conclusion.
• Calculer une longueur : utiliser le produit en croix pour trouver BC, AC, AD, AE ou DE.
• Rédiger une solution complète : écrire une démonstration conforme aux exigences de 3e, avec phrase d’introduction, formule, calcul et conclusion.

Barème possible sur 20 points :

• Reconnaissance de la configuration et des parallèles : 4 points.
• Écriture correcte des rapports de Thalès : 4 points.
• Substitution des valeurs numériques : 4 points.
• Calcul proportionnel et produit en croix : 5 points.
• Rédaction, conclusion et unité : 3 points.

12. Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser le théorème de Thalès ?

On peut l’utiliser lorsqu’on a une configuration avec des points alignés sur deux droites sécantes et deux droites parallèles. Dans la configuration directe en triangle, par exemple, B est sur [AD], C est sur [AE] et (BC) est parallèle à (DE).

Pourquoi faut-il faire attention à l’ordre des rapports ?

Les longueurs doivent être comparées dans le même ordre. Si on écrit AB/AD pour un côté, il faut écrire AC/AE pour le deuxième côté et BC/DE pour les bases correspondantes. On garde ainsi l’ordre « petit triangle sur grand triangle ».

Quelle est la formule à retenir ?

Dans le triangle ADE, si B appartient à [AD], C appartient à [AE] et (BC) // (DE), alors AB/AD = AC/AE = BC/DE. Cette formule exprime l’égalité des rapports de longueurs correspondantes.

Que faire si une longueur n’est pas donnée directement ?

Il faut parfois la calculer avant d’appliquer Thalès. Par exemple, si AD = AB + BD, on doit d’abord trouver AD, puis écrire les rapports. Il ne faut pas confondre une longueur totale comme AD avec une partie comme BD.

Thalès donne-t-il toujours une longueur plus petite ?

Non. Cela dépend de la longueur cherchée. Si on cherche une longueur du petit triangle, elle est plus petite que la longueur correspondante du grand triangle. Mais si on cherche une longueur du grand triangle, elle peut être plus grande.