Division : quotient décimal d'un nombre par un entier

1. Introduction et problématique

Situation-problème : trois amis achètent ensemble une bouteille de jus contenant 7,5 L pour une fête de classe. Ils veulent se partager exactement la même quantité. Quelle quantité de jus reçoit chacun ? Le calcul à effectuer est 7,5 ÷ 3. On cherche donc le quotient décimal d’un nombre décimal par un entier.

En classe de 6e, savoir calculer un quotient décimal est indispensable pour résoudre des problèmes de partage, de prix, de longueurs, de masses, de durées ou de proportionnalité. Par exemple, si 4 cahiers coûtent 18,60 €, le prix d’un cahier est 18,60 ÷ 4. Si une ficelle de 12,8 m est coupée en 5 morceaux égaux, la longueur d’un morceau est 12,8 ÷ 5.

Le mot repère est partage : par-ta-ge. Par exemple, 7,5 ÷ 3 signifie partager 7,5 en 3 parts égales ; chaque part vaut 2,5. Le nombre que l’on partage s’appelle le dividende, le nombre de parts s’appelle le diviseur, et le résultat s’appelle le quotient.

Dans cette leçon, on apprend à poser une division décimale lorsque le diviseur est un entier. On apprend aussi à distinguer deux cas : obtenir une valeur exacte quand la division se termine, ou donner une valeur approchée quand elle ne se termine pas ou quand l’énoncé demande un arrondi à un rang précis.

2. Définition

Définition : Diviser un nombre décimal par un entier non nul, c’est chercher le nombre qui, multiplié par cet entier, redonne le nombre de départ. Dans l’écriture a ÷ n, le nombre a est le dividende, le nombre entier non nul n est le diviseur, et le résultat est le quotient.

Par exemple, dans 7,5 ÷ 3, le dividende est 7,5, le diviseur est 3 et le quotient est 2,5, car 2,5 × 3 = 7,5.

Un quotient décimal peut être :

• exact, si la division se termine avec un reste égal à 0 ;
• approché, si l’on s’arrête à un rang demandé, par exemple au dixième, au centième ou au millième.

On peut écrire un nombre décimal avec des zéros inutiles après sa dernière décimale sans changer sa valeur. Par exemple : 18,6 = 18,60 = 18,600. Cette propriété est très utile pour poursuivre une division décimale.

Les écritures importantes à retenir sont : a ÷ n, quotient décimal, dividende, diviseur entier, valeur exacte et valeur approchée.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour diviser un nombre décimal par un entier non nul, on effectue la division comme une division posée. Lorsque l’on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place la virgule au quotient. Si le reste devient 0, le quotient est exact. Sinon, on peut poursuivre en ajoutant des zéros après la virgule du dividende et donner une valeur approchée au rang demandé.

Cette règle est la règle essentielle de la division posée avec virgule : on place la virgule au quotient quand on l’abaisse dans le dividende. Cela signifie que si l’on a fini d’utiliser la partie entière du dividende et que l’on commence à utiliser les chiffres après la virgule, le quotient doit lui aussi passer à sa partie décimale.

On utilise aussi la propriété suivante : ajouter des zéros après la virgule d’un nombre décimal ne change pas ce nombre. Ainsi, 5,2 = 5,20 = 5,200. Dans une division, cela permet de continuer le calcul pour obtenir plus de décimales.

Pour vérifier un résultat exact, on multiplie le quotient par le diviseur. Si l’on retrouve le dividende, le calcul est correct. Exemple : 3,75 ÷ 5 = 0,75, car 0,75 × 5 = 3,75.

Pour vérifier une valeur approchée, on utilise un ordre de grandeur. Exemple : 18,6 ÷ 4 est proche de 20 ÷ 4 = 5, donc le quotient doit être proche de 5. Un résultat comme 46,5 serait impossible.

4. Démonstration

Expliquons pourquoi la règle de la virgule fonctionne. Prenons le calcul 7,5 ÷ 3. Le nombre 7,5 est composé de 7 unités et 5 dixièmes. On commence par partager les 7 unités en 3 parts. Chaque part reçoit 2 unités, car 3 × 2 = 6. Il reste 1 unité.

Ce reste de 1 unité peut être transformé en 10 dixièmes. Comme le dividende contient aussi 5 dixièmes, on obtient 15 dixièmes à partager entre 3 parts. Chaque part reçoit 5 dixièmes, car 3 × 5 = 15. Le quotient est donc 2 unités et 5 dixièmes, c’est-à-dire 2,5.

Dans la division posée, le passage des unités aux dixièmes correspond au moment où l’on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende. C’est précisément à ce moment-là que le quotient doit passer lui aussi aux dixièmes. On écrit donc la virgule dans le quotient.

Autre exemple : 18,6 ÷ 4. On partage d’abord 18 unités en 4 parts. Chaque part reçoit 4 unités, car 4 × 4 = 16. Il reste 2 unités. On transforme ces 2 unités en 20 dixièmes, puis on ajoute les 6 dixièmes du dividende : cela fait 26 dixièmes. On partage 26 dixièmes en 4 parts : chaque part reçoit 6 dixièmes, car 4 × 6 = 24, et il reste 2 dixièmes. On peut transformer ce reste en centièmes en ajoutant un zéro : 2 dixièmes = 20 centièmes. On partage 20 centièmes en 4 parts : chaque part reçoit 5 centièmes. Le quotient est 4,65. On vérifie : 4,65 × 4 = 18,60 = 18,6.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. J’identifie le dividende, le diviseur entier et la consigne. Est-ce que l’on demande une valeur exacte ou une valeur approchée ? À quel rang faut-il éventuellement s’arrêter : dixième, centième, millième ?
2. Je pose la division. J’écris le dividende à gauche et le diviseur entier à droite, comme dans une division posée habituelle. J’aligne correctement les chiffres du dividende.
3. Je commence par la partie entière. Je divise les chiffres avant la virgule comme pour une division entière. Si le dividende entier est plus petit que le diviseur, le quotient commence par 0.
4. Je place la virgule au quotient. Dès que j’abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, j’écris la virgule au quotient. C’est l’étape à ne pas oublier.
5. Je poursuis le calcul. Je continue la division chiffre après chiffre. Si nécessaire, j’ajoute des zéros après la virgule du dividende : par exemple 12,8 = 12,80 = 12,800.
6. Je m’arrête correctement. Si le reste devient 0, le quotient est exact. Si la division ne se termine pas ou si l’énoncé demande un rang précis, je m’arrête au rang demandé et je donne une valeur approchée.
7. Je vérifie. Je multiplie le quotient par le diviseur pour contrôler le résultat exact, ou j’utilise un ordre de grandeur. Par exemple, 18,6 ÷ 4 doit être proche de 20 ÷ 4 = 5.
8. J’écris une phrase réponse. Dans un problème, je n’oublie pas l’unité : euros, mètres, litres, kilogrammes, minutes, etc.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculer exactement : 7,5 ÷ 3.

On pose la division de 7,5 par 3. On commence avec la partie entière : 7 ÷ 3. Dans 7, il y a 2 fois 3, car 2 × 3 = 6. On écrit 2 au quotient. Il reste 1.

On abaisse ensuite le chiffre 5, qui est après la virgule du dividende. À ce moment précis, on écrit la virgule au quotient. Le reste de 1 unité devient 10 dixièmes, et avec les 5 dixièmes abaissés, cela donne 15 dixièmes.

On calcule 15 ÷ 3 = 5. On écrit 5 après la virgule au quotient. Le reste est 0, car 5 × 3 = 15. La division est terminée.

On obtient donc : 7,5 ÷ 3 = 2,5.

Vérification : 2,5 × 3 = 7,5. Le quotient est exact. Dans une situation de partage, cela signifie que si l’on partage 7,5 unités en 3 parts égales, chaque part vaut 2,5 unités.

Ce premier exemple montre le cas le plus simple : le reste devient 0 après un seul chiffre décimal. La réponse est une valeur exacte.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On sait que le quotient exact de 18,6 par un entier est 4,65. Retrouver le diviseur.

On cherche le nombre entier n tel que : 18,6 ÷ n = 4,65. Cela signifie que 4,65 × n = 18,6. Pour retrouver n, on peut se demander combien de fois 4,65 est contenu dans 18,6.

On calcule : 18,6 ÷ 4,65. Mais pour un raisonnement de 6e, on peut essayer avec la multiplication. Calculons 4,65 × 4 :

4 × 4,65 = 18,60. Or 18,60 = 18,6. Donc 4,65 × 4 = 18,6.

Le diviseur est donc 4. On peut écrire : 18,6 ÷ 4 = 4,65.

Cet exemple est un cas inverse, car on ne cherche pas directement le quotient : on utilise le lien entre division et multiplication. Une division peut toujours être contrôlée par une multiplication. Si a ÷ n = q, alors q × n = a. Cette idée est essentielle pour vérifier ses résultats.

On peut aussi faire un ordre de grandeur : 18,6 est proche de 20, et 4,65 est proche de 5. Comme 5 × 4 = 20, le diviseur 4 est cohérent.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur achète 4 calculatrices identiques pour sa classe. Le prix total est 18,60 €. Quel est le prix d’une calculatrice ?

On doit partager 18,60 € en 4 parts égales. Le calcul à effectuer est donc : 18,60 ÷ 4. Le dividende est 18,60 et le diviseur entier est 4.

On pose la division. Dans 18, il y a 4 fois 4, car 4 × 4 = 16. On écrit 4 au quotient. Il reste 2. On abaisse ensuite le premier chiffre après la virgule, c’est-à-dire 6. Comme on abaisse un chiffre décimal du dividende, on place la virgule au quotient. On obtient 26 dixièmes à diviser par 4.

Dans 26, il y a 6 fois 4, car 6 × 4 = 24. On écrit 6 après la virgule. Il reste 2. On abaisse ensuite le 0 des centièmes. On obtient 20 centièmes. Dans 20, il y a 5 fois 4. On écrit 5. Le reste est 0.

On trouve : 18,60 ÷ 4 = 4,65.

Vérification : 4,65 × 4 = 18,60. Le calcul est exact.

Phrase réponse : Une calculatrice coûte 4,65 €.

Dans un problème concret, il est important de ne pas seulement écrire le calcul. Il faut aussi répondre à la question avec une phrase et l’unité. Ici, l’unité est l’euro.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : La virgule est oubliée dans le quotient. — À faire : Entourer la virgule du dividende et rappeler la règle : quand on abaisse le premier chiffre décimal, on écrit la virgule au quotient.
• Erreur : Le quotient est 10 fois trop grand ou 10 fois trop petit. — À faire : Faire un ordre de grandeur avant le calcul. Par exemple, 18,6 ÷ 4 est proche de 20 ÷ 4 = 5, donc le résultat doit être proche de 5.
• Erreur : L’élève s’arrête avec un reste non nul sans continuer. — À faire : Utiliser l’égalité 18,6 = 18,60 = 18,600. Ajouter des zéros après la virgule permet de poursuivre la division.
• Erreur : La valeur approchée n’est pas donnée au rang demandé. — À faire : Repérer le chiffre du rang demandé : dixième, centième ou millième, puis regarder le chiffre suivant pour arrondir.
• Erreur : La phrase réponse ne correspond pas au contexte. — À faire : Relire la question et écrire l’unité : euros, mètres, litres, kilogrammes, minutes.
• Erreur : Le diviseur et le dividende sont inversés. — À faire : Reformuler la situation : que partage-t-on ? En combien de parts ? Dans 7,5 ÷ 3, on partage 7,5 en 3 parts, et non 3 en 7,5 parts.

10. À retenir

• Diviser un nombre décimal par un entier, c’est chercher la valeur d’une part dans un partage équitable.
• Dans a ÷ n, le nombre a est le dividende et le nombre entier non nul n est le diviseur.
• On pose la division comme une division habituelle, en respectant l’alignement des chiffres.
• On place la virgule au quotient quand on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende.
• Si le reste devient 0, le quotient est exact : on obtient une valeur exacte.
• Si le reste ne devient pas 0 ou si l’énoncé le demande, on s’arrête au rang demandé : on donne une valeur approchée.
• On peut ajouter des zéros après la virgule du dividende sans changer sa valeur : 12,8 = 12,80 = 12,800.
• Pour vérifier, on multiplie le quotient par le diviseur ou on utilise un ordre de grandeur.
• Dans un problème, la réponse doit être une phrase avec l’unité adaptée.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur la division : quotient décimal d’un nombre par un entier.

Dans les exercices d’application, on s’entraîne progressivement à reconnaître une division décimale, à poser correctement le calcul, à placer la virgule au bon endroit et à donner une réponse exacte ou approchée. Les types d’exercices proposés sont les suivants : Compléter le tableau, Vrai ou faux ?, Remettre les étapes dans l’ordre, Calculer et saisir le quotient, et Résoudre des petits problèmes.

Exemples de consignes possibles : calculer 9,6 ÷ 3 ; calculer 12,5 ÷ 4 au centième près ; compléter une égalité du type 3,25 × 6 = 19,5 donc 19,5 ÷ 6 = ... ; choisir entre plusieurs quotients celui qui est cohérent avec un ordre de grandeur ; résoudre un problème de partage de prix ou de longueur.

Un barème possible sur 15 points peut être utilisé pour se corriger : identifier correctement le dividende et le diviseur, 2 points ; poser correctement la division et aligner les chiffres, 3 points ; placer la virgule au bon endroit dans le quotient, 4 points ; poursuivre la division avec des zéros si nécessaire, 3 points ; donner une réponse exacte ou approchée avec une phrase réponse, 3 points.

12. Questions fréquentes