Trigonométrie : sinus, cosinus, tangente

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un géomètre veut mesurer la hauteur d’un arbre sans grimper dessus. Il se place à 12 m du pied de l’arbre et mesure l’angle entre le sol horizontal et sa ligne de visée vers le sommet : il trouve 38°. Comment peut-il déterminer la hauteur de l’arbre ? En classe de 3e, la trigonométrie permet de résoudre ce type de problème dès qu’un triangle rectangle apparaît. Elle sert à calculer une longueur inaccessible, une distance, une hauteur, une pente ou encore un angle.

La trigonométrie étudiée au collège repose sur trois rapports : le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle. Ces rapports relient les longueurs des côtés du triangle à la mesure d’un angle. L’objectif est de savoir reconnaître les côtés utiles, choisir la bonne formule, effectuer le calcul avec une calculatrice et vérifier que le résultat est cohérent.

Dans cette leçon, on apprendra à utiliser les notations sin(A), cos(A) et tan(A), à mémoriser les formules grâce au mémo SOH CAH TOA, à calculer un côté dans un triangle rectangle et à calculer un angle avec les touches inverses sin⁻¹, cos⁻¹ et tan⁻¹. Les mots-clés importants sont : trigonométrie 3e, sin cos tan, triangle rectangle, calculer angle et calculer côté.

2. Définition

Définition : Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, le sinus, le cosinus et la tangente sont des rapports entre deux longueurs de côtés. Si l’on choisit un angle A, alors :
sin(A) = côté opposé à A ÷ hypoténuse ;
cos(A) = côté adjacent à A ÷ hypoténuse ;
tan(A) = côté opposé à A ÷ côté adjacent à A.

Avant d’utiliser ces formules, il faut identifier correctement trois types de côtés. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est toujours le plus long côté du triangle rectangle. Le côté opposé à l’angle A est le côté situé en face de cet angle. Le côté adjacent à l’angle A est le côté qui touche l’angle A, mais qui n’est pas l’hypoténuse.

Attention : les mots « opposé » et « adjacent » dépendent de l’angle choisi. Si l’on change d’angle aigu dans le même triangle, le côté opposé et le côté adjacent s’échangent. En revanche, l’hypoténuse reste toujours la même, car elle dépend seulement de l’angle droit.

Le moyen mnémotechnique le plus utilisé est :

SOH CAH TOA

• SOH : Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse, par exemple sin(A) = 3 ÷ 5 = 0,6.
• CAH : Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse, par exemple cos(A) = 4 ÷ 5 = 0,8.
• TOA : Tangente = Opposé ÷ Adjacent, par exemple tan(A) = 3 ÷ 4 = 0,75.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans tous les triangles rectangles ayant un même angle aigu de mesure A, les rapports côté opposé ÷ hypoténuse, côté adjacent ÷ hypoténuse et côté opposé ÷ côté adjacent gardent la même valeur. Ces valeurs ne dépendent que de l’angle A : ce sont sin(A), cos(A) et tan(A).

Ce résultat est essentiel : il explique pourquoi on peut utiliser des tables trigonométriques ou une calculatrice. Si deux triangles rectangles ont un angle aigu de même mesure, alors ils ont la même forme, même si leurs dimensions sont différentes. Les longueurs peuvent être multipliées par 2, par 3 ou par 0,5, mais les rapports restent identiques.

En 3e, on utilise principalement les propriétés suivantes :

• Dans un triangle rectangle, sin(A), cos(A) et tan(A) s’appliquent uniquement à un angle aigu, donc à un angle compris entre 0° et 90°.
• Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1, car on divise une longueur plus petite que l’hypoténuse par l’hypoténuse.
• La tangente d’un angle aigu est positive, mais elle peut être plus grande que 1 si le côté opposé est plus long que le côté adjacent.
• Pour calculer un angle, on utilise les fonctions inverses : sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹, selon le rapport connu.
• La calculatrice doit être en mode degrés, souvent noté DEG, car au collège les angles sont exprimés en degrés.

Ces propriétés permettent de modéliser des situations concrètes : hauteur d’un bâtiment, largeur d’une rivière, pente d’une route, longueur d’une rampe, angle d’un toit ou distance inaccessible.

4. Démonstration

On peut justifier les formules de trigonométrie à partir de la proportionnalité dans des triangles semblables. Considérons plusieurs triangles rectangles qui possèdent tous un même angle aigu A. Comme ils ont chacun un angle droit et un angle A identique, leur troisième angle est également identique, car la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Ces triangles ont donc les mêmes angles : ils sont semblables.

Dans des triangles semblables, les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Cela signifie que si un triangle est un agrandissement ou une réduction d’un autre, tous ses côtés sont multipliés par le même nombre. Par exemple, si l’hypoténuse est multipliée par 4, alors le côté opposé et le côté adjacent sont aussi multipliés par 4.

Regardons le rapport côté opposé ÷ hypoténuse. Si le côté opposé est multiplié par 4 et l’hypoténuse aussi, le rapport ne change pas : (4 × opposé) ÷ (4 × hypoténuse) = opposé ÷ hypoténuse. Ce rapport est donc le même pour tous les triangles rectangles qui ont l’angle A. On peut lui donner un nom : c’est sin(A).

Le même raisonnement vaut pour côté adjacent ÷ hypoténuse : lorsque les deux longueurs sont multipliées par le même nombre, leur quotient ne change pas. Ce rapport est donc constant pour un angle A donné : c’est cos(A). Enfin, le rapport côté opposé ÷ côté adjacent reste lui aussi inchangé dans un agrandissement ou une réduction : c’est tan(A).

Cette démonstration montre que les rapports trigonométriques ne sont pas des formules apprises au hasard. Ils expriment une propriété de forme des triangles rectangles. L’angle détermine les proportions du triangle, et les proportions permettent de retrouver des longueurs ou des angles.

5. Méthode pas à pas

1. Vérifier le triangle rectangle. Les formules sin, cos et tan de 3e s’utilisent dans un triangle rectangle. On repère l’angle droit et on identifie l’hypoténuse, côté opposé à cet angle droit.
2. Choisir l’angle étudié. On colorie ou on nomme l’angle aigu concerné, par exemple l’angle A. Les mots opposé et adjacent seront définis par rapport à cet angle.
3. Nommer les côtés. On repère le côté opposé à A, le côté adjacent à A et l’hypoténuse. L’hypoténuse ne peut jamais être le côté adjacent.
4. Identifier les données et l’inconnue. On écrit les deux côtés en jeu : par exemple opposé et hypoténuse, ou adjacent et hypoténuse, ou opposé et adjacent.
5. Choisir la formule avec SOH CAH TOA. Si les côtés sont opposé et hypoténuse, on utilise sin. Si ce sont adjacent et hypoténuse, on utilise cos. Si ce sont opposé et adjacent, on utilise tan.
6. Écrire la relation avant de calculer. Par exemple : sin(A) = opposé ÷ hypoténuse. Puis on remplace par les valeurs connues.
7. Transformer l’égalité. Pour calculer un côté, on utilise les règles de calcul sur les égalités. Pour calculer un angle, on utilise sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹.
8. Utiliser la calculatrice correctement. On vérifie que la calculatrice est en mode degrés. On arrondit selon la consigne : au dixième, au centième ou à l’unité.
9. Vérifier la cohérence. L’hypoténuse doit être le plus grand côté. Un angle aigu doit être compris entre 0° et 90°. Une longueur doit être positive et exprimée avec une unité.

Routine à retenir : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le triangle rectangle, l’angle et les côtés ; j’applique la bonne formule ; je vérifie que le résultat a du sens.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Dans un triangle ABC rectangle en B, on donne AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm. On veut calculer sin(A), cos(A) et tan(A).

Le triangle est rectangle en B, donc l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est AC. Ainsi, AC = 10 cm. On étudie l’angle A. Le côté opposé à A est BC, car il est en face de l’angle A. Le côté adjacent à A est AB, car il touche l’angle A et ce n’est pas l’hypoténuse.

On applique les définitions :

sin(A) = côté opposé à A ÷ hypoténuse = BC ÷ AC = 8 ÷ 10 = 0,8.

cos(A) = côté adjacent à A ÷ hypoténuse = AB ÷ AC = 6 ÷ 10 = 0,6.

tan(A) = côté opposé à A ÷ côté adjacent à A = BC ÷ AB = 8 ÷ 6 = 4 ÷ 3 ≈ 1,33.

Ces résultats sont cohérents. Le sinus et le cosinus sont bien compris entre 0 et 1. La tangente peut être plus grande que 1, car ici le côté opposé à A, qui mesure 8 cm, est plus long que le côté adjacent, qui mesure 6 cm.

On remarque que ces rapports décrivent l’angle A. Si on construit un triangle rectangle plus grand mais avec le même angle A, les longueurs changent, mais les rapports 0,8 ; 0,6 ; et environ 1,33 restent les mêmes.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un triangle DEF rectangle en E, on connaît DE = 7 cm et l’angle D = 35°. On veut calculer la longueur DF, l’hypoténuse du triangle.

Le triangle est rectangle en E, donc l’hypoténuse est DF. Par rapport à l’angle D, le côté DE est adjacent, car il touche l’angle D et n’est pas l’hypoténuse. Les deux éléments en jeu sont donc le côté adjacent et l’hypoténuse. Avec SOH CAH TOA, on choisit CAH : cos(D) = adjacent ÷ hypoténuse.

On écrit :

cos(35°) = DE ÷ DF.

On remplace :

cos(35°) = 7 ÷ DF.

Pour isoler DF, on peut écrire :

DF = 7 ÷ cos(35°).

Avec la calculatrice en mode degrés :

DF ≈ 7 ÷ 0,8192 ≈ 8,54.

Donc DF mesure environ 8,5 cm au dixième près.

Vérification : l’hypoténuse DF doit être plus longue que DE. On trouve DF ≈ 8,5 cm, ce qui est bien supérieur à 7 cm. Le résultat est donc cohérent. Une erreur fréquente serait de calculer 7 × cos(35°), ce qui donnerait environ 5,7 cm : ce serait impossible pour l’hypoténuse, car elle serait plus petite que DE.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un observateur se trouve à 12 m du pied d’un arbre. Il mesure un angle d’élévation de 38° entre le sol horizontal et la direction du sommet de l’arbre. On suppose que le sol est horizontal et que l’arbre est vertical. Quelle est la hauteur de l’arbre, arrondie au dixième de mètre ?

On modélise la situation par un triangle rectangle. Le pied de l’arbre forme l’angle droit : le sol est horizontal et l’arbre est vertical. La distance au sol entre l’observateur et le pied de l’arbre est de 12 m. L’angle de 38° est placé au niveau de l’observateur. La hauteur de l’arbre est le côté opposé à cet angle. La distance de 12 m est le côté adjacent. Les deux côtés en jeu sont donc l’opposé et l’adjacent.

Avec SOH CAH TOA, on utilise TOA :

tan(angle) = opposé ÷ adjacent.

On écrit :

tan(38°) = hauteur ÷ 12.

Donc :

hauteur = 12 × tan(38°).

Avec la calculatrice en mode degrés :

hauteur ≈ 12 × 0,7813 ≈ 9,3756.

La hauteur de l’arbre est donc d’environ 9,4 m au dixième près.

Vérification : l’angle de 38° est inférieur à 45°. Dans un triangle rectangle, lorsque l’angle est inférieur à 45°, le côté opposé est souvent plus court que le côté adjacent. Ici, la hauteur 9,4 m est inférieure à 12 m : cela paraît cohérent. La réponse doit être accompagnée d’une unité, car on calcule une longueur.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Utiliser l’hypoténuse comme côté adjacent. — À faire : Repérer d’abord le côté opposé à l’angle droit : c’est toujours l’hypoténuse et c’est le plus grand côté.
• Erreur : Inverser le côté opposé et le côté adjacent. — À faire : Identifier clairement l’angle de référence, puis nommer les côtés par rapport à cet angle seulement.
• Erreur : Choisir sinus, cosinus ou tangente au hasard. — À faire : Écrire les deux longueurs connues ou cherchées, puis utiliser SOH CAH TOA pour choisir la formule.
• Erreur : Obtenir une hypoténuse plus petite qu’un autre côté. — À faire : Revoir la transformation de formule et contrôler que l’hypoténuse est bien la plus grande longueur.
• Erreur : Calculer un angle faux à cause de la calculatrice. — À faire : Vérifier le mode DEG et utiliser correctement les touches inverses sin⁻¹, cos⁻¹ et tan⁻¹.
• Erreur : Oublier l’unité ou le degré dans la réponse. — À faire : Écrire « cm », « m » ou « ° » selon que l’on calcule une longueur ou un angle.
• Erreur : Arrondir trop tôt. — À faire : Garder plusieurs décimales pendant les calculs et arrondir seulement à la fin.

10. À retenir

• La trigonométrie de 3e s’utilise dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.
• L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long côté.
• Le côté opposé et le côté adjacent dépendent de l’angle choisi.
• sin(A) = côté opposé à A ÷ hypoténuse.
• cos(A) = côté adjacent à A ÷ hypoténuse.
• tan(A) = côté opposé à A ÷ côté adjacent à A.
• Le mémo SOH CAH TOA permet de choisir rapidement la bonne formule : Sinus Opposé Hypoténuse, Cosinus Adjacent Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent.
• Pour calculer une longueur, on écrit la formule, on remplace les valeurs, puis on transforme l’égalité.
• Pour calculer un angle, on calcule d’abord un rapport, puis on utilise sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹.
• La calculatrice doit être en mode degrés.
• Un résultat doit être vérifié : une longueur est positive, l’hypoténuse est la plus grande, un angle aigu est entre 0° et 90°.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur la trigonométrie en 3e : sinus, cosinus, tangente.

Aperçu des types d’exercices proposés : dans une première série, il faut identifier les bons côtés dans différents triangles rectangles : hypoténuse, côté opposé et côté adjacent. Dans une deuxième série, il faut choisir la bonne formule entre sin, cos et tan à partir des longueurs données et de l’inconnue. Dans une troisième série, on demande de recomposer un calcul de longueur en remettant les étapes dans l’ordre : repérage, formule, remplacement, calcul, phrase-réponse.

Les exercices suivants portent sur le calcul d’une longueur : côté opposé, côté adjacent ou hypoténuse. Les derniers exercices demandent de calculer un angle avec sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹, en vérifiant que la calculatrice est en mode degrés.

Barème indicatif pour une correction : identification correcte du triangle rectangle et de l’hypoténuse : 2 pts ; repérage du côté opposé et du côté adjacent : 2 pts ; choix correct de sinus, cosinus ou tangente : 2 pts ; calcul numérique juste avec arrondi adapté : 3 pts ; rédaction claire avec unité ou degré : 1 pt.

12. Questions fréquentes