Cercle et disque : périmètre et aire

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une classe veut décorer le contour d’un bassin rond avec une guirlande, puis recouvrir le fond du bassin avec une bâche. Pour acheter la bonne longueur de guirlande, il faut connaître le tour du bassin : c’est le périmètre du cercle, aussi appelé circonférence. Pour acheter la bonne quantité de bâche, il faut connaître la surface du fond : c’est l’aire du disque. Les deux questions se ressemblent, car elles concernent une forme ronde, mais elles ne demandent pas la même grandeur.

En 6e, on apprend à distinguer clairement le cercle et le disque, à reconnaître le rayon et le diamètre, puis à utiliser les formules adaptées : P = 2 × π × r, P = π × d et A = π × r². La lettre π, qui se lit « pi », représente un nombre particulier, environ égal à 3,14. Elle apparaît dans toutes les formules liées au cercle.

La difficulté principale est de choisir la bonne formule selon la question posée. Si l’on cherche un tour, une longueur de bord, une clôture ou une circonférence, on calcule un périmètre. Si l’on cherche une surface à peindre, à couvrir ou à colorier, on calcule une aire. La méthode de base est donc : je repère, j’applique, je vérifie.

2. Définition

Définition : Un cercle est l’ensemble des points situés à la même distance d’un point appelé centre. Cette distance s’appelle le rayon. Le disque est la surface formée par le cercle et tout son intérieur.

Le cercle est donc seulement le contour, comme une ligne ronde. Le disque est toute la région intérieure, comme une pièce de monnaie vue de face. Cette différence est essentielle : le périmètre concerne le cercle, tandis que l’aire concerne le disque.

On note généralement le rayon par la lettre r. Le diamètre, noté d, est un segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre. Il mesure deux rayons mis bout à bout. On a donc :

d = 2 × r et r = d ÷ 2.

Le mot repère de cette leçon est circonférence, que l’on peut découper en syllabes : cir-con-fé-rence. La circonférence est le périmètre du cercle. Par exemple, si r = 3 cm, alors P = 2 × π × 3 = 6π cm, soit environ 18,84 cm.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Le périmètre d’un cercle de rayon r est donné par la formule P = 2 × π × r. Comme le diamètre vaut d = 2 × r, on peut aussi écrire P = π × d. L’aire d’un disque de rayon r est donnée par la formule A = π × r².

Ces formules sont à connaître et à utiliser avec des unités correctes. Pour un périmètre, on obtient une unité de longueur : mm, cm, m, km. Pour une aire, on obtient une unité d’aire : mm², cm², m², km².

Les écritures importantes sont :

• P = 2 × π × r : périmètre du cercle quand on connaît le rayon ;
• P = π × d : circonférence quand on connaît directement le diamètre ;
• A = π × r² : aire du disque ;
• d = 2 × r : le diamètre est le double du rayon ;
• π ≈ 3,14 : valeur approchée de pi souvent utilisée en 6e.

On peut garder un résultat exact avec la lettre π, par exemple 8π cm, ou donner une valeur approchée en remplaçant π par 3,14.

4. Démonstration

En 6e, on ne démontre pas ces formules de manière complètement formelle, mais on peut les comprendre par des observations et des raisonnements simples.

Pour le périmètre, on observe que si l’on mesure le tour de plusieurs objets circulaires, puis que l’on divise ce tour par le diamètre, on obtient toujours à peu près le même nombre : environ 3,14. Ce nombre est appelé π. Cela signifie que le périmètre d’un cercle est toujours égal à environ 3,14 fois son diamètre. On écrit donc P = π × d. Comme d = 2 × r, on peut remplacer le diamètre par deux rayons : P = π × 2 × r, c’est-à-dire P = 2 × π × r.

Pour l’aire du disque, on peut imaginer que l’on découpe le disque en de nombreux secteurs très fins, comme des parts de gâteau. Si l’on réorganise ces parts en alternant les pointes vers le haut et vers le bas, on obtient une forme qui ressemble de plus en plus à un rectangle. La hauteur de ce rectangle est proche du rayon r, et sa base est proche de la moitié du périmètre du cercle, c’est-à-dire π × r. L’aire est alors proche de π × r × r, donc π × r².

Cette justification permet de comprendre pourquoi l’aire utilise le rayon multiplié par lui-même, tandis que le périmètre utilise seulement une longueur de contour.

5. Méthode pas à pas

1. Je lis la question. Je cherche si l’on demande un tour, une longueur de bord, une clôture, une ficelle ou une circonférence : c’est un périmètre. Si l’on demande une surface, une peinture, un revêtement ou une zone intérieure : c’est une aire.
2. Je repère les données. Je regarde si l’énoncé donne le rayon r ou le diamètre d. Je peux entourer le mot « rayon » ou « diamètre » pour éviter les confusions.
3. Je convertis si nécessaire. Si le diamètre est donné mais que j’ai besoin du rayon, j’utilise r = d ÷ 2. Si le rayon est donné et que je veux le diamètre, j’utilise d = 2 × r.
4. J’écris la formule. Pour un périmètre : P = 2 × π × r ou P = π × d. Pour une aire : A = π × r².
5. Je remplace les lettres par les nombres. Par exemple, si r = 5 cm, alors A = π × 5².
6. Je calcule. Je peux donner un résultat exact avec π, puis une valeur approchée avec π ≈ 3,14.
7. Je vérifie l’unité. Un périmètre s’écrit en cm, m, km. Une aire s’écrit en cm², m², km².
8. Je rédige une phrase de réponse. Je précise la grandeur calculée et son unité.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un cercle a un rayon de 4 cm. Calculer son périmètre et l’aire du disque correspondant.

Étape 1 : je repère. Le rayon est donné : r = 4 cm. On demande d’abord un périmètre, puis une aire.

Calcul du périmètre :

P = 2 × π × r

P = 2 × π × 4

P = 8π cm

Avec π ≈ 3,14, on obtient P ≈ 8 × 3,14 = 25,12 cm.

Calcul de l’aire :

A = π × r²

A = π × 4²

A = 16π cm²

Avec π ≈ 3,14, on obtient A ≈ 16 × 3,14 = 50,24 cm².

Réponse : Le périmètre du cercle est 8π cm, soit environ 25,12 cm. L’aire du disque est 16π cm², soit environ 50,24 cm².

On remarque que les deux résultats n’ont pas la même unité : le périmètre est en cm, l’aire est en cm².

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Un cercle a un diamètre de 10 m. Calculer son périmètre et l’aire du disque.

Étape 1 : je repère. Le diamètre est donné : d = 10 m. Pour le périmètre, on peut utiliser directement P = π × d. Pour l’aire, il faut le rayon.

Calcul du périmètre :

P = π × d

P = π × 10

P = 10π m

Avec π ≈ 3,14, on obtient P ≈ 31,4 m.

Calcul du rayon :

r = d ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 m.

Calcul de l’aire :

A = π × r²

A = π × 5²

A = 25π m²

Avec π ≈ 3,14, on obtient A ≈ 25 × 3,14 = 78,5 m².

Réponse : Le périmètre du cercle est 10π m, soit environ 31,4 m. L’aire du disque est 25π m², soit environ 78,5 m².

L’erreur à éviter ici serait d’utiliser 10 comme rayon dans la formule de l’aire. Dans A = π × r², c’est toujours le rayon que l’on élève au carré, jamais le diamètre.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Dans une cour, on veut installer un parterre de fleurs circulaire de rayon 2,5 m. On souhaite poser une bordure tout autour et recouvrir toute la surface de terreau. Calculer la longueur de bordure nécessaire et l’aire à recouvrir.

Étape 1 : je comprends la situation. La bordure correspond au tour du parterre : c’est le périmètre du cercle. Le terreau recouvre l’intérieur : c’est l’aire du disque.

Donnée : r = 2,5 m.

Longueur de bordure :

P = 2 × π × r

P = 2 × π × 2,5

P = 5π m

Avec π ≈ 3,14, P ≈ 5 × 3,14 = 15,7 m.

Aire à recouvrir :

A = π × r²

A = π × 2,5²

A = π × 6,25

A = 6,25π m²

Avec π ≈ 3,14, A ≈ 6,25 × 3,14 = 19,625 m², soit environ 19,63 m² si l’on arrondit au centième.

Réponse : Il faut environ 15,7 m de bordure et environ 19,63 m² de terreau.

Dans un problème concret, il est important d’interpréter les mots : « autour » indique souvent un périmètre, tandis que « recouvrir », « peindre » ou « remplir une surface » indique souvent une aire.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Utiliser A = πr² pour calculer un tour. — À faire : Reformuler : le périmètre est le contour, l’aire est la surface intérieure.
• Erreur : Prendre le diamètre à la place du rayon dans A = πr². — À faire : Entourer r ou d dans l’énoncé, puis écrire d = 2r ou r = d ÷ 2.
• Erreur : Oublier le carré dans la formule de l’aire. — À faire : Dire à voix haute : aire du disque égale pi fois rayon fois rayon.
• Erreur : Écrire cm² pour un périmètre. — À faire : Associer longueur à une règle et aire à une surface coloriée.
• Erreur : Donner seulement une valeur décimale sans expliquer la formule. — À faire : Écrire une ligne de méthode : grandeur cherchée, formule, remplacement des valeurs, unité.
• Erreur : Confondre 2πr et πr² parce que les deux formules contiennent π. — À faire : Se demander d’abord : est-ce un contour ou une surface ?

10. À retenir

• Le cercle est le contour ; le disque est la surface intérieure.
• Le rayon relie le centre à un point du cercle.
• Le diamètre passe par le centre et relie deux points du cercle.
• Le diamètre vaut deux rayons : d = 2 × r.
• Le rayon vaut la moitié du diamètre : r = d ÷ 2.
• Le périmètre du cercle, ou circonférence, se calcule avec P = 2 × π × r.
• Si le diamètre est connu, on peut utiliser P = π × d.
• L’aire du disque se calcule avec A = π × r².
• On utilise souvent π ≈ 3,14 pour obtenir une valeur approchée.
• Un périmètre s’exprime en unité de longueur, comme cm ou m.
• Une aire s’exprime en unité d’aire, comme cm² ou m².

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : cercle et disque, périmètre et aire.

La fiche d’application peut proposer plusieurs types d’exercices progressifs. Dans Compléter le tableau, l’élève calcule le rayon, le diamètre, le périmètre ou l’aire à partir des données fournies. Dans Vrai ou faux ?, il vérifie des affirmations comme « si le rayon est 6 cm, le diamètre est 12 cm » ou « une aire s’exprime en cm ». Dans Associer situation, formule et unité, il relie une situation concrète à P = 2πr, P = πd ou A = πr². Dans Écrire et calculer, il doit présenter la formule, remplacer les valeurs, calculer et conclure. Dans Problèmes mixtes, il choisit lui-même s’il faut calculer un périmètre ou une aire.

Un barème sur 20 points peut être organisé ainsi : 4 points pour identifier correctement rayon et diamètre, 4 points pour choisir la formule adaptée au périmètre ou à l’aire, 4 points pour effectuer les calculs exacts avec π, 4 points pour donner une valeur approchée correcte avec π ≈ 3,14, et 4 points pour écrire les unités adaptées et présenter clairement la réponse.

12. Questions fréquentes