Aires du rectangle et du carré

1. Introduction et problématique

Situation-problème : la classe de 6e prépare une exposition. Les élèves doivent fabriquer deux affiches : une affiche rectangulaire de longueur 80 cm et de largeur 50 cm, et une affiche carrée de côté 60 cm. Pour acheter le papier, il faut savoir quelle quantité de surface sera recouverte. Pour poser un ruban autour de chaque affiche, il faut connaître la longueur du contour. Une même figure peut donc donner lieu à deux questions différentes : « Quelle surface occupe-t-elle ? » et « Quelle longueur fait son contour ? ».

Cette leçon a pour objectif de calculer l’aire d’un rectangle ou d’un carré, et de distinguer clairement l’aire et le périmètre. En 6e, conformément aux attendus du programme de mathématiques du collège, on apprend à utiliser des formules simples, à choisir une unité adaptée et à donner du sens aux calculs. La formule de l’aire du rectangle est A = L × l. La formule de l’aire du carré est A = c × c = c². Une aire s’exprime en unités carrées : mm², cm², dm², m².

Le mot repère est rectangle, que l’on peut découper en syllabes : rec-tan-gle. Pour un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm, l’aire est 8 × 3 = 24 cm². Ce résultat signifie que la surface du rectangle peut être recouverte par 24 petits carrés de 1 cm de côté.

2. Définition

Définition : L’aire d’une figure est la mesure de la surface qu’elle occupe. Elle indique combien de carrés d’unité sont nécessaires pour recouvrir entièrement cette figure, sans trou ni superposition. Une aire s’exprime avec une unité carrée : mm², cm², dm², m², km².

Par exemple, si l’unité choisie est le centimètre carré, noté cm², on imagine un petit carré de 1 cm de côté. Dire qu’une figure a une aire de 12 cm² signifie qu’elle occupe la même surface que 12 carrés de 1 cm².

Il ne faut pas confondre l’aire avec le périmètre. Le périmètre est la longueur du contour d’une figure. Il s’exprime avec une unité de longueur : mm, cm, dm, m, km. L’aire, elle, concerne l’intérieur de la figure et s’exprime avec une unité carrée.

Pour un rectangle, on appelle généralement longueur le plus grand côté, noté L, et largeur le plus petit côté, noté l. Pour un carré, les quatre côtés ont la même longueur ; on note cette longueur c, pour côté.

Les écritures importantes à mémoriser sont donc : Aire d’un rectangle : A = L × l, Aire d’un carré : A = c × c = c², et périmètre = longueur du contour.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur, lorsque les deux dimensions sont exprimées dans la même unité : A = L × l.

Théorème : L’aire d’un carré est égale au produit de la longueur de son côté par elle-même : A = c × c = c².

Ces formules permettent de calculer rapidement une surface rectangulaire ou carrée, sans compter tous les petits carreaux un par un. Elles reposent sur l’idée qu’un rectangle peut être organisé en lignes et en colonnes de carrés identiques. Si une ligne contient 8 carrés et qu’il y a 3 lignes, alors le nombre total de carrés est 8 × 3 = 24.

Les dimensions doivent être dans la même unité avant le calcul. On ne peut pas multiplier directement 2 m par 30 cm sans réfléchir, car les unités sont différentes. Il faut convertir d’abord : 2 m = 200 cm, donc l’aire vaut 200 × 30 = 6 000 cm². On pourrait aussi convertir 30 cm en 0,30 m et obtenir 2 × 0,30 = 0,60 m².

Un carré est un rectangle particulier : il a quatre angles droits et ses quatre côtés sont de même longueur. La formule du carré est donc une version particulière de la formule du rectangle : au lieu de faire longueur × largeur, on fait côté × côté.

4. Démonstration

Pour comprendre la formule de l’aire du rectangle, imaginons un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm. On le quadrille avec des carrés de 1 cm de côté. Sur la première ligne, on peut placer 5 carrés de 1 cm². Comme la largeur mesure 3 cm, il y a 3 lignes identiques. Le nombre total de carrés est donc 5 + 5 + 5, ce qui est égal à 3 × 5, ou encore 5 × 3. L’aire du rectangle est donc 15 cm².

Cette observation se généralise. Si un rectangle a une longueur L et une largeur l, chaque ligne contient L carrés d’unité, et il y a l lignes. Le nombre total de carrés est donc L × l. C’est pourquoi on écrit : A = L × l.

Pour un carré, le raisonnement est le même. Un carré de côté 4 cm peut être quadrillé avec 4 carrés sur chaque ligne et 4 lignes. Le nombre total de carrés est donc 4 × 4 = 16. Son aire est 16 cm². Si le côté mesure c, on obtient c × c, que l’on écrit aussi c². L’écriture c² se lit « c au carré » et signifie « c multiplié par c ».

Cette démonstration montre aussi pourquoi l’unité devient carrée. On multiplie une longueur par une longueur : cm × cm = cm². L’aire n’est donc pas une simple longueur ; elle mesure une surface.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la figure. Je regarde si la figure est un rectangle ou un carré. Un rectangle a quatre angles droits et deux dimensions principales : longueur et largeur. Un carré a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
2. Je relève les dimensions utiles. Pour un rectangle, je cherche la longueur L et la largeur l. Pour un carré, je cherche la longueur du côté c. Je vérifie que les dimensions sont bien données dans l’énoncé ou sur la figure.
3. Je vérifie les unités. Les dimensions doivent être dans la même unité. Si nécessaire, je convertis avant de calculer. Par exemple, 1 m = 100 cm, donc 2 m = 200 cm.
4. J’applique la formule. Pour un rectangle, j’écris A = L × l. Pour un carré, j’écris A = c × c ou A = c².
5. Je fais le calcul. Je multiplie les deux nombres. Je peux poser l’opération si nécessaire.
6. J’écris l’unité carrée. Si les longueurs sont en cm, l’aire est en cm². Si les longueurs sont en m, l’aire est en m².
7. Je vérifie le sens de la réponse. Si l’énoncé parle de surface, de peinture, de carrelage, de recouvrir ou de plancher, il s’agit souvent d’une aire. S’il parle de contour, de clôture, de ruban autour ou de bordure, il s’agit plutôt d’un périmètre.

La routine à retenir est : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère la figure et les dimensions, j’applique la bonne formule, puis je vérifie le calcul et l’unité.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 5 cm. On veut calculer son aire.

Étape 1 : repérer la figure. La figure est un rectangle. On utilise donc la formule de l’aire du rectangle : A = L × l.

Étape 2 : relever les dimensions. La longueur est L = 12 cm et la largeur est l = 5 cm. Les deux dimensions sont exprimées dans la même unité, le centimètre.

Étape 3 : appliquer la formule. A = 12 × 5.

Étape 4 : calculer. 12 × 5 = 60.

Étape 5 : écrire l’unité. Comme les dimensions sont en cm, l’aire s’exprime en cm².

Réponse : l’aire du rectangle est 60 cm².

On peut interpréter ce résultat : le rectangle a la même surface que 60 carrés de 1 cm². Attention, 60 cm² n’est pas une longueur de contour. Si l’on demandait le périmètre, il faudrait additionner les longueurs des côtés : 12 + 5 + 12 + 5 = 34 cm. On voit bien que l’aire et le périmètre ne répondent pas à la même question.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On connaît l’aire d’un rectangle : 48 cm². Sa longueur est 8 cm. On cherche sa largeur.

Étape 1 : écrire la formule. Pour un rectangle, A = L × l.

Étape 2 : remplacer par les valeurs connues. On sait que A = 48 cm² et L = 8 cm. On écrit donc : 48 = 8 × l.

Étape 3 : trouver le facteur manquant. On cherche le nombre qui, multiplié par 8, donne 48. Comme 8 × 6 = 48, la largeur est 6 cm.

Réponse : la largeur du rectangle est 6 cm.

On peut aussi utiliser une division : l = 48 ÷ 8 = 6. Dans un cas inverse, on ne multiplie pas toujours les nombres donnés. Il faut bien comprendre la formule et chercher la donnée manquante.

Autre exemple avec un carré : un carré a une aire de 25 cm². Quelle est la longueur de son côté ? On cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 25. Comme 5 × 5 = 25, le côté mesure 5 cm. On peut écrire √25 = 5, mais en 6e on privilégie surtout le raisonnement à partir des tables de multiplication et des carrés connus.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une famille veut poser du gazon synthétique sur une petite terrasse rectangulaire. La terrasse mesure 4 m de longueur et 3 m de largeur. Le gazon est vendu au m². Quelle surface de gazon faut-il acheter ?

Étape 1 : comprendre la question. On cherche une surface à recouvrir. Les mots « poser » et « surface » indiquent qu’il faut calculer une aire, pas un périmètre.

Étape 2 : identifier la figure. La terrasse est rectangulaire. On utilise la formule A = L × l.

Étape 3 : relever les dimensions. L = 4 m et l = 3 m. Les dimensions sont dans la même unité.

Étape 4 : calculer. A = 4 × 3 = 12.

Étape 5 : conclure. L’aire de la terrasse est 12 m². Il faut donc acheter 12 m² de gazon, éventuellement un peu plus si l’on prévoit des découpes.

Si la famille voulait poser une bordure autour de la terrasse, la question serait différente. Il faudrait alors calculer le périmètre : 4 + 3 + 4 + 3 = 14 m. Pour recouvrir le sol, on calcule l’aire ; pour faire le tour, on calcule le périmètre.

Ce type de situation se retrouve dans de nombreux problèmes : peinture d’un mur, carrelage d’une salle, moquette dans une chambre, feuille à plastifier, champ à semer. Chaque fois qu’il s’agit de recouvrir une surface, on pense à l’aire.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner les côtés au lieu de les multiplier — À faire : verbaliser la question : l’aire mesure la surface, le périmètre mesure le contour. Pour l’aire d’un rectangle, on utilise L × l.
• Erreur : écrire cm au lieu de cm² — À faire : se rappeler que l’aire compte des carrés d’unité. Une aire en centimètres carrés s’écrit cm².
• Erreur : calculer 4 × c pour l’aire d’un carré — À faire : distinguer les formules : périmètre du carré = 4 × c, aire du carré = c × c = c².
• Erreur : confondre aire et longueur du contour dans un problème — À faire : surligner les mots indicateurs. « Surface », « recouvrir », « peindre », « carreler » indiquent souvent une aire ; « autour », « contour », « clôture », « bordure » indiquent souvent un périmètre.
• Erreur : oublier une dimension dans un rectangle — À faire : dessiner le rectangle, noter la longueur et la largeur sur le schéma, puis écrire la formule avant le calcul.
• Erreur : multiplier des dimensions qui ne sont pas dans la même unité — À faire : convertir les longueurs dans une même unité avant d’appliquer la formule.

10. À retenir

• L’aire mesure la surface occupée par une figure.
• Le périmètre mesure la longueur du contour d’une figure.
• L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule : A = L × l.
• L’aire d’un carré se calcule avec la formule : A = c × c = c².
• Une aire s’exprime en unités carrées : mm², cm², dm², m².
• Avant de calculer une aire, les deux dimensions doivent être exprimées dans la même unité.
• Un carré est un rectangle particulier dont les quatre côtés ont la même longueur.
• Pour résoudre un problème, il faut d’abord comprendre si l’on cherche une surface ou un contour.
• La routine efficace est : Je repère la figure et les dimensions, j’applique la formule, je vérifie le calcul et l’unité.

Phrase mémoire : Pour recouvrir, je calcule une aire ; pour faire le tour, je calcule un périmètre.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Aires du rectangle et du carré — 6e » avec corrigé et barème.

La fiche peut proposer plusieurs types d’exercices progressifs. Dans « Compléter le tableau des aires », l’élève reçoit des longueurs et des largeurs, puis calcule l’aire correspondante. Dans « Aire ou périmètre ? », il doit lire de courts énoncés et choisir la grandeur à calculer. Dans « Associer figure, formule et calcul », il relie une figure à la formule correcte et à l’opération adaptée. Dans « Écrire le calcul complet », il doit rédiger une réponse avec formule, remplacement des valeurs, calcul et unité. Enfin, dans « Résoudre des problèmes », il applique la notion à des situations concrètes : carrelage, peinture, jardin, affiche, table, terrain.

Un barème possible sur 10 points est le suivant : choix de la bonne grandeur, aire ou périmètre, 2 pts ; utilisation de la formule adaptée, 3 pts ; exactitude des calculs, 3 pts ; écriture correcte de l’unité d’aire, 1 pt ; présentation claire du raisonnement, 1 pt. Ce barème encourage à ne pas donner seulement un résultat, mais à montrer la méthode.

Pour s’entraîner efficacement, il est conseillé de toujours écrire la formule avant le calcul. Par exemple : A = L × l = 9 × 4 = 36 cm². Cette rédaction courte mais complète permet de vérifier que l’on utilise bien la bonne grandeur et la bonne unité.

12. Questions fréquentes