Comparer et ranger les nombres décimaux

1. Introduction et problématique

En classe de 6e, on utilise très souvent les nombres décimaux : pour mesurer une longueur en mètres, lire une masse en kilogrammes, comparer des prix en euros, étudier une durée ou placer un point sur une droite graduée. Savoir comparer et ranger des nombres décimaux est donc une compétence essentielle du programme de mathématiques du collège. Elle permet de répondre à des questions simples, mais importantes : quel nombre est le plus grand ? Quel est le plus petit ? Dans quel ordre faut-il écrire une liste de nombres ? Entre quels entiers se situe un nombre décimal ?

Situation-problème : trois élèves participent à un saut en longueur. Lina saute 4,7 m, Hugo saute 4,62 m et Inès saute 4,705 m. Qui a réalisé le meilleur saut ? Pour répondre, il ne suffit pas de regarder combien de chiffres il y a après la virgule. Il faut comparer les nombres avec méthode : partie entière, puis dixièmes, puis centièmes, puis millièmes si nécessaire. Par exemple, 4,7 n’est pas plus petit que 4,62 parce qu’il a moins de chiffres après la virgule. En réalité, 4,7 = 4,70, donc 4,70 > 4,62.

L’objectif de cette leçon est de savoir comparer deux nombres décimaux, ranger une liste dans l’ordre croissant ou décroissant, et encadrer un nombre décimal entre deux entiers consécutifs. On apprendra aussi à utiliser correctement les signes <, > et =, en évitant les erreurs fréquentes liées aux zéros après la virgule ou à la lecture de la partie décimale.

2. Définition

Définition : Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux ou indiquer lequel est le plus petit et lequel est le plus grand. Pour comparer deux nombres décimaux, on utilise les signes =, < et >. Le signe = signifie « est égal à ». Le signe < signifie « est plus petit que ». Le signe > signifie « est plus grand que ».

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une partie entière, une virgule et une partie décimale. Par exemple, dans 17,36, la partie entière est 17 et la partie décimale est 36. Le chiffre 3 est le chiffre des dixièmes et le chiffre 6 est le chiffre des centièmes.

Comparer des nombres décimaux demande de tenir compte de la valeur des chiffres selon leur position. Le nombre 4,12 n’est pas plus grand que 4,8, même si 12 est plus grand que 8. En effet, 4,8 = 4,80. On compare alors 4,80 et 4,12 : les parties entières sont égales, mais 8 dixièmes est plus grand que 1 dixième, donc 4,8 > 4,12.

Ranger une liste de nombres, c’est les écrire dans un ordre précis. L’ordre croissant va du plus petit au plus grand. L’ordre décroissant va du plus grand au plus petit. Encadrer un nombre décimal entre deux entiers consécutifs, c’est trouver l’entier juste avant et l’entier juste après. Par exemple, 17 < 17,36 < 18.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord leurs parties entières. Si les parties entières sont différentes, le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière. Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres après la virgule dans l’ordre : dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

Cette règle est la méthode principale à connaître en 6e. Elle évite de comparer la partie décimale comme si c’était un nombre entier. Les chiffres après la virgule ont des rangs : dixièmes, centièmes, millièmes. On ne peut pas comparer 7 dixièmes et 62 centièmes en regardant seulement les nombres 7 et 62. Il faut écrire les nombres avec le même nombre de chiffres après la virgule, si cela aide.

Propriété importante : on peut ajouter ou supprimer des zéros à droite de la partie décimale sans changer la valeur du nombre. Ainsi, 5,7 = 5,70 = 5,700. Ces écritures représentent le même nombre. Cette propriété est très utile pour comparer deux nombres ayant un nombre différent de chiffres après la virgule.

Exemples : 3,8 = 3,80, donc 3,8 > 3,12 car 3,80 > 3,12. De même, 12,04 < 12,4 car 12,04 < 12,40. Pour les signes, il faut retenir que la pointe du signe est toujours du côté du plus petit nombre : dans 2 < 5, la pointe est tournée vers 2 ; dans 9 > 6, la pointe est tournée vers 6.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi la méthode fonctionne, on peut revenir à la décomposition décimale. Un nombre décimal peut se décomposer en unités, dixièmes, centièmes et millièmes. Par exemple, 4,705 signifie 4 unités, 7 dixièmes, 0 centième et 5 millièmes. Le nombre 4,62 signifie 4 unités, 6 dixièmes et 2 centièmes, c’est-à-dire 4,620 si on ajoute un zéro aux millièmes.

Comparons 4,705 et 4,62. Les parties entières sont égales : elles valent 4. On regarde alors les dixièmes. Dans 4,705, il y a 7 dixièmes ; dans 4,620, il y a 6 dixièmes. Comme 7 dixièmes est plus grand que 6 dixièmes, on sait immédiatement que 4,705 > 4,62. Il est inutile de comparer les centièmes ou les millièmes, car la différence est déjà faite au rang des dixièmes.

Comparons maintenant 8,34 et 8,39. Les parties entières sont égales : 8. Les dixièmes sont égaux : 3. On compare alors les centièmes : 4 centièmes pour 8,34 et 9 centièmes pour 8,39. Comme 4 < 9, on obtient 8,34 < 8,39. Cette comparaison suit l’ordre des rangs, du plus grand vers le plus petit : unités, dixièmes, centièmes, millièmes.

La droite graduée permet aussi de justifier la méthode. Plus un nombre est placé à droite sur la droite numérique, plus il est grand. Entre 4 et 5, le nombre 4,7 est plus proche de 5 que 4,62 ; il est donc à droite de 4,62. Cela confirme que 4,7 > 4,62. La comparaison décimale est donc cohérente avec la position des nombres sur une droite graduée.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je sépare la partie entière et la partie décimale de chaque nombre. Par exemple, dans 4,62, la partie entière est 4 et la partie décimale est 62.
2. Je compare les parties entières : si elles sont différentes, le nombre qui a la plus grande partie entière est le plus grand. Par exemple, 12,05 > 9,99 car 12 > 9.
3. Si les parties entières sont égales : je compare les dixièmes. Par exemple, 6,8 > 6,3 car 8 dixièmes > 3 dixièmes.
4. Si les dixièmes sont égaux : je compare les centièmes. Par exemple, 7,42 < 7,48 car 2 centièmes < 8 centièmes.
5. Si nécessaire : je continue avec les millièmes, puis les rangs suivants. Par exemple, 5,376 > 5,371 car les unités, dixièmes et centièmes sont égaux, mais 6 millièmes > 1 millième.
6. Je peux compléter avec des zéros : pour comparer plus facilement, j’ajoute des zéros à droite de la partie décimale. Par exemple, 4,7 = 4,70, donc 4,70 > 4,62.
7. Je vérifie le signe : la pointe du signe est du côté du plus petit nombre. Ainsi, 3,12 < 3,8 et 3,8 > 3,12 sont deux écritures correctes.

Mot repère : ordre. Pour garder une méthode stable, on peut se répéter : « partie entière, dixièmes, centièmes, millièmes ». En majuscules : COMPARAISON DES NOMBRES DÉCIMAUX. La phrase utile est : « Comparer : partie entière puis dixièmes, centièmes, millièmes ». Cette routine permet d’éviter la plupart des confusions.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Comparer les nombres 4,7 et 4,62.

On commence par repérer les parties entières. Dans 4,7, la partie entière est 4. Dans 4,62, la partie entière est aussi 4. Les parties entières sont donc égales ; il faut comparer les chiffres après la virgule.

Dans 4,7, le chiffre des dixièmes est 7. Dans 4,62, le chiffre des dixièmes est 6. Comme 7 dixièmes est plus grand que 6 dixièmes, on peut conclure que 4,7 > 4,62.

On peut aussi utiliser l’écriture avec le même nombre de chiffres après la virgule : 4,7 = 4,70. On compare alors 4,70 et 4,62. Les parties entières sont égales, mais 70 centièmes est plus grand que 62 centièmes. Donc 4,70 > 4,62, c’est-à-dire 4,7 > 4,62.

Conclusion : 4,7 > 4,62. L’erreur serait de dire que 4,62 est plus grand parce que 62 est plus grand que 7. Ce raisonnement oublie les rangs décimaux : 7 est ici un chiffre des dixièmes, tandis que 62 représente 62 centièmes.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : 5,09 ; 5,7 ; 5,12 ; 5,70 ; 5,008.

On veut écrire les nombres du plus petit au plus grand. Les parties entières sont toutes égales à 5. Il faut donc comparer les parties décimales. Pour mieux voir, on peut écrire tous les nombres avec trois chiffres après la virgule :

5,09 = 5,090 ; 5,7 = 5,700 ; 5,12 = 5,120 ; 5,70 = 5,700 ; 5,008 = 5,008.

On compare maintenant les millièmes : 008, 090, 120, 700 et 700. Le plus petit est 5,008, puis 5,090, puis 5,120, puis 5,700. Comme 5,7 = 5,70, ces deux nombres sont égaux et peuvent être placés l’un à côté de l’autre.

Le rangement croissant est donc : 5,008 < 5,09 < 5,12 < 5,7 = 5,70.

Si on demande un ordre décroissant, on inverse l’ordre : 5,70 = 5,7 > 5,12 > 5,09 > 5,008. L’important est de ne pas supprimer mentalement la virgule. Les nombres 5,09 et 5,7 ne se comparent pas comme 509 et 57 ; il faut tenir compte des dixièmes, centièmes et millièmes.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Lors d’une course, quatre élèves obtiennent les temps suivants : Amine fait 12,4 s, Zoé fait 12,09 s, Naya fait 12,45 s et Tom fait 12,5 s. On veut classer les élèves du plus rapide au moins rapide. Attention : pour une durée de course, le plus rapide est celui qui a le plus petit temps.

Les parties entières sont toutes égales à 12. On compare donc les parties décimales. Pour faciliter la comparaison, on écrit les temps avec deux chiffres après la virgule : 12,4 = 12,40 ; 12,09 reste 12,09 ; 12,45 reste 12,45 ; 12,5 = 12,50.

On compare : 12,09 est le plus petit, puis 12,40, puis 12,45, puis 12,50. Donc les temps rangés dans l’ordre croissant sont : 12,09 < 12,40 < 12,45 < 12,50.

Le classement du plus rapide au moins rapide est donc : Zoé, Amine, Naya, Tom. On peut écrire : Zoé a gagné car 12,09 s est le plus petit temps. Tom n’est pas plus rapide que Naya, car 12,5 = 12,50 et 12,50 > 12,45.

Encadrement : le temps de Naya, 12,45 s, est compris entre deux entiers consécutifs : 12 < 12,45 < 13. Le temps de Tom, 12,5 s, vérifie aussi 12 < 12,5 < 13. Encadrer entre deux entiers revient à trouver l’unité juste avant et l’unité juste après le nombre.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : penser que 4,12 est plus grand que 4,8 car 12 est plus grand que 8 — À faire : écrire 4,8 = 4,80 puis comparer 4,80 et 4,12. On obtient 4,8 > 4,12.
• Erreur : confondre les signes < et > — À faire : retenir que la pointe du signe est toujours du côté du plus petit nombre. Par exemple, 2 < 5 et 5 > 2.
• Erreur : croire que 5,70 est différent de 5,7 — À faire : rappeler qu’un zéro ajouté à droite de la partie décimale ne change pas la valeur : 5,70 = 5,7.
• Erreur : ranger une liste en comparant seulement deux nombres à la fois sans organisation — À faire : aligner les virgules, compléter avec des zéros et comparer colonne par colonne.
• Erreur : encadrer 29,999 par 29 et 29,1000 — À faire : comprendre que les entiers consécutifs autour de 29,999 sont 29 et 30, donc 29 < 29,999 < 30.
• Erreur : penser que le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule est toujours le plus grand — À faire : comparer les rangs dans l’ordre. Par exemple, 6,9 > 6,123 car 6,900 > 6,123.

10. À retenir

• Comparer deux nombres décimaux, c’est déterminer s’ils sont égaux ou lequel est le plus grand.
• On compare d’abord les parties entières. Si elles sont différentes, la comparaison est terminée.
• Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes, dans cet ordre.
• Ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas la valeur d’un nombre : 4,5 = 4,50 = 4,500.
• L’ordre croissant va du plus petit au plus grand : 1,2 < 1,8 < 2,3.
• L’ordre décroissant va du plus grand au plus petit : 7,6 > 7,4 > 7,09.
• Encadrer un nombre décimal entre deux entiers consécutifs, c’est trouver l’entier juste avant et l’entier juste après : 17 < 17,36 < 18.
• La pointe des signes < et > est toujours du côté du plus petit nombre.
• Une droite graduée peut aider à visualiser : plus un nombre est à droite, plus il est grand.

11. Exercices d'application

Pour s’entraîner, on peut télécharger une fiche d’exercices au format PDF : Comparer et ranger les nombres décimaux — exercices 6e. Cette fiche permet de travailler progressivement les compétences attendues : comparer deux décimaux, choisir la bonne phrase, ranger dans l’ordre croissant, encadrer entre deux entiers, puis ranger et justifier.

Aperçu des types d’exercices proposés : dans le premier exercice, il faut compléter avec les signes <, > ou =. Par exemple : 6,4 … 6,39 ; 8,05 … 8,5 ; 12,70 … 12,7. Dans le deuxième exercice, il faut choisir les phrases vraies, comme « 3,8 est plus grand que 3,12 » ou « 5,70 est égal à 5,7 ». Dans le troisième exercice, on range des listes dans l’ordre croissant. Dans le quatrième, on encadre des nombres comme 9,4 ; 17,36 ; 29,999 entre deux entiers consécutifs. Dans le dernier exercice, il faut ranger dans l’ordre décroissant et expliquer la méthode utilisée.

Barème possible sur 10 points : 2 points pour les signes de comparaison corrects, 2 points pour le choix des phrases vraies, 2 points pour les rangements croissants, 2 points pour les encadrements entre deux entiers consécutifs, et 2 points pour l’ordre décroissant avec justification. Une réponse bien justifiée montre les étapes : parties entières, dixièmes, centièmes, puis ajout éventuel de zéros.

12. Questions fréquentes