Problèmes : pourcentages et grandeurs en 5e

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une famille prépare une sortie à vélo et doit acheter du matériel. Un casque coûte 48 € hors promotion. Le magasin annonce une remise de 20 %, puis une remise supplémentaire de 10 % sur le prix déjà réduit. Une veste est vendue 35 € HT avec une TVA de 20 %. La sortie prévue mesure 27 km, et la famille pense rouler à une vitesse moyenne de 12 km/h. Combien coûtera le matériel ? Combien de temps durera le trajet ? Quel choix est le plus avantageux si un autre magasin propose directement 30 % de remise sur le casque ?

Ce type de problème est fréquent en classe de 5e : il ne suffit pas de « reconnaître » un calcul. Il faut repérer les données utiles, choisir la relation adaptée, effectuer les calculs dans le bon ordre, puis vérifier que le résultat est cohérent. Les pourcentages, les prix HT et TTC, les grandeurs proportionnelles et les vitesses sont liés par une même idée : on compare des grandeurs et on utilise des relations de proportionnalité.

Dans cette leçon, l’objectif est de résoudre des problèmes ouverts mêlant pourcentages, proportionnalité, prix, distances, durées et vitesses. On apprendra à organiser une démarche claire : identifier ce que l’on cherche, traduire les informations en calculs, respecter les unités, puis rédiger une phrase-réponse. Le mot repère est pourcentage : « pour » signifie qu’on cherche une partie d’une quantité, « cent » rappelle que la référence est 100, et « age » invite à appliquer le calcul. Par exemple, 20 % de 50, c’est 20/100 × 50 = 10.

2. Définition

Définition : Un pourcentage exprime une proportion par rapport à 100. Dire qu’une quantité représente p %, c’est dire qu’elle représente p/100 de la quantité de référence. Ainsi, 15 % d’une quantité Q se calcule par 15/100 × Q.

Un pourcentage peut servir à calculer une partie, une augmentation, une réduction ou une taxe. Par exemple, une remise de 30 % sur 80 € correspond à 30/100 × 80 = 24 €. Le prix après remise est donc 80 - 24 = 56 €.

Une grandeur est une quantité que l’on peut mesurer : prix, masse, longueur, durée, distance, vitesse, volume. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Par exemple, si 1 kg de pommes coûte 2,40 €, alors 3 kg coûtent 3 × 2,40 € = 7,20 €.

Dans les problèmes de prix, on rencontre souvent les expressions HT et TTC. Le prix HT est le prix hors taxes. Le prix TTC est le prix toutes taxes comprises. Si la TVA vaut 20 %, alors le prix TTC est le prix HT augmenté de 20 % du prix HT.

Dans les problèmes de déplacement, la vitesse moyenne relie la distance et le temps. Une vitesse de 60 km/h signifie que l’on parcourt 60 km en 1 h si l’on garde la même allure moyenne. On utilise alors la relation : distance = vitesse × temps.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une situation de proportionnalité, multiplier une grandeur par un nombre revient à multiplier l’autre grandeur par le même nombre. Les pourcentages, les taxes, les remises et les vitesses moyennes se traitent à l’aide de relations multiplicatives.

Pour calculer p % d’une quantité Q, on utilise la formule :

p % de Q = p/100 × Q.

Pour une augmentation de p %, la valeur finale est :

valeur finale = valeur initiale × (1 + p/100).

Pour une réduction de p %, la valeur finale est :

valeur finale = valeur initiale × (1 - p/100).

Le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ s’appelle le coefficient multiplicateur. Par exemple, augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1,20. Réduire de 20 %, c’est multiplier par 0,80.

Pour la TVA, si le taux est de 20 %, alors :

TVA = 20/100 × prix HT et prix TTC = prix HT + TVA.

On peut aussi écrire directement :

prix TTC = prix HT × 1,20 lorsque la TVA est de 20 %.

Pour la vitesse moyenne, les trois relations utiles sont :

vitesse = distance ÷ temps, distance = vitesse × temps et temps = distance ÷ vitesse.

Attention : ces formules exigent des unités compatibles. Si la vitesse est en km/h, alors la distance doit être en kilomètres et le temps en heures. Par exemple, 1 h 30 min = 1,5 h, car 30 min = 0,5 h.

4. Démonstration

La formule du pourcentage vient directement de la signification de « pour cent ». Si on dit que 20 % d’une quantité est prélevé, cela signifie que l’on prend 20 parts sur 100 parts égales. Une part représente 1/100 de la quantité totale, donc 20 parts représentent 20/100 de cette quantité. Pour une quantité Q, on obtient donc 20/100 × Q.

Pour une réduction de 20 %, on enlève 20 % de la valeur initiale. Si la valeur initiale est Q, la réduction est 20/100 × Q. La valeur finale est donc Q - 20/100 × Q. Or Q = 100/100 × Q. On obtient alors 100/100 × Q - 20/100 × Q = 80/100 × Q = 0,80 × Q. Ainsi, diminuer de 20 %, c’est multiplier par 0,80.

Pour une augmentation de 20 %, on ajoute 20 % de la valeur initiale. La valeur finale est Q + 20/100 × Q = 100/100 × Q + 20/100 × Q = 120/100 × Q = 1,20 × Q. Ainsi, augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1,20.

La formule de la vitesse moyenne vient aussi d’une situation de proportionnalité. Si un véhicule roule à 60 km/h, il parcourt 60 km en 1 h. En 2 h, il parcourt 2 × 60 = 120 km. En 0,5 h, il parcourt 0,5 × 60 = 30 km. La distance parcourue est donc proportionnelle au temps lorsque la vitesse moyenne est fixée. Cela justifie la relation distance = vitesse × temps. En transformant cette relation, on obtient vitesse = distance ÷ temps et temps = distance ÷ vitesse.

Ces démonstrations montrent qu’il ne faut pas apprendre les formules sans comprendre leur sens. En 5e, on attend une démarche fondée sur la proportionnalité, les fractions simples, les unités et la vérification des résultats.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la question. Je cherche ce que l’on demande exactement : un prix final, une remise, une durée, une distance, une vitesse, une comparaison ou un choix argumenté.
2. Je souligne les données utiles. Je note les prix, les pourcentages, les distances, les durées, les vitesses et les unités. J’écarte les informations inutiles si le problème en contient.
3. Je reconnais le type de calcul. Pour un pourcentage d’une quantité, j’utilise p/100 × Q. Pour une remise, je soustrais la remise ou je multiplie par le coefficient multiplicateur. Pour une TVA, j’ajoute la taxe au prix HT. Pour un déplacement, j’utilise distance = vitesse × temps ou une formule équivalente.
4. J’organise les étapes. Dans un problème ouvert, plusieurs calculs sont souvent nécessaires. Je les écris dans l’ordre logique : valeur de départ, première transformation, nouvelle valeur, deuxième transformation, résultat final.
5. Je fais attention aux évolutions successives. Une deuxième remise ne se calcule pas sur le prix de départ, mais sur le prix déjà réduit. On ne peut donc pas toujours additionner directement les pourcentages.
6. Je convertis les unités si nécessaire. Avec une vitesse en km/h, le temps doit être en heures. Par exemple, 45 min = 0,75 h et 15 min = 0,25 h.
7. Je vérifie la vraisemblance. Une remise doit faire baisser le prix, une TVA doit l’augmenter, une distance doit être positive, et une durée de trajet doit être réaliste.
8. Je rédige une phrase-réponse. Le résultat doit être accompagné de son unité : €, km, h, min, km/h. Une réponse sans unité est incomplète.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un sac coûte 60 €. Il bénéficie d’une remise de 25 %. Quel est son prix après remise ?

Étape 1 : calculer la remise. 25 % de 60 €, c’est 25/100 × 60 = 0,25 × 60 = 15. La remise est donc de 15 €.

Étape 2 : calculer le prix final. Le prix après remise est 60 - 15 = 45.

Phrase-réponse : Le sac coûte 45 € après la remise.

On pouvait aussi utiliser un coefficient multiplicateur. Une baisse de 25 % revient à conserver 75 % du prix, donc à multiplier par 0,75. On calcule alors 60 × 0,75 = 45. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Pour vérifier, on peut se rappeler que 25 % correspond à un quart. Le quart de 60 € est 15 €, donc enlever 25 % revient bien à enlever 15 €. Le résultat de 45 € est cohérent : il est inférieur au prix de départ et la baisse n’est ni trop petite ni trop grande.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Un article coûte 72 € après une réduction de 20 %. Quel était son prix avant la réduction ?

Dans cet exemple, on connaît le prix final, mais on cherche le prix initial. Il ne faut pas calculer 20 % de 72 € puis ajouter ce résultat. En effet, les 20 % de réduction s’appliquaient au prix de départ, qui est inconnu.

Une réduction de 20 % signifie que le prix final représente 80 % du prix initial. On peut donc écrire :

prix final = prix initial × 0,80.

On connaît le prix final : 72 = prix initial × 0,80.

Pour retrouver le prix initial, on divise par 0,80 :

prix initial = 72 ÷ 0,80 = 90.

Phrase-réponse : Le prix avant la réduction était 90 €.

Vérification : 20 % de 90 €, c’est 20/100 × 90 = 18 €. Le prix après réduction est donc 90 - 18 = 72 €. Le résultat est correct.

Ce cas inverse est important : lorsqu’on remonte à la valeur de départ, on n’ajoute pas simplement le pourcentage au résultat final. On utilise le coefficient multiplicateur correspondant à l’évolution, puis on effectue l’opération inverse.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un magasin vend un vélo à 250 € HT. La TVA est de 20 %. Le magasin propose ensuite une remise exceptionnelle de 15 % sur le prix TTC. Un client veut rentrer chez lui avec ce vélo. Il doit parcourir 18 km à une vitesse moyenne de 12 km/h. Quel prix paiera-t-il ? Combien de temps durera le trajet ?

Étape 1 : calculer la TVA. La TVA représente 20 % du prix HT. On calcule : 20/100 × 250 = 50. La TVA est donc de 50 €.

Étape 2 : calculer le prix TTC. Le prix TTC est le prix HT plus la TVA : 250 + 50 = 300. Le vélo coûte donc 300 € TTC avant remise.

Étape 3 : appliquer la remise de 15 %. La remise se calcule sur le prix TTC de 300 €. On calcule : 15/100 × 300 = 45. La remise est de 45 €.

Étape 4 : calculer le prix payé. 300 - 45 = 255. Le client paiera donc 255 €.

Étape 5 : calculer la durée du trajet. On utilise temps = distance ÷ vitesse. Le temps vaut 18 ÷ 12 = 1,5 h. Or 1,5 h = 1 h 30 min.

Phrase-réponse : Le client paiera 255 € et mettra environ 1 h 30 min pour rentrer chez lui.

Vérification : la TVA augmente le prix de 250 € à 300 €, puis la remise le diminue à 255 €. Le prix final reste supérieur au prix HT, ce qui est possible car la TVA de 20 % est plus importante que la remise de 15 % appliquée ensuite. Pour le trajet, à 12 km/h, on parcourt 12 km en 1 h et 6 km en 0,5 h, donc 18 km en 1,5 h. Le résultat est cohérent.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner deux pourcentages successifs sans recalculer sur la nouvelle valeur — À faire : écrire chaque étape : valeur de départ, première remise, nouvelle valeur, deuxième remise, valeur finale.
• Erreur : croire que deux remises de 20 % et 10 % font toujours une remise totale de 30 % — À faire : appliquer la deuxième remise sur le prix déjà réduit.
• Erreur : calculer la TVA mais oublier de l’ajouter au prix HT — À faire : verbaliser que TTC signifie « toutes taxes comprises » et écrire prix TTC = prix HT + TVA.
• Erreur : utiliser distance = vitesse ÷ temps au lieu de distance = vitesse × temps — À faire : revenir au sens : à 60 km/h, en 2 h, on parcourt 120 km.
• Erreur : oublier de convertir 1 h 30 min en 1,5 h — À faire : retenir que 30 min = 0,5 h, 15 min = 0,25 h et 45 min = 0,75 h.
• Erreur : donner un résultat sans unité ou sans phrase-réponse — À faire : terminer par une phrase complète avec l’unité adaptée : euros, kilomètres, heures, minutes ou km/h.
• Erreur : arrondir trop tôt dans un calcul — À faire : garder les valeurs exactes le plus longtemps possible, puis arrondir seulement si l’énoncé le demande.

10. À retenir

• Un pourcentage p % signifie p/100 de la quantité de référence.
• Pour calculer p % d’une quantité Q, on effectue p/100 × Q.
• Une augmentation de p % revient à multiplier par 1 + p/100.
• Une réduction de p % revient à multiplier par 1 - p/100.
• Des évolutions successives se calculent l’une après l’autre : la deuxième évolution s’applique à la nouvelle valeur.
• Le prix TTC est le prix HT auquel on ajoute la TVA : prix TTC = prix HT + TVA.
• Avec une TVA de 20 %, on peut calculer directement prix TTC = prix HT × 1,20.
• Pour une vitesse moyenne, on utilise les relations : vitesse = distance ÷ temps, distance = vitesse × temps et temps = distance ÷ vitesse.
• Les unités doivent être compatibles : km avec km/h, heures avec km/h, euros pour les prix.
• La routine utile est : je repère les données, j’applique la relation adaptée, je vérifie la cohérence du résultat.

11. Exercices d'application

Un fichier PDF d’exercices peut être proposé avec des activités progressives pour s’entraîner sur les problèmes de pourcentages et de grandeurs en 5e : calculs rapides, choix de la bonne opération, démarches à remettre dans l’ordre, rédaction complète et problème ouvert de comparaison.

Les premiers exercices peuvent demander de compléter des calculs simples : 10 % de 80, 25 % de 64, 50 % de 38, ou encore une augmentation de 20 % sur 45 €. Ces questions permettent d’automatiser le sens de p % = p/100.

Une deuxième série peut consister à choisir la bonne opération. Par exemple : faut-il multiplier par 1,20, par 0,80, diviser par 0,75 ou calculer une TVA ? L’objectif est de ne pas appliquer une formule au hasard, mais de comprendre si la situation correspond à une augmentation, une réduction ou un retour à la valeur initiale.

Une troisième série peut demander de remettre une démarche dans l’ordre. C’est utile pour les problèmes ouverts : on repère d’abord les données, puis on calcule le prix HT, la TVA, le prix TTC, la remise éventuelle, et enfin on rédige la conclusion.

Une quatrième série peut porter sur les vitesses : calculer une distance parcourue en 2 h 30 min, une durée de trajet pour 48 km à 16 km/h, ou une vitesse moyenne pour 90 km parcourus en 1 h 30 min.

Enfin, un problème ouvert peut demander de comparer deux offres : une réduction directe de 30 % ou deux réductions successives de 20 % puis 10 %. L’élève doit calculer les deux prix finaux, comparer, justifier son choix et écrire une phrase-réponse.

Barème possible sur 20 points : repérage des données utiles et des unités, 4 points ; calculs de pourcentages, remises, TVA ou prix final, 5 points ; utilisation correcte des relations de proportionnalité et de vitesse, 4 points ; organisation logique des étapes et vérification de la cohérence, 4 points ; présentation, unités et phrase-réponse, 3 points.

12. Questions fréquentes