Aires et périmètres du rectangle et du carré

1. Introduction et problématique

Tu veux clôturer un jardin rectangulaire qui mesure 8 m de long et 5 m de large. Pour acheter le grillage, tu dois connaître la longueur du contour du jardin : c'est le périmètre. Mais si tu veux semer du gazon, il ne suffit pas de connaître le tour du jardin : tu dois connaître la surface à recouvrir, c'est-à-dire l'aire. Ces deux grandeurs sont donc très différentes, même si elles concernent la même figure. En 6e, il est essentiel de savoir reconnaître si un problème demande une longueur de contour ou une surface, puis d'utiliser la bonne formule avec la bonne unité.

2. Définition

En géométrie, on étudie souvent des figures planes comme le rectangle et le carré. Pour ces figures, deux grandeurs sont particulièrement importantes : le périmètre et l'aire.

Le périmètre d'une figure est la longueur totale de son contour. Il se mesure avec des unités de longueur : millimètre, centimètre, décimètre, mètre, etc. On le note souvent P.

L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle occupe. Elle se mesure avec des unités d'aire : mm², cm², dm², m², etc. On la note souvent A.

Dans cette leçon, pour un rectangle, on note L sa longueur et l sa largeur. Pour un carré, on note c la longueur de son côté.

Définition : Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. L'aire est la mesure de la surface intérieure d'une figure. Le périmètre s'exprime en unités de longueur, tandis que l'aire s'exprime en unités carrées.

3. Propriétés et théorèmes

Les formules suivantes s'appliquent uniquement aux rectangles et aux carrés. Un carré est un cas particulier de rectangle : il possède quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l :

• son périmètre est : P = 2 × (L + l) ;
• son aire est : A = L × l.

Pour un carré de côté c :

• son périmètre est : P = 4 × c ;
• son aire est : A = c × c, que l'on peut aussi écrire A = c².

Attention : avant d'appliquer une formule, toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Par exemple, si L est en cm et l est en cm, alors le périmètre sera en cm et l'aire sera en cm².

Théorème : Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur. Son périmètre est donc la somme de deux longueurs et de deux largeurs, soit P = 2 × (L + l). Son aire est le produit de sa longueur par sa largeur, soit A = L × l.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

Pour comprendre la formule du périmètre du rectangle, imaginons que l'on fasse le tour complet de la figure. On parcourt d'abord une longueur L, puis une largeur l, puis encore une longueur L, puis encore une largeur l. La longueur totale du contour est donc L + l + L + l. En regroupant, on obtient 2 × L + 2 × l, ce qui revient à écrire 2 × (L + l). C'est pourquoi le périmètre du rectangle est P = 2 × (L + l).

Pour comprendre la formule de l'aire, on peut imaginer un rectangle dessiné sur du papier quadrillé. Si le rectangle mesure 6 cm de long et 4 cm de large, on peut le partager en petits carrés de 1 cm de côté. Sur chaque ligne, il y a 6 petits carrés. Comme il y a 4 lignes, le nombre total de petits carrés est 6 × 4 = 24. L'aire est donc 24 cm². Cette observation se généralise : pour un rectangle de longueur L et de largeur l, le nombre de carrés unités est L × l.

Pour le carré, le raisonnement est le même. Comme les quatre côtés sont égaux, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c. Comme sa longueur et sa largeur sont toutes deux égales à c, son aire vaut c × c.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir un calcul d'aire ou de périmètre, il faut d'abord comprendre ce que l'on cherche, puis choisir la bonne formule et vérifier l'unité du résultat.

1. Étape 1 : Je repère la figure et les longueurs données. Est-ce un rectangle ? un carré ? Les mesures sont-elles dans la même unité ?
2. Étape 2 : Je choisis la grandeur à calculer. Si on cherche un contour, c'est un périmètre. Si on cherche une surface à recouvrir, c'est une aire.
3. Étape 3 : J'écris la formule, je remplace les lettres par les nombres, je calcule et j'écris l'unité correcte : cm, m, mm pour un périmètre ; cm², m², mm² pour une aire.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un rectangle a pour longueur 12 cm et pour largeur 5 cm. Calculer son périmètre et son aire.

Rédaction modèle :

1. Identification : La figure est un rectangle. Sa longueur est L = 12 cm et sa largeur est l = 5 cm. Les deux mesures sont dans la même unité, le centimètre.

2. Calcul du périmètre : D'après la formule du périmètre d'un rectangle, P = 2 × (L + l). On remplace par les valeurs : P = 2 × (12 + 5). Donc P = 2 × 17 = 34. Le périmètre du rectangle est 34 cm.

3. Calcul de l'aire : D'après la formule de l'aire d'un rectangle, A = L × l. On remplace par les valeurs : A = 12 × 5. Donc A = 60. L'aire du rectangle est 60 cm².

4. Vérification : Le périmètre est une longueur, donc l'unité est cm. L'aire est une surface, donc l'unité est cm². Les unités sont cohérentes.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : Un rectangle a une aire de 48 cm². Sa longueur est 8 cm. Trouver sa largeur.

Rédaction modèle :

1. Identification : La figure est un rectangle. On connaît son aire A = 48 cm² et sa longueur L = 8 cm. On cherche la largeur l.

2. Formule utilisée : D'après la formule de l'aire d'un rectangle, A = L × l. Ici, cela donne 48 = 8 × l.

3. Calcul de la dimension manquante : Pour trouver l, on cherche le nombre qui, multiplié par 8, donne 48. On utilise donc la division : l = 48 ÷ 8 = 6.

4. Conclusion : La largeur du rectangle est 6 cm. On peut vérifier : 8 × 6 = 48, donc l'aire est bien 48 cm².

Dans un cas inverse, la division est souvent l'opération qui permet de retrouver une dimension manquante. Il faut cependant bien identifier la formule de départ avant de calculer.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Une famille veut installer une bordure autour d'une nappe rectangulaire de 2 m de long et 1,5 m de large. Elle veut aussi connaître la surface de tissu nécessaire pour fabriquer cette nappe. Calculer la longueur de bordure et l'aire de tissu.

Résolution :

La bordure se place autour de la nappe : on cherche donc le périmètre. La formule du périmètre d'un rectangle est P = 2 × (L + l). Ici, L = 2 m et l = 1,5 m.

On calcule : P = 2 × (2 + 1,5) = 2 × 3,5 = 7. Il faut donc 7 m de bordure.

La quantité de tissu correspond à la surface de la nappe : on cherche donc l'aire. La formule de l'aire d'un rectangle est A = L × l.

On calcule : A = 2 × 1,5 = 3. Il faut donc 3 m² de tissu.

Ce problème montre bien la différence entre aire et périmètre : pour une même figure, le contour et la surface ne répondent pas à la même question.

9. Erreurs classiques à éviter

Les confusions entre aire et périmètre sont fréquentes en 6e. Voici les erreurs les plus courantes et les bons réflexes à adopter.

• Erreur : Calculer l'aire d'un rectangle avec L + l au lieu de L × l — À faire : se rappeler que l'aire mesure une surface, donc on multiplie deux longueurs.
• Erreur : Écrire une aire en cm ou en m — À faire : utiliser une unité carrée pour une aire : cm², dm², m².
• Erreur : Calculer le périmètre d'un carré avec 2 × c — À faire : se rappeler qu'un carré possède 4 côtés égaux, donc P = 4 × c.
• Erreur : Penser que 1 m² = 100 cm² — À faire : retenir que 1 m = 100 cm, donc 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm².
• Erreur : Utiliser la formule A = L × l pour n'importe quelle figure — À faire : vérifier que la figure est bien un rectangle ou un carré. Cette formule ne s'applique pas directement à un triangle, un disque ou un trapèze.
• Erreur : Mélanger les unités dans un même calcul, par exemple 2 m et 50 cm — À faire : convertir toutes les longueurs dans la même unité avant d'utiliser une formule.

10. À retenir

• Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. Pour un rectangle, P = 2 × (L + l). Pour un carré, P = 4 × c.
• L'aire est la mesure de la surface intérieure d'une figure. Pour un rectangle, A = L × l. Pour un carré, A = c × c.
• Un périmètre s'exprime en unités de longueur : mm, cm, dm, m. Une aire s'exprime en unités carrées : mm², cm², dm², m².
• Pour convertir des aires, on ne convertit pas comme les longueurs : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm².
• Avant de calculer, il faut lire la question : grillage, bordure ou contour indiquent souvent un périmètre ; carrelage, peinture, gazon ou tissu indiquent souvent une aire.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — Pré-requis rapides sous forme de vrai ou faux pour distinguer aire, périmètre et unités.
• Type 2 — Applications directes pour calculer des périmètres de rectangles et de carrés.
• Type 3 — Applications directes pour calculer des aires de rectangles et de carrés.
• Type 4 — Recherche d'une dimension manquante à partir d'une aire ou d'un périmètre.
• Type 5 — Problèmes de la vie courante : jardin, carrelage, affiche, terrain, nappe.