Les durées : conversions et calculs

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un film commence à 14 h 35 et dure 1 h 50 min. À quelle heure se termine-t-il ? Un élève peut être tenté d’écrire 14 h 35 + 1 h 50 = 15 h 85, mais cette réponse n’est pas correcte sous cette forme : on n’écrit pas 85 minutes dans une heure, car 60 min = 1 h. Il faut donc transformer 85 min en 1 h 25 min, puis ajouter cette heure supplémentaire. Le film se termine à 16 h 25.

En 6e, savoir convertir et calculer des durées est une compétence essentielle du programme de mathématiques. On l’utilise dans les problèmes d’emploi du temps, de trajet, de sport, de cuisine, de lecture d’horaires ou de sciences. La difficulté vient du fait que les durées ne se calculent pas comme les nombres décimaux habituels : on ne regroupe pas par paquets de 10 ou de 100, mais par paquets de 60. On dit que les heures, minutes et secondes fonctionnent en base 60.

Dans cette leçon, l’objectif est de savoir convertir des heures en minutes, des minutes en secondes, mais aussi de savoir additionner et soustraire des durées. On apprendra à repérer les unités, à choisir la bonne conversion, à poser un calcul proprement et à vérifier que le résultat final est bien écrit : les secondes doivent être inférieures à 60 et les minutes doivent être inférieures à 60.

2. Définition

Définition : Une durée est une mesure du temps qui s’écoule entre deux instants. Les unités usuelles utilisées en 6e sont l’heure, la minute et la seconde. On note heure par h, minute par min et seconde par s. Les conversions fondamentales sont : 1 h = 60 min et 1 min = 60 s.

Une durée ne désigne pas forcément une heure affichée sur une horloge. Par exemple, 8 h 15 peut désigner un instant de la journée, alors que 1 h 20 min désigne une durée. Si un entraînement commence à 17 h et dure 1 h 20 min, alors 17 h est un instant et 1 h 20 min est la durée de l’entraînement.

Les égalités importantes à mémoriser sont les suivantes : 1 h = 60 min, 2 h = 120 min, 3 h = 180 min, 1 min = 60 s, 2 min = 120 s, 10 min = 600 s. Dans l’autre sens, 60 min = 1 h, 120 min = 2 h, 3600 s = 1 h, car 1 h = 60 min et 60 min = 60 × 60 s = 3600 s.

Mot repère : 1 h 20 min. Comme 1 h = 60 min, alors 1 h 20 min = 60 min + 20 min = 80 min. Cette méthode permet de transformer une durée composée en une seule unité.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour convertir une durée, on multiplie quand on va vers une unité plus petite et on divise ou on regroupe par paquets de 60 quand on va vers une unité plus grande. Ainsi, pour passer des heures aux minutes, on multiplie par 60 ; pour passer des minutes aux secondes, on multiplie par 60 ; pour passer des minutes aux heures, on cherche combien de paquets de 60 minutes on peut former.

Les durées usuelles se calculent en base 60. Cela signifie que 60 s forment 1 min et que 60 min forment 1 h. Cette règle est différente du système décimal, où 100 centimes font 1 euro ou 100 cm font 1 m. Ici, il ne faut donc jamais transformer automatiquement 100 min en 1 h : 100 min = 1 h 40 min, car 60 min = 1 h et il reste 40 min.

Pour additionner des durées, on additionne les heures avec les heures, les minutes avec les minutes et les secondes avec les secondes. Ensuite, on simplifie le résultat en transformant chaque paquet de 60 s en 1 min et chaque paquet de 60 min en 1 h. Par exemple, 2 h 50 min + 1 h 25 min = 3 h 75 min = 4 h 15 min.

Pour soustraire des durées, on peut parfois avoir besoin d’un emprunt. Si les minutes du premier nombre sont plus petites que les minutes à enlever, on transforme 1 h en 60 min. Par exemple, pour calculer 3 h 10 min - 1 h 25 min, on écrit 3 h 10 min = 2 h 70 min, puis 2 h 70 min - 1 h 25 min = 1 h 45 min.

4. Démonstration

Justifions pourquoi 1 h 20 min = 80 min. On sait que 1 h = 60 min. Donc, dans la durée 1 h 20 min, on peut remplacer 1 h par 60 min. On obtient alors 60 min + 20 min. En additionnant les minutes, on obtient 80 min. Donc 1 h 20 min = 80 min. Cette démonstration repose seulement sur la définition de l’heure : une heure contient 60 minutes.

Justifions maintenant pourquoi 130 min = 2 h 10 min. On cherche combien de fois 60 min peuvent être prises dans 130 min. On sait que 2 × 60 = 120, donc 120 min = 2 h. Il reste 130 - 120 = 10 min. On obtient donc 130 min = 2 h 10 min. On peut aussi écrire la division euclidienne : 130 = 2 × 60 + 10. Le quotient 2 donne le nombre d’heures, et le reste 10 donne le nombre de minutes restantes.

Pour une addition, prenons 1 h 45 min + 30 min. On additionne d’abord les minutes : 45 min + 30 min = 75 min. Or 75 min = 60 min + 15 min = 1 h 15 min. La durée totale vaut donc 1 h + 1 h 15 min = 2 h 15 min. On voit que le résultat intermédiaire 1 h 75 min n’est pas une forme finale correcte, car les minutes doivent être inférieures à 60.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les unités. Je lis attentivement l’énoncé et j’identifie les heures, les minutes et les secondes. Je peux surligner h, min et s pour éviter de les confondre.
2. Je choisis l’unité de calcul. Si le calcul est simple, je peux garder les heures, minutes et secondes. Si le problème demande une seule unité, je convertis tout en minutes ou tout en secondes.
3. J’applique les conversions. J’utilise 1 h = 60 min et 1 min = 60 s. Pour convertir des heures en minutes, je multiplie par 60. Pour convertir des minutes en secondes, je multiplie par 60.
4. Je pose le calcul. Pour une addition ou une soustraction, j’aligne les mêmes unités : heures sous heures, minutes sous minutes, secondes sous secondes.
5. Je fais les regroupements. Dès que j’obtiens 60 s ou plus, je transforme en minutes. Dès que j’obtiens 60 min ou plus, je transforme en heures.
6. Je fais les emprunts si nécessaire. Pour une soustraction, si je ne peux pas enlever les minutes ou les secondes, je transforme 1 h en 60 min ou 1 min en 60 s.
7. Je vérifie la réponse finale. Les secondes doivent être comprises entre 0 et 59, et les minutes aussi. Par exemple, 2 h 75 min doit devenir 3 h 15 min.

Routine de réussite : 🔎 Je repère les unités présentes ; 🧮 j’applique les conversions avec 1 h = 60 min et 1 min = 60 s ; ✅ je vérifie que la réponse finale est normalisée, c’est-à-dire que les secondes et les minutes sont inférieures à 60.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Convertir 2 h 35 min en minutes.

Étape 1 : repérer les unités. La durée est composée d’heures et de minutes. On veut une réponse uniquement en minutes.

Étape 2 : convertir les heures en minutes. On sait que 1 h = 60 min. Donc 2 h = 2 × 60 min = 120 min.

Étape 3 : ajouter les minutes restantes. La durée 2 h 35 min correspond à 120 min + 35 min = 155 min.

Conclusion : 2 h 35 min = 155 min.

Ce type de conversion est direct : on descend vers une unité plus petite, donc on multiplie. Passer des heures aux minutes revient à multiplier par 60. De même, passer des minutes aux secondes revient aussi à multiplier par 60. Par exemple, 4 min 12 s = 4 × 60 s + 12 s = 240 s + 12 s = 252 s.

Attention : il ne faut pas écrire 2 h 35 min = 235 min. L’écriture 2 h 35 min n’est pas une écriture décimale. Le chiffre 2 représente des heures, et chaque heure vaut 60 minutes, pas 100 minutes.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Transformer 185 min en heures et minutes.

Étape 1 : chercher des paquets de 60 minutes. Comme 60 min = 1 h, il faut savoir combien de groupes de 60 min on peut faire avec 185 min.

Étape 2 : effectuer la division euclidienne. 185 = 3 × 60 + 5, car 3 × 60 = 180 et 185 - 180 = 5.

Étape 3 : interpréter le résultat. Les 3 paquets de 60 min donnent 3 h, et il reste 5 min.

Conclusion : 185 min = 3 h 5 min.

Dans le cas inverse, on remonte vers une unité plus grande. On ne divise pas toujours avec une réponse décimale : on cherche souvent un quotient et un reste. Par exemple, 130 min = 2 h 10 min, car 130 = 2 × 60 + 10. De même, 75 s = 1 min 15 s, car 75 = 1 × 60 + 15.

Attention à l’écriture : 3 h 5 min peut s’écrire avec un zéro dans un horaire, par exemple 3 h 05, mais dans une durée on écrit souvent 3 h 5 min ou 3 h 05 min pour éviter toute ambiguïté. Dans tous les cas, cela signifie 3 heures et 5 minutes, pas 3,5 heures.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un train part à 9 h 48. Le trajet dure 2 h 37 min. À quelle heure arrive-t-il ?

Étape 1 : identifier l’instant et la durée. Le départ, 9 h 48, est un instant. La durée du trajet est 2 h 37 min. On cherche l’instant d’arrivée.

Étape 2 : additionner les heures et les minutes. On calcule 9 h 48 + 2 h 37 min. Les heures donnent 9 h + 2 h = 11 h. Les minutes donnent 48 min + 37 min = 85 min.

Étape 3 : regrouper les minutes. 85 min = 60 min + 25 min = 1 h 25 min. Donc 11 h 85 min = 12 h 25 min.

Conclusion : Le train arrive à 12 h 25.

On peut vérifier la cohérence du résultat : le trajet dure un peu plus de 2 h 30. En partant vers 10 h moins 12, on arrive bien un peu après midi. Le résultat 12 h 25 est donc vraisemblable.

Autre situation : une séance commence à 15 h 10 et se termine à 16 h 05. Quelle est sa durée ? De 15 h 10 à 16 h 00, il y a 50 min. De 16 h 00 à 16 h 05, il y a 5 min. La durée totale est donc 55 min. On peut aussi calculer 16 h 05 - 15 h 10 en transformant 16 h 05 en 15 h 65, puis 15 h 65 - 15 h 10 = 55 min.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire 1 h 75 min comme réponse finale — À faire : transformer 60 min en 1 h, donc 1 h 75 min = 2 h 15 min.
• Erreur : penser que 1,5 h = 1 h 5 min — À faire : comprendre que 0,5 h est la moitié de 60 min, donc 30 min ; ainsi 1,5 h = 1 h 30 min.
• Erreur : calculer 3 h 10 min - 1 h 25 min en écrivant directement 2 h 15 min — À faire : emprunter 1 h : 3 h 10 min = 2 h 70 min, puis soustraire.
• Erreur : confondre minutes et secondes — À faire : surligner les unités et utiliser un tableau h / min / s avant de poser le calcul.
• Erreur : multiplier par 100 au lieu de 60 — À faire : répéter la règle : les durées usuelles se calculent en base 60, donc 1 h = 60 min et 1 min = 60 s.
• Erreur : oublier de convertir toutes les durées dans la même unité — À faire : avant un calcul, choisir une stratégie : tout convertir en minutes, ou bien travailler par colonnes d’unités.

10. À retenir

• Une durée mesure le temps écoulé entre deux instants.
• Les unités usuelles sont l’heure, la minute et la seconde : h, min, s.
• Les conversions indispensables sont : 1 h = 60 min et 1 min = 60 s.
• Donc 1 h = 3600 s, car 60 × 60 = 3600.
• Pour passer des heures aux minutes, on multiplie par 60.
• Pour passer des minutes aux secondes, on multiplie par 60.
• Pour passer des minutes aux heures et minutes, on cherche des paquets de 60 min.
• Pour additionner des durées, on additionne les mêmes unités, puis on transforme les paquets de 60.
• Pour soustraire des durées, on peut emprunter 1 h = 60 min ou 1 min = 60 s.
• Une réponse finale est normalisée si les secondes et les minutes sont inférieures à 60.
• Attention : 1,5 h n’est pas 1 h 5 min, mais 1 h 30 min.
• Les durées se calculent en base 60, pas en base 100.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les conversions et calculs de durées en 6e.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau de conversions entre heures, minutes et secondes ; répondre à des affirmations par vrai ou faux en justifiant ; recomposer une durée en heures, minutes et secondes ; choisir le bon calcul dans un problème concret ; effectuer des additions et des soustractions de durées.

Exercice 1 : compléter le tableau de conversions. Par exemple : 3 h = ... min ; 150 min = ... h ... min ; 2 min 20 s = ... s. Barème : 4 points pour les conversions directes et les conversions avec regroupement.

Exercice 2 : vrai ou faux ? Par exemple : 1 h 30 min = 90 min ; 1,25 h = 1 h 25 min ; 80 s = 1 min 20 s. Barème : 4 points pour les réponses justifiées et la correction des erreurs.

Exercice 3 : recomposer une durée. Par exemple, transformer 245 min en heures et minutes. Barème : 4 points pour une recomposition correcte en base 60.

Exercice 4 : choisir le bon calcul dans une situation de trajet, de séance de cinéma ou d’entraînement. Barème : 4 points pour le choix du calcul et la résolution.

Exercice 5 : calculer des durées : additions et soustractions avec ou sans emprunt. Barème : 4 points pour des calculs correctement posés et des résultats normalisés.

12. Questions fréquentes