La division euclidienne

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une professeure veut ranger 157 cahiers dans des paquets de 12 cahiers. Elle se demande combien de paquets complets elle peut former et combien de cahiers resteront sans former un paquet complet. On peut essayer : 12 × 10 = 120, il reste 37 ; 12 × 12 = 144, il reste 13 ; 12 × 13 = 156, il reste 1. On ne peut pas faire 14 paquets, car 12 × 14 = 168, ce qui dépasse 157. La réponse est donc : 13 paquets complets et 1 cahier restant.

Ce type de situation apparaît très souvent : répartir des élèves dans des équipes, ranger des objets dans des boîtes, convertir des durées, organiser des places dans des rangées, chercher si un nombre est un multiple d’un autre. En classe de 6e, la division euclidienne permet de résoudre ces problèmes avec des nombres entiers. Elle ne donne pas un résultat décimal : elle donne un quotient entier et un reste entier.

La question centrale de cette leçon est donc : comment effectuer une division euclidienne, comment nommer les nombres qui interviennent, et comment vérifier que le résultat obtenu est correct ? La relation essentielle à connaître est : a = b × q + r. Elle signifie que le dividende se recompose avec le diviseur, le quotient et le reste. On retiendra aussi la condition indispensable : 0 ≤ r < b.

2. Définition

Définition : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b non nul, c’est trouver deux nombres entiers q et r tels que a = b × q + r et 0 ≤ r < b. Le nombre a s’appelle le dividende, le nombre b s’appelle le diviseur, le nombre q s’appelle le quotient et le nombre r s’appelle le reste.

Dans l’écriture 157 ÷ 12, le nombre 157 est le dividende : c’est le nombre que l’on partage ou que l’on regroupe. Le nombre 12 est le diviseur : il indique la taille des groupes ou le nombre de parts selon le problème. Le quotient indique combien de groupes complets on obtient. Le reste indique ce qui n’a pas pu être partagé ou regroupé complètement.

On peut retenir le mot repère division, découpé en syllabes : di – vi – sion. Dans 157 ÷ 12, on cherche combien de fois 12 est contenu dans 157 : 12 × 13 = 156, donc le quotient est 13 et le reste est 1.

Les quatre écritures importantes à maîtriser sont : dividende ÷ diviseur, quotient et reste, a = b × q + r et 0 ≤ r < b. Elles correspondent à la division, au résultat, à la relation de la division euclidienne et à la condition sur le reste.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tout nombre entier a et tout nombre entier b non nul, il existe un unique quotient entier q et un unique reste entier r tels que a = b × q + r et 0 ≤ r < b.

Cette propriété signifie que le résultat d’une division euclidienne est déterminé sans ambiguïté. Si l’on divise 157 par 12, il n’y a pas plusieurs réponses possibles : le quotient est 13 et le reste est 1. Une réponse comme quotient 12 et reste 13 n’est pas correcte, même si 12 × 12 + 13 = 157, car le reste 13 n’est pas inférieur au diviseur 12.

Le reste est toujours positif ou nul, et il est toujours strictement inférieur au diviseur. Si le reste vaut 0, on dit que le dividende est un multiple du diviseur. Par exemple, 84 ÷ 7 donne quotient 12 et reste 0, car 84 = 7 × 12 + 0. Donc 84 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 84.

La division euclidienne est donc liée au vocabulaire des multiples et des diviseurs. Dire que 56 est un multiple de 8 signifie que 56 peut s’écrire 8 × 7. Dans ce cas, la division euclidienne de 56 par 8 donne un reste nul. À l’inverse, si le reste n’est pas nul, le dividende n’est pas un multiple du diviseur.

4. Démonstration

En 6e, on ne demande pas une démonstration abstraite complète, mais on peut comprendre pourquoi la division euclidienne fonctionne. Prenons un dividende a et un diviseur b non nul. On cherche les multiples de b : 0 × b, 1 × b, 2 × b, 3 × b, etc. Parmi ces multiples, on cherche le plus grand multiple inférieur ou égal à a.

Par exemple, pour 157 ÷ 12, les multiples de 12 proches de 157 sont : 12 × 10 = 120, 12 × 11 = 132, 12 × 12 = 144, 12 × 13 = 156, 12 × 14 = 168. Le plus grand multiple de 12 inférieur ou égal à 157 est 156. Il correspond à 12 × 13. Donc le quotient est 13.

Le reste est alors la différence entre le dividende et ce multiple : 157 − 156 = 1. On obtient 157 = 12 × 13 + 1. Le reste 1 est bien inférieur à 12. Si l’on avait choisi 12 comme quotient, on aurait eu 157 = 12 × 12 + 13, mais le reste 13 serait trop grand. Cela montre que le quotient choisi doit être le plus grand possible sans dépasser le dividende.

Pourquoi le reste doit-il être inférieur au diviseur ? Parce que si le reste était supérieur ou égal au diviseur, on pourrait encore ajouter un groupe complet. Le quotient ne serait donc pas assez grand. Ainsi, la condition 0 ≤ r < b garantit que l’on a bien fait le maximum de groupes complets.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : j’identifie le dividende a et le diviseur b dans la division à effectuer. Dans 157 ÷ 12, a = 157 et b = 12.
2. Je cherche les multiples du diviseur : je calcule ou j’estime les multiples de b proches de a. Par exemple, 12 × 10 = 120, 12 × 13 = 156, 12 × 14 = 168.
3. Je choisis le plus grand multiple inférieur ou égal au dividende : ici, 156 est inférieur à 157, mais 168 dépasse 157.
4. Je trouve le quotient : le multiple choisi est 12 × 13, donc le quotient est q = 13.
5. Je calcule le reste : je soustrais le multiple choisi au dividende : r = 157 − 156 = 1.
6. Je vérifie la relation : je calcule b × q + r. Ici, 12 × 13 + 1 = 156 + 1 = 157.
7. Je vérifie la condition sur le reste : le reste doit être inférieur au diviseur. Ici, 0 ≤ 1 < 12, donc la division est correcte.
8. Je rédige si c’est un problème : j’explique ce que représentent le quotient et le reste dans la situation.

Cette routine peut se retenir ainsi : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le dividende et le diviseur. J’applique en cherchant le plus grand multiple possible. Je vérifie avec la relation a = b × q + r et la condition 0 ≤ r < b.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Effectuons la division euclidienne de 94 par 7. On écrit : 94 ÷ 7. Le dividende est 94 et le diviseur est 7. On cherche combien de fois 7 est contenu dans 94 sans dépasser 94.

On utilise les multiples de 7 : 7 × 10 = 70, 7 × 11 = 77, 7 × 12 = 84, 7 × 13 = 91, 7 × 14 = 98. Le multiple 98 dépasse 94, donc il est trop grand. Le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 94 est 91.

Comme 91 = 7 × 13, le quotient est 13. Le reste vaut 94 − 91 = 3. On obtient donc : 94 = 7 × 13 + 3. On vérifie la condition sur le reste : 0 ≤ 3 < 7. Elle est vraie.

Conclusion : dans la division euclidienne de 94 par 7, le quotient est 13 et le reste est 3. On peut écrire : 94 ÷ 7 donne 13 reste 3. Il ne faut pas écrire que le résultat est seulement 13, car le reste fait partie du résultat de la division euclidienne.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un cas inverse, on ne demande pas toujours d’effectuer directement une division. On peut donner le diviseur, le quotient et le reste, puis demander de retrouver le dividende. Par exemple : une division euclidienne a pour diviseur 9, pour quotient 14 et pour reste 5. Quel est le dividende ?

On utilise la relation de la division euclidienne : a = b × q + r. Ici, b = 9, q = 14 et r = 5. On remplace dans la formule : a = 9 × 14 + 5. On calcule d’abord la multiplication : 9 × 14 = 126. Puis on ajoute le reste : 126 + 5 = 131.

Le dividende est donc 131. On peut vérifier que le reste est correct : il faut 0 ≤ r < b. Ici, 0 ≤ 5 < 9, donc la condition est respectée. On peut écrire : 131 = 9 × 14 + 5.

Attention : si l’énoncé disait que le reste est 12 avec un diviseur 9, ce serait impossible pour une division euclidienne, car 12 n’est pas inférieur à 9. Dans ce cas, il faudrait transformer : 9 × 14 + 12 = 9 × 15 + 3. Le quotient correct serait alors 15 et le reste 3.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un cinéma organise une sortie scolaire. Il y a 126 élèves à installer dans des rangées de 8 places. Combien de rangées complètes peut-on remplir ? Combien d’élèves resteront dans une rangée non complète ?

On reconnaît une division euclidienne : on partage 126 élèves en groupes de 8. Le dividende est 126 et le diviseur est 8. On cherche le plus grand multiple de 8 inférieur ou égal à 126.

Calculons : 8 × 10 = 80, 8 × 15 = 120, 8 × 16 = 128. Le nombre 128 dépasse 126, donc on ne peut pas remplir 16 rangées complètes. Le plus grand multiple possible est 120, qui correspond à 8 × 15.

Le quotient est donc 15. Le reste vaut 126 − 120 = 6. On vérifie : 126 = 8 × 15 + 6 et 0 ≤ 6 < 8. La division euclidienne est correcte.

Phrase-réponse : on peut remplir 15 rangées complètes de 8 élèves, et il restera 6 élèves dans une rangée non complète. Dans ce problème, le quotient représente le nombre de rangées complètes, et le reste représente le nombre d’élèves qui ne remplissent pas une rangée entière.

Selon la question posée, il faut parfois adapter la réponse. Si l’on demande combien de rangées sont nécessaires au total pour installer tous les élèves, il faut compter une rangée supplémentaire pour les 6 élèves restants. Il faudrait donc 16 rangées au total. La division euclidienne aide à comprendre la situation, mais la phrase-réponse doit toujours répondre exactement à la question.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : le reste est supérieur ou égal au diviseur — À faire : chercher le multiple suivant du diviseur et vérifier s’il reste inférieur ou égal au dividende.
• Erreur : le quotient est trop grand et le multiple dépasse le dividende — À faire : revenir au plus grand multiple inférieur ou égal au dividende.
• Erreur : confondre dividende et diviseur — À faire : reformuler : dans a ÷ b, a est le nombre à partager et b indique la taille des groupes ou le nombre de parts.
• Erreur : la vérification donne un résultat différent du dividende — À faire : recalculer séparément b × q, puis ajouter le reste.
• Erreur : oublier le reste dans la phrase-réponse — À faire : se demander ce que représentent le quotient et le reste dans le contexte du problème.
• Erreur : écrire une réponse décimale alors qu’on demande une division euclidienne — À faire : donner un quotient entier et un reste entier.

Une vérification efficace consiste à se poser deux questions : est-ce que b × q + r redonne bien a ? Est-ce que le reste est bien compris entre 0 et b, b exclu ? Si les deux réponses sont oui, la division euclidienne est correcte.

10. À retenir

• La division euclidienne concerne les nombres entiers.
• Dans a ÷ b, le nombre a est le dividende et le nombre b est le diviseur.
• Le diviseur b ne doit pas être égal à 0.
• Le résultat d’une division euclidienne est composé d’un quotient entier q et d’un reste entier r.
• La relation fondamentale est : a = b × q + r.
• La condition indispensable sur le reste est : 0 ≤ r < b.
• Le quotient indique le nombre de groupes complets ou le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende.
• Le reste indique ce qui n’a pas pu être partagé ou regroupé complètement.
• Si le reste est 0, alors le dividende est un multiple du diviseur.
• Pour vérifier, on calcule diviseur × quotient + reste et on compare au dividende.

Exemple à mémoriser : 157 ÷ 12 donne quotient 13 et reste 1, car 157 = 12 × 13 + 1 et 0 ≤ 1 < 12.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices sur la division euclidienne en 6e. Le fichier propose plusieurs types d’entraînement : compléter un tableau avec dividende, diviseur, quotient et reste ; utiliser le vocabulaire de la division ; recomposer le dividende à partir de la relation a = b × q + r ; effectuer des divisions euclidiennes ; résoudre des problèmes concrets avec une phrase-réponse.

Exemples de consignes possibles : compléter 83 = 6 × q + r ; effectuer la division euclidienne de 145 par 9 ; dire si 132 est un multiple de 11 ; retrouver le dividende lorsque le diviseur est 8, le quotient 17 et le reste 3 ; résoudre un problème de partage de 98 cartes entre 6 joueurs.

Pour s’autoévaluer, on peut utiliser le barème suivant : identifier correctement dividende, diviseur, quotient et reste, 4 points ; trouver un quotient correct, 5 points ; calculer un reste correct, 4 points ; vérifier avec la relation a = b × q + r, 4 points ; rédiger une phrase-réponse adaptée dans les problèmes, 3 points. Le total est de 20 points.

Avant de regarder un corrigé, il est conseillé de vérifier chaque résultat avec les deux conditions : la relation doit redonner le dividende, et le reste doit être inférieur au diviseur.

12. Questions fréquentes