Droites parallèles et perpendiculaires

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans la cour du collège, on veut tracer au sol deux lignes pour organiser un jeu. La première ligne représente un couloir de course. La deuxième doit soit couper ce couloir en formant un angle droit, soit rester toujours à la même distance de lui, comme deux rails de train. Comment reconnaître ces deux situations ? Comment tracer proprement ces droites avec les instruments de géométrie ?

En classe de 6e, on apprend à reconnaître, nommer et tracer des droites parallèles et des droites perpendiculaires. Ces notions sont essentielles en géométrie : elles permettent de construire des figures, de coder des dessins, de décrire une situation et de justifier un raisonnement. On les retrouve dans les rectangles, les carrés, les quadrillages, les plans de ville, les cartes, les bâtiments ou encore les objets du quotidien.

Une droite est une ligne illimitée : elle ne s’arrête pas aux bords du dessin. C’est une idée très importante. Deux droites qui semblent ne pas se rencontrer sur une petite feuille peuvent se couper si on les prolonge. Pour décider si deux droites sont parallèles ou non, on ne regarde donc pas seulement le morceau visible : on imagine ou on trace leur prolongement.

Le mot repère est parallèles, qui se découpe en quatre syllabes : pa-ral-lè-les. Deux droites parallèles gardent toujours le même écartement et ne se coupent pas. Pour les droites perpendiculaires, le mot repère est angle droit : deux droites perpendiculaires se coupent en formant quatre angles droits.

La routine de travail à utiliser est simple : je repère, j’applique, je vérifie. Je repère d’abord si les droites se coupent et si elles semblent former un angle droit. J’applique ensuite les instruments adaptés, surtout l’équerre et la règle. Enfin, je vérifie la notation : ⊥ pour les droites perpendiculaires et // pour les droites parallèles.

2. Définition

Définition : Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. On note par exemple (d) ⊥ (e), ce qui se lit : « la droite (d) est perpendiculaire à la droite (e) ».

Définition : Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont la même direction et ne se coupent jamais, même si on les prolonge. Elles gardent un écartement constant. On note par exemple (d) // (e), ce qui se lit : « la droite (d) est parallèle à la droite (e) ».

La notation est importante. Le symbole ⊥ ressemble à un angle droit : il sert donc à noter des droites perpendiculaires. Le symbole // ressemble à deux rails de train : il sert donc à noter des droites parallèles. Cette association visuelle aide à éviter les confusions.

On nomme souvent une droite avec une lettre entre parenthèses, par exemple (d), (e) ou (f). On peut aussi nommer une droite avec deux points qui lui appartiennent : si les points A et B sont sur la même droite, on peut écrire (AB). Ainsi, (AB) ⊥ (CD) signifie que la droite passant par A et B est perpendiculaire à la droite passant par C et D.

Attention : une demi-droite ou un segment peuvent être portés par des droites. Quand on parle de parallélisme ou de perpendicularité, on raisonne souvent sur les droites complètes, même si le dessin ne montre qu’un segment. Par exemple, deux côtés d’un rectangle sont des segments, mais on peut dire que les droites qui les portent sont parallèles ou perpendiculaires.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Théorème : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.

Ces propriétés sont très utiles pour raisonner. Elles permettent de conclure sans tout mesurer à chaque fois. Par exemple, si on sait que (d) ⊥ (g) et que (e) ⊥ (g), alors on peut conclure que (d) // (e). Les deux droites (d) et (e) forment chacune un angle droit avec la même droite (g), donc elles ont la même direction.

Inversement, si on sait que (d) // (e) et que (f) ⊥ (d), alors on peut conclure que (f) ⊥ (e). Une droite qui coupe une famille de droites parallèles en formant un angle droit avec l’une forme aussi un angle droit avec l’autre.

Ces propriétés doivent être utilisées avec précision. Il ne suffit pas de dire : « elles ont l’air parallèles » ou « ça ressemble à un angle droit ». En géométrie, on observe, on mesure ou on utilise un codage. Le petit carré dessiné dans un angle indique un angle droit. Des flèches ou des marques identiques peuvent indiquer que deux droites sont parallèles selon les conventions du professeur.

En 6e, on apprend surtout à reconnaître, tracer et justifier avec des phrases simples. Une bonne phrase de justification peut être : « Les droites (d) et (e) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (g), donc elles sont parallèles. » Cette phrase montre qu’on utilise une propriété et pas seulement une impression visuelle.

4. Démonstration

En géométrie de 6e, on ne fait pas toujours de longues démonstrations comme dans les classes suivantes, mais on apprend déjà à expliquer pourquoi une conclusion est vraie. On peut appeler cela une justification. Pour justifier que deux droites sont perpendiculaires, on peut utiliser l’équerre ou un codage d’angle droit. Pour justifier que deux droites sont parallèles, on peut utiliser l’écartement constant, un tracé avec la règle et l’équerre, ou une propriété.

Considérons trois droites (d), (e) et (g). On sait que (d) ⊥ (g) et que (e) ⊥ (g). Cela signifie que (d) forme un angle droit avec (g), et que (e) forme aussi un angle droit avec (g). Les deux droites (d) et (e) ont donc la même direction : elles sont toutes les deux « droites » par rapport à (g) de la même manière. Elles ne peuvent pas se rencontrer, car si elles se rencontraient, elles n’auraient pas le même écartement et ne seraient pas toutes les deux perpendiculaires à (g) dans la même direction. On conclut donc que (d) // (e).

On peut aussi expliquer la deuxième propriété. Supposons que (d) // (e) et que (f) ⊥ (d). La droite (f) coupe (d) en formant un angle droit. Comme (d) et (e) gardent la même direction, la droite (f) coupe aussi (e) avec la même inclinaison. Elle forme donc un angle droit avec (e). On conclut : (f) ⊥ (e).

Ces raisonnements doivent être rédigés avec les mots du cours : droites parallèles, droites perpendiculaires, angle droit, même direction, écartement constant, se coupent, ne se coupent pas. Une figure seule ne suffit pas toujours : il faut aussi savoir écrire une conclusion claire.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les droites. Je lis leurs noms : (d), (e), (AB), (CD). Si les droites ne sont pas nommées, je les nomme pour pouvoir écrire une phrase précise.
2. Je regarde si elles se coupent. Si deux droites se coupent, elles ne sont pas parallèles. Elles peuvent être perpendiculaires si elles forment un angle droit.
3. Je vérifie l’angle droit avec l’équerre. Je place le sommet de l’angle droit de l’équerre au point d’intersection. Si les deux côtés de l’équerre suivent les deux droites, alors elles sont perpendiculaires.
4. Je prolonge mentalement ou réellement les droites. Pour reconnaître des droites parallèles, je ne me limite pas au dessin visible. Je vérifie si elles gardent le même écartement et si elles ne se coupent jamais.
5. Je trace une perpendiculaire. Je place un côté de l’angle droit de l’équerre sur la droite donnée, puis je fais passer l’autre côté par le point demandé. Je trace la nouvelle droite.
6. Je trace une parallèle. J’utilise la règle et l’équerre. Je place l’équerre contre la droite donnée, j’appuie une règle contre l’équerre, puis je fais glisser l’équerre le long de la règle jusqu’au point demandé. Je trace la parallèle.
7. Je code la figure. Je dessine un petit carré pour indiquer un angle droit. Je peux aussi ajouter des marques ou écrire les notations demandées.
8. J’écris la conclusion. Par exemple : « Les droites (d) et (e) sont perpendiculaires, donc (d) ⊥ (e). » ou « Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc (AB) // (CD). »

Cette méthode correspond à la routine : 👀 je repère, 📐 j’applique, ✅ je vérifie. Elle doit devenir automatique pour construire des figures propres et pour utiliser correctement les notations ⊥ et //.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Sur une figure, les droites (d) et (e) se coupent au point A. Un petit carré est dessiné à l’un des angles formés. Que peut-on dire des droites (d) et (e) ? Écrire la notation correcte.

Résolution : Le petit carré indique que l’angle formé par les deux droites est un angle droit. Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont des droites perpendiculaires. On peut donc affirmer que les droites (d) et (e) sont perpendiculaires.

Conclusion : On écrit (d) ⊥ (e). Cette notation se lit : « la droite (d) est perpendiculaire à la droite (e) ».

Vérification avec les instruments : Si on veut contrôler la figure, on place l’angle droit de l’équerre au point A. Un côté de l’équerre doit suivre la droite (d), et l’autre côté doit suivre la droite (e). Si c’est le cas, l’angle est bien droit.

Point de vigilance : Il ne faut pas écrire (d) // (e), car les droites se coupent. Le symbole // est réservé aux droites parallèles, qui ne se coupent jamais. Le symbole ⊥ correspond à l’angle droit.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : On sait que les droites (r) et (s) sont parallèles. La droite (t) est perpendiculaire à la droite (r). Que peut-on dire des droites (t) et (s) ?

Résolution : On connaît deux informations. Premièrement, (r) // (s). Deuxièmement, (t) ⊥ (r). On utilise la propriété du cours : si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.

Comme (r) et (s) sont parallèles, elles ont la même direction. La droite (t), qui forme un angle droit avec (r), forme donc aussi un angle droit avec (s). On peut conclure que (t) est perpendiculaire à (s).

Conclusion : On écrit (t) ⊥ (s).

Phrase de justification : « Les droites (r) et (s) sont parallèles. Or la droite (t) est perpendiculaire à la droite (r). Donc la droite (t) est aussi perpendiculaire à la droite (s). »

Point de vigilance : Dans ce type d’exercice, il ne faut pas seulement regarder la figure. On doit utiliser les informations données dans l’énoncé et appliquer la propriété correcte. C’est une première étape vers le raisonnement géométrique.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un jardinier veut tracer deux allées dans un parc. L’allée principale est représentée par la droite (a). Il veut tracer une allée (b) qui coupe l’allée principale à angle droit au niveau d’une fontaine F. Il veut aussi tracer une allée (c), passant par un banc B, qui reste parallèle à l’allée principale. Comment doit-il faire ?

Tracé de l’allée perpendiculaire : Pour tracer l’allée (b), on place un côté de l’angle droit de l’équerre sur la droite (a). On fait en sorte que l’autre côté de l’angle droit passe par le point F. On trace alors la droite (b). Comme elle coupe (a) en formant un angle droit, on peut écrire (b) ⊥ (a).

Tracé de l’allée parallèle : Pour tracer l’allée (c), on utilise la règle et l’équerre. On place l’équerre contre la droite (a), puis on place une règle contre l’équerre pour guider le glissement. On fait glisser l’équerre jusqu’à ce que son bord passe par le point B. On trace alors la droite (c). Elle garde la même direction que (a), donc on peut écrire (c) // (a).

Interprétation : L’allée (b) coupe l’allée principale comme une rue qui arrive à un carrefour à angle droit. L’allée (c), elle, suit la même direction que l’allée principale, comme deux rails de train. Même si elles sont éloignées, elles ne doivent jamais se rencontrer si on les prolonge.

Conclusion : Le jardinier utilise l’équerre pour la perpendicularité et la règle avec l’équerre pour le parallélisme. Les notations finales sont (b) ⊥ (a) et (c) // (a).

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre les symboles // et ⊥. — À faire : associer // à deux rails de train et ⊥ à un angle droit.
• Erreur : penser que deux droites parallèles sont seulement deux droites qui ne se touchent pas sur le dessin. — À faire : prolonger mentalement ou réellement les droites pour vérifier si elles se coupent plus loin.
• Erreur : tracer une perpendiculaire imprécise. — À faire : placer correctement un côté de l’angle droit de l’équerre sur la droite donnée, puis tracer lentement.
• Erreur : tracer une parallèle à vue d’œil. — À faire : utiliser la méthode par glissement de l’équerre le long de la règle.
• Erreur : oublier de nommer les droites. — À faire : écrire une phrase de conclusion avec les noms des droites, par exemple (d) // (e) ou (d) ⊥ (e).
• Erreur : croire qu’un segment trop court ne peut pas être parallèle à un autre. — À faire : raisonner sur les droites qui portent les segments, pas seulement sur leur longueur visible.
• Erreur : annoncer qu’un angle est droit sans vérifier. — À faire : utiliser l’équerre ou repérer un codage d’angle droit sur la figure.

10. À retenir

• Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit.
• La notation des droites perpendiculaires est ⊥. Exemple : (d) ⊥ (e).
• Deux droites parallèles ont la même direction, gardent un écartement constant et ne se coupent jamais.
• La notation des droites parallèles est //. Exemple : (d) // (e).
• Pour vérifier une perpendicularité, on utilise l’équerre.
• Pour tracer une perpendiculaire, on place l’angle droit de l’équerre sur la droite donnée.
• Pour tracer une parallèle, on utilise la règle et l’équerre, souvent avec une méthode de glissement.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
• Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
• Une droite est illimitée : pour reconnaître des parallèles, il faut penser aux prolongements.

11. Exercices d'application

Un entraînement complet peut être proposé sous forme de fiche PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les droites parallèles et perpendiculaires en 6e. Cette fiche permet de travailler la reconnaissance, les notations, les constructions et les justifications.

Les exercices peuvent être organisés en plusieurs types. D’abord, reconnaître dans un tableau : l’élève observe différentes paires de droites et indique si elles sont parallèles, perpendiculaires ou ni l’une ni l’autre. Ensuite, lire et écrire les notations : il faut passer d’une phrase à une écriture mathématique, par exemple « (d) est perpendiculaire à (e) » devient (d) ⊥ (e).

Un autre type d’exercice consiste à remettre une construction dans l’ordre. L’élève doit classer les étapes pour tracer une perpendiculaire ou une parallèle. Cela aide à comprendre l’usage de la règle et de l’équerre. On peut aussi demander de coder une figure : ajouter le petit carré de l’angle droit, écrire les noms des droites, compléter les notations // ou ⊥.

Enfin, certains exercices demandent de raisonner avec les propriétés. Par exemple : « On sait que (a) ⊥ (c) et (b) ⊥ (c). Que peut-on dire de (a) et (b) ? » La réponse attendue est : (a) // (b), car deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Un barème sur 20 points peut évaluer cinq compétences : reconnaître les droites parallèles, 4 points ; reconnaître les droites perpendiculaires, 4 points ; utiliser les notations // et ⊥, 4 points ; ordonner ou décrire une construction, 4 points ; justifier avec le vocabulaire géométrique, 4 points.

12. Questions fréquentes