Addition et soustraction de nombres décimaux

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, Lina achète un cahier à 2,75 €, un stylo à 1,40 € et une règle à 0,95 €. Pour savoir combien elle doit payer, elle doit calculer 2,75 + 1,40 + 0,95. Plus tard, elle donne un billet de 10 € et veut connaître la monnaie rendue : il faut alors calculer 10 - 5,10. Ces calculs semblent proches des additions et soustractions d'entiers, mais une difficulté apparaît : les nombres ont des virgules et parfois pas le même nombre de chiffres après la virgule.

En 6e, l'objectif est de savoir poser et calculer une addition ou une soustraction de nombres décimaux, en comprenant pourquoi on aligne les virgules. La règle essentielle est la suivante : on n'aligne pas seulement les nombres « à droite » comme pour certains calculs d'entiers ; on aligne les chiffres de même rang. Les unités doivent être sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes, les millièmes sous les millièmes. Pour y parvenir facilement, on place les virgules les unes sous les autres.

Cette leçon explique comment réussir une addition de décimaux et une soustraction de décimaux, comment utiliser les zéros utiles, comment gérer les retenues et les emprunts, et comment contrôler le résultat par une estimation. Le mot repère à garder en tête est : virgule alignée.

2. Définition

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule. Dans 12,375, le chiffre 2 est au rang des unités, le chiffre 3 au rang des dixièmes, le chiffre 7 au rang des centièmes et le chiffre 5 au rang des millièmes. Additionner ou soustraire des nombres décimaux consiste à additionner ou soustraire les chiffres de même rang.

La notation décimale repose donc sur des rangs. À gauche de la virgule, on trouve les unités, dizaines, centaines, etc. À droite de la virgule, on trouve les dixièmes, centièmes, millièmes, etc. Par exemple, 8,46 signifie 8 unités, 4 dixièmes et 6 centièmes. Si l'on ajoute 2,3, il faut comprendre que 2,3 signifie 2 unités et 3 dixièmes, c'est-à-dire 2,30 si on veut l'écrire avec des centièmes.

Les zéros utiles sont des zéros que l'on ajoute à droite de la partie décimale pour faciliter un calcul. Ils ne changent pas la valeur du nombre : 12,5 = 12,50 = 12,500. En effet, 5 dixièmes sont égaux à 50 centièmes et à 500 millièmes. Ces zéros permettent d'avoir autant de chiffres après la virgule dans les deux nombres et rendent la soustraction plus lisible.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, on aligne les virgules afin d'aligner les chiffres de même rang. On effectue ensuite le calcul colonne par colonne, comme avec les entiers, en plaçant la virgule du résultat sous les autres virgules.

Cette propriété est fondamentale. Elle permet d'éviter l'erreur fréquente qui consiste à aligner les nombres à droite sans regarder la virgule. Par exemple, pour calculer 12,4 + 3,75, il ne faut pas écrire 12,4 comme si le 4 devait être sous le 5. Il faut écrire 12,40 au-dessus de 3,75 : les unités sont sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes.

On utilise aussi les propriétés connues de l'addition. L'addition est commutative : 2,5 + 3,7 = 3,7 + 2,5. Elle est associative : on peut regrouper plusieurs termes pour calculer plus facilement, par exemple 1,25 + 2,75 + 4 = 4 + 4 = 8, car 1,25 + 2,75 = 4. La soustraction, elle, n'est pas commutative : 7,2 - 3,1 n'est pas égal à 3,1 - 7,2 en 6e dans le cadre des nombres positifs.

Enfin, l'estimation est une propriété de contrôle : si 7,8 + 2,1 est proche de 8 + 2 = 10, alors un résultat proche de 10 est vraisemblable. Si un élève trouve 99 ou 0,99, il doit se demander si la virgule n'a pas été mal placée.

4. Démonstration

Pourquoi faut-il aligner les virgules ? La raison vient du système décimal. Chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang. Dans 34,56, le chiffre 3 représente 3 dizaines, le chiffre 4 représente 4 unités, le chiffre 5 représente 5 dixièmes et le chiffre 6 représente 6 centièmes. On ne peut pas additionner correctement des dixièmes avec des unités, de la même façon qu'on ne mélange pas des euros et des centimes sans les convertir.

Considérons le calcul 12,4 + 3,75. Le nombre 12,4 contient 12 unités et 4 dixièmes. Le nombre 3,75 contient 3 unités, 7 dixièmes et 5 centièmes. Pour additionner, on doit regrouper ce qui est de même nature : unités avec unités, dixièmes avec dixièmes, centièmes avec centièmes. On peut écrire 12,4 sous la forme 12,40, car 4 dixièmes = 40 centièmes. Le calcul devient alors 12,40 + 3,75.

On additionne les centièmes : 0 centième + 5 centièmes = 5 centièmes. On additionne les dixièmes : 4 dixièmes + 7 dixièmes = 11 dixièmes, c'est-à-dire 1 unité et 1 dixième : on écrit 1 dixième et on retient 1 unité. On additionne les unités : 2 unités + 3 unités + 1 unité de retenue = 6 unités. On garde la dizaine 1 du nombre 12. Le résultat est 16,15. La virgule est donc placée entre les unités et les dixièmes, sous les autres virgules.

Le même raisonnement s'applique à la soustraction. Pour 20 - 4,6, on écrit 20,0 - 4,6. Cela signifie 20 unités et 0 dixième moins 4 unités et 6 dixièmes. Comme on ne peut pas retirer 6 dixièmes à 0 dixième sans emprunter, on échange 1 unité contre 10 dixièmes. On obtient alors 19 unités et 10 dixièmes. Puis 10 dixièmes - 6 dixièmes = 4 dixièmes, et 19 unités - 4 unités = 15 unités. Le résultat est 15,4.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les nombres et les virgules. Je lis attentivement l'opération. Je repère la partie entière et la partie décimale de chaque nombre. Je peux nommer les rangs : unités, dixièmes, centièmes, millièmes.
2. J'aligne les virgules. Je pose les nombres les uns sous les autres en plaçant les virgules dans la même colonne. Ainsi, les chiffres de même rang sont alignés : unités sous unités, dixièmes sous dixièmes, centièmes sous centièmes.
3. J'ajoute des zéros utiles si nécessaire. Si les nombres n'ont pas le même nombre de chiffres après la virgule, j'ajoute des zéros à droite de la partie décimale. Par exemple, 8,2 devient 8,20 pour être calculé avec 3,75.
4. J'effectue le calcul colonne par colonne. Pour une addition, je commence par la colonne la plus à droite et je gère les retenues. Pour une soustraction, je commence aussi à droite et j'utilise les emprunts si le chiffre du haut est trop petit.
5. Je fais descendre la virgule. La virgule du résultat se place exactement sous les virgules des nombres de départ. Elle sépare les unités des dixièmes.
6. Je vérifie par estimation. J'arrondis les nombres pour contrôler l'ordre de grandeur. Par exemple, 14,8 - 3,25 est proche de 15 - 3 = 12. Si je trouve 1,155 ou 115,5, je dois vérifier mon calcul.

Routine à mémoriser : Je repère / J'applique / Je vérifie. Je repère les virgules et les rangs ; j'applique la pose avec virgules alignées et zéros utiles ; je vérifie par estimation et par placement de la virgule.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculons 12,4 + 3,75.

Première étape : on repère les rangs. Dans 12,4, le 4 est au rang des dixièmes. Dans 3,75, le 7 est au rang des dixièmes et le 5 au rang des centièmes. Pour additionner correctement, on écrit 12,4 sous la forme 12,40.

On pose donc :

12,40
+ 3,75

On additionne les centièmes : 0 + 5 = 5. On écrit 5 dans la colonne des centièmes. On additionne les dixièmes : 4 + 7 = 11. On écrit 1 dans la colonne des dixièmes et on retient 1 dans la colonne des unités. On additionne les unités : 2 + 3 + 1 = 6. On écrit 6. La dizaine 1 de 12 reste à gauche.

Le résultat est donc : 12,4 + 3,75 = 16,15.

Vérification : 12,4 est proche de 12 et 3,75 est proche de 4. Donc la somme est proche de 16. Le résultat 16,15 est cohérent. La virgule est bien placée sous les autres virgules.

Cet exemple montre l'importance des zéros utiles. Sans le zéro dans 12,40, on risque d'aligner le 4 avec le 5 et d'additionner des dixièmes avec des centièmes, ce qui est faux.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Calculons 20 - 4,6.

Ce cas est souvent plus difficile, car le premier nombre est un entier. Pourtant, un entier peut s'écrire sous forme décimale : 20 = 20,0 = 20,00. Comme le second nombre a un chiffre après la virgule, on peut écrire 20,0 - 4,6.

On pose :

20,0
- 4,6

On commence par les dixièmes. On ne peut pas faire 0 - 6. On emprunte 1 unité à 20 unités. Il reste 19 unités, et l'unité empruntée devient 10 dixièmes. On calcule alors 10 - 6 = 4 dixièmes. On écrit 4 dans la colonne des dixièmes.

On passe aux unités : 19 unités - 4 unités = 15 unités. Le résultat est donc 15,4.

On peut vérifier avec une estimation : 20 - 4,6 est proche de 20 - 5 = 15. Le résultat 15,4 est donc vraisemblable. Si on avait trouvé 16,4 ou 154, il faudrait reprendre l'emprunt ou la place de la virgule.

Autre exemple de soustraction avec zéros utiles : 8,2 - 3,75. On écrit 8,20 - 3,75. On ne peut pas faire 0 - 5, donc on emprunte aux dixièmes. Comme il y a 2 dixièmes, il en reste 1, et on obtient 10 centièmes. 10 - 5 = 5. Ensuite, 1 dixième - 7 dixièmes est impossible, donc on emprunte 1 unité. Il reste 7 unités, et on obtient 11 dixièmes. 11 - 7 = 4. Enfin 7 - 3 = 4. Donc 8,2 - 3,75 = 4,45.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Problème : au marché, un élève achète 1,25 kg de pommes, 0,750 kg de poires et 2,5 kg d'oranges. Quelle masse totale de fruits achète-t-il ? S'il voulait transporter au maximum 5 kg, quelle masse peut-il encore ajouter ?

On commence par calculer la masse totale : 1,25 + 0,750 + 2,5. Les nombres n'ont pas tous le même nombre de chiffres après la virgule. On les écrit avec des millièmes : 1,250 ; 0,750 ; 2,500. Les virgules sont alignées et les rangs aussi.

Calculons : 1,250 + 0,750 = 2,000, car 250 millièmes + 750 millièmes = 1000 millièmes, c'est-à-dire 1 unité. Puis 2,000 + 2,500 = 4,500. La masse totale est donc 4,5 kg.

Il peut transporter au maximum 5 kg. Il reste donc à calculer 5 - 4,5. On écrit 5,0 - 4,5. Comme 0 dixième - 5 dixièmes est impossible, on emprunte 1 unité : 5,0 devient 4 unités et 10 dixièmes. 10 - 5 = 5 dixièmes, puis 4 - 4 = 0 unité. Le résultat est 0,5 kg.

Réponse : l'élève achète 4,5 kg de fruits et peut encore ajouter 0,5 kg, c'est-à-dire 500 g. L'unité doit toujours apparaître dans la réponse : ici, on parle d'une masse en kilogrammes. Le contrôle est simple : 1,25 est proche de 1, 0,750 est proche de 1 et 2,5 est proche de 2,5 ; le total est donc proche de 4,5. Le résultat est cohérent.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : aligner les chiffres à droite sans tenir compte de la virgule — À faire : placer les nombres dans un tableau de numération ou tracer une colonne verticale pour les virgules.
• Erreur : oublier la virgule du résultat ou la placer au hasard — À faire : faire descendre la virgule dans le résultat, exactement sous les autres virgules.
• Erreur : penser que 12,4 et 12,40 sont deux nombres différents — À faire : rappeler que les zéros ajoutés à droite de la partie décimale ne changent pas la valeur : 12,4 = 12,40.
• Erreur : oublier les retenues dans une addition de décimaux — À faire : calculer lentement de droite à gauche et noter la retenue au-dessus de la colonne suivante.
• Erreur : oublier les emprunts dans une soustraction de décimaux — À faire : verbaliser l'échange : 1 unité = 10 dixièmes, 1 dixième = 10 centièmes.
• Erreur : accepter un résultat invraisemblable — À faire : faire une estimation avant ou après le calcul, par exemple 14,8 - 3,25 est proche de 15 - 3 = 12.

10. À retenir

• Pour additionner des nombres décimaux, on aligne les virgules afin d'aligner les chiffres de même rang.
• Pour soustraire des nombres décimaux, on aligne aussi les virgules : unités sous unités, dixièmes sous dixièmes, centièmes sous centièmes.
• On peut ajouter des zéros utiles à droite de la partie décimale : 5,6 = 5,60 = 5,600.
• La virgule du résultat se place sous les virgules des nombres de départ.
• Les retenues en addition et les emprunts en soustraction fonctionnent comme avec les entiers, mais en respectant les rangs décimaux.
• Avant de valider une réponse, on contrôle le résultat par estimation : il doit être proche d'un calcul mental simple.
• Le mot repère est virgule alignée : dans 12,4 + 3,75, on écrit 12,40 au-dessus de 3,75.
• Dans un problème, on n'oublie pas l'unité : €, m, kg, L, cm, etc.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d'exercices « Addition et soustraction de nombres décimaux en 6e » avec corrigé et barème. Les exercices proposés permettent de s'entraîner progressivement : repérer les rangs, additionner des décimaux, soustraire des décimaux, remettre les étapes dans l'ordre et résoudre des problèmes concrets.

Aperçu des types d'exercices : dans la première partie, l'élève complète un tableau de numération en plaçant unités, dixièmes, centièmes et millièmes. Dans la deuxième partie, il pose des additions comme 7,8 + 2,15 ou 13,06 + 4,9. Dans la troisième partie, il pose des soustractions comme 20 - 4,6 ou 8,2 - 3,75. Dans la quatrième partie, il remet en ordre les étapes : repérer, aligner, ajouter des zéros utiles, calculer, vérifier. Dans la dernière partie, il résout des problèmes d'achats, de longueurs, de masses ou de contenances.

Barème conseillé sur 20 points : alignement correct des virgules et des rangs, 4 points ; utilisation correcte des zéros utiles, 3 points ; exactitude des additions, 4 points ; exactitude des soustractions avec emprunts, 4 points ; résolution de problèmes et unités, 5 points.

12. Questions fréquentes