Aire et périmètre du cercle et du disque

1. Introduction et problématique

Un jardinier veut aménager un parterre circulaire de 3 m de rayon. Il souhaite d'abord poser une bordure métallique tout autour, puis recouvrir toute la surface intérieure avec du gazon. Deux questions se posent alors : combien de mètres de bordure doit-il acheter ? Combien de mètres carrés de gazon seront nécessaires ? Ces deux questions semblent proches, mais elles ne demandent pas la même grandeur. La bordure correspond à une longueur : c'est le périmètre du cercle. Le gazon correspond à une surface : c'est l'aire du disque. Dans cette leçon, on apprend à distinguer ces deux situations, à utiliser les formules P = 2 × π × r et A = π × r², et à donner une réponse exacte ou approchée.

2. Définition

En géométrie, il est essentiel de distinguer le cercle et le disque. On considère un point O appelé centre et un nombre positif r appelé rayon. Tous les points situés à la distance r du centre O forment le cercle. L'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à r du centre O forme le disque. Le cercle est donc une ligne, tandis que le disque est une surface.

On utilise les notations suivantes : r désigne le rayon, D désigne le diamètre, P désigne le périmètre du cercle et A désigne l'aire du disque. Le diamètre est un segment qui passe par le centre et qui joint deux points du cercle. Sa longueur vaut deux fois le rayon : D = 2 × r.

Définition : Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés exactement à la distance r de O. Le disque de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à r de O.

Le périmètre du cercle, aussi appelé circonférence, est la longueur de la ligne circulaire. L'aire du disque est la mesure de la surface intérieure. Ainsi, un périmètre s'exprime en unités de longueur, par exemple en cm, m ou km. Une aire s'exprime en unités carrées, par exemple en cm², m² ou km².

3. Propriétés et théorèmes

Pour calculer le périmètre d'un cercle ou l'aire d'un disque, on utilise le nombre π, qui se lit "pi". Ce nombre est le même pour tous les cercles. Il est environ égal à 3,14. En classe de 6e, on peut utiliser π ≈ 3,14 pour obtenir une valeur approchée, ou garder le symbole π pour donner une valeur exacte.

Si un cercle a pour rayon r, alors son périmètre est donné par la formule : P = 2 × π × r. Comme le diamètre vaut D = 2 × r, on peut aussi écrire : P = π × D. Cette deuxième formule est très pratique lorsque l'énoncé donne directement le diamètre.

Si un disque a pour rayon r, alors son aire est donnée par la formule : A = π × r². Attention : dans cette formule, on calcule d'abord le carré du rayon, puis on multiplie par π. Par exemple, si r = 5 cm, alors r² = 5² = 25, donc A = 25π cm².

Théorème : Pour tout cercle de rayon r et de diamètre D, le périmètre est P = 2 × π × r = π × D. Pour tout disque de rayon r, l'aire est A = π × r².

Ces formules s'appliquent uniquement lorsque les longueurs utilisées sont exprimées dans la même unité. Si le rayon est en centimètres, le périmètre sera en centimètres et l'aire en centimètres carrés. Si le rayon est en mètres, le périmètre sera en mètres et l'aire en mètres carrés.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

Au niveau de 6e, on ne démontre pas entièrement les formules du cercle avec des outils avancés, mais on peut les justifier visuellement. Imaginons plusieurs objets ronds : une pièce, une assiette, un couvercle, une roue. Si l'on mesure à chaque fois le tour de l'objet, puis son diamètre, on constate que le quotient "périmètre ÷ diamètre" est toujours presque le même. Ce quotient vaut environ 3,14. Ce nombre commun à tous les cercles est appelé π. On obtient donc P ÷ D = π, ce qui donne P = π × D. Comme D = 2 × r, on obtient aussi P = 2 × π × r.

Pour l'aire du disque, on peut imaginer que l'on découpe un disque en de très nombreux secteurs, comme des parts de gâteau très fines. En les réorganisant tête-bêche, on obtient une forme qui ressemble de plus en plus à un rectangle. Plus les parts sont nombreuses, plus cette forme est proche d'un rectangle. Sa hauteur est proche du rayon r, et sa longueur est proche de la moitié du périmètre du cercle, c'est-à-dire π × r. L'aire est donc proche de π × r × r, ce qui donne A = π × r². Cette justification aide à comprendre pourquoi l'aire contient r² : on mesure une surface, donc deux dimensions interviennent.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir un calcul de périmètre ou d'aire, il faut d'abord comprendre ce que l'on cherche. La méthode suivante permet d'éviter la plupart des erreurs.

1. Étape 1 : Lire l'énoncé et identifier la grandeur demandée. Si l'on cherche une longueur autour d'un cercle, c'est un périmètre. Si l'on cherche une surface intérieure, c'est une aire.
2. Étape 2 : Repérer le rayon r ou le diamètre D. Si l'énoncé donne le diamètre, calculer d'abord le rayon avec r = D ÷ 2, sauf si l'on utilise directement P = π × D pour un périmètre.
3. Étape 3 : Choisir la bonne formule, remplacer les lettres par les nombres, puis calculer. Pour un périmètre : P = 2 × π × r ou P = π × D. Pour une aire : A = π × r².
4. Étape 4 : Écrire la valeur exacte avec π, puis éventuellement une valeur approchée avec π ≈ 3,14 ou avec la touche π de la calculatrice.
5. Étape 5 : Vérifier l'unité. Un périmètre s'écrit en cm, m, km. Une aire s'écrit en cm², m², km².

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un cercle a pour rayon r = 5 cm. Calculer son périmètre, puis l'aire du disque correspondant. Donner à chaque fois une valeur exacte et une valeur approchée.

Rédaction modèle :

1. J'identifie les données. Le rayon du cercle est r = 5 cm. On cherche d'abord le périmètre du cercle, puis l'aire du disque.

2. Je calcule le périmètre. La formule du périmètre d'un cercle est P = 2 × π × r. Donc P = 2 × π × 5 = 10π cm. C'est la valeur exacte.

3. Je donne une valeur approchée. Avec π ≈ 3,14, on obtient P ≈ 10 × 3,14 = 31,4 cm. Le périmètre du cercle est donc environ 31,4 cm.

4. Je calcule l'aire. La formule de l'aire d'un disque est A = π × r². Donc A = π × 5² = π × 25 = 25π cm². Avec π ≈ 3,14, A ≈ 25 × 3,14 = 78,5 cm². L'aire du disque est donc environ 78,5 cm².

On remarque bien la différence d'unité : le périmètre est en cm, tandis que l'aire est en cm².

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : Un disque a pour diamètre D = 14 cm. Calculer le périmètre du cercle qui le borde et l'aire du disque. Donner une valeur exacte puis une valeur approchée.

Rédaction modèle :

1. Je repère la donnée. L'énoncé donne le diamètre : D = 14 cm. Pour calculer l'aire du disque, j'ai besoin du rayon. Or r = D ÷ 2, donc r = 14 ÷ 2 = 7 cm.

2. Je calcule le périmètre. Comme le diamètre est donné, je peux utiliser P = π × D. Donc P = π × 14 = 14π cm. Avec π ≈ 3,14, P ≈ 14 × 3,14 = 43,96 cm. On peut arrondir à 44,0 cm au dixième près.

3. Je calcule l'aire. La formule est A = π × r². Le rayon est r = 7 cm. Donc A = π × 7² = π × 49 = 49π cm². Avec π ≈ 3,14, A ≈ 49 × 3,14 = 153,86 cm². On peut arrondir à 153,9 cm² au dixième près.

4. Je vérifie. Le périmètre est une longueur, donc son unité est le cm. L'aire est une surface, donc son unité est le cm². La réponse est cohérente.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Une pelouse circulaire a un rayon de 6 m. On veut poser une bordure tout autour de la pelouse et semer du gazon sur toute sa surface. Quelle longueur de bordure faut-il acheter ? Quelle surface de gazon faut-il prévoir ?

Résolution :

La bordure se place autour de la pelouse : on cherche donc un périmètre. Le gazon recouvre l'intérieur de la pelouse : on cherche donc une aire. Le rayon est r = 6 m.

Pour la bordure, on utilise la formule P = 2 × π × r. Donc P = 2 × π × 6 = 12π m. Avec π ≈ 3,14, on obtient P ≈ 12 × 3,14 = 37,68 m. Il faut donc environ 37,7 m de bordure. Dans une situation réelle, on prévoirait souvent un peu plus pour les découpes et les raccords.

Pour la surface de gazon, on utilise la formule A = π × r². Donc A = π × 6² = π × 36 = 36π m². Avec π ≈ 3,14, A ≈ 36 × 3,14 = 113,04 m². Il faut donc prévoir environ 113,0 m² de gazon.

Ce problème montre pourquoi il ne faut pas confondre cercle et disque : la bordure correspond à la ligne extérieure, tandis que le gazon correspond à la surface intérieure.

9. Erreurs classiques à éviter

Les erreurs les plus fréquentes viennent souvent d'une confusion entre longueur et surface, ou entre rayon et diamètre. Voici les pièges à connaître.

• Erreur : utiliser A = π × r² pour calculer un périmètre — À faire : se demander si l'on cherche une ligne ou une surface. Pour une ligne autour du cercle, utiliser P = 2 × π × r.
• Erreur : écrire l'aire en cm au lieu de cm² — À faire : retenir qu'une aire se mesure toujours en unités carrées : cm², m², km².
• Erreur : utiliser le diamètre à la place du rayon dans A = π × r² — À faire : si l'énoncé donne D, écrire d'abord r = D ÷ 2 avant de calculer l'aire.
• Erreur : oublier le carré dans la formule de l'aire — À faire : écrire A = π × r² et calculer r² avant de multiplier par π.
• Erreur : donner seulement une valeur approchée alors qu'une valeur exacte est demandée — À faire : écrire d'abord la réponse avec π, par exemple A = 25π cm², puis écrire A ≈ 78,5 cm².
• Erreur : prendre π = 3 sans précision — À faire : utiliser π ≈ 3,14 en 6e, ou la touche π de la calculatrice si elle est autorisée.
• Erreur : mélanger les unités, par exemple un rayon en cm et une réponse en m² — À faire : convertir toutes les longueurs dans la même unité avant d'appliquer la formule.

10. À retenir

• Le périmètre d'un cercle de rayon r est P = 2 × π × r. Si le diamètre D est connu, on peut utiliser P = π × D.
• L'aire d'un disque de rayon r est A = π × r². Le carré du rayon est indispensable.
• Le rayon est la moitié du diamètre : r = D ÷ 2, et le diamètre est le double du rayon : D = 2 × r.
• Le cercle est une ligne ; le disque est une surface. On calcule le périmètre du cercle et l'aire du disque.
• Un périmètre s'exprime en unités de longueur : cm, m, km. Une aire s'exprime en unités carrées : cm², m², km².
• On peut donner une valeur exacte avec π, par exemple 12π m, puis une valeur approchée avec π ≈ 3,14, par exemple 37,7 m.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — Vocabulaire et pré-requis : distinguer cercle, disque, rayon, diamètre, périmètre et aire.
• Type 2 — Calculs de périmètres avec la formule P = 2 × π × r ou P = π × D.
• Type 3 — Calculs d'aires de disques avec la formule A = π × r².
• Type 4 — Situations où il faut choisir entre périmètre et aire avant de calculer.
• Type 5 — Problèmes concrets : pizza, piste circulaire, pelouse, horloge ou panneau rond.