Placer une fraction sur une droite graduée

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une course d’orientation, le départ est placé au point 0 et l’arrivée au point 3 sur une demi-droite graduée. Entre deux nombres entiers consécutifs, la distance est toujours la même : c’est une unité. Un élève doit placer les balises situées aux positions 3/4, 5/4, 9/4 et 13/5. Il sait que ces écritures sont des fractions, mais il hésite : faut-il placer 5/4 avant 1 parce que « c’est une fraction » ? Faut-il partager toute la droite en 4 parts ou chaque unité ? Comment savoir si 13/5 est entre 2 et 3 ou entre 1 et 2 ?

En classe de 6e, l’objectif est d’apprendre à utiliser une fraction comme un nombre. Une fraction peut désigner une partie de l’unité, mais aussi un nombre situé sur une droite graduée. Par exemple, 3/4 signifie que l’unité est partagée en 4 parts égales et que l’on avance de 3 parts depuis 0. Le mot repère trois-quarts se découpe en deux idées : « trois » indique le nombre de parts prises, et « quarts » indique que l’unité est partagée en 4 parts égales.

Placer une fraction sur une droite graduée demande donc trois compétences : comprendre le rôle du numérateur et du dénominateur, repérer le partage correct de l’unité, puis encadrer la fraction entre deux entiers consécutifs lorsque la fraction est supérieure à 1. Cette leçon explique une méthode simple : je repère, j’applique, je vérifie.

2. Définition

Définition : Une fraction s’écrit sous la forme a/b, avec b différent de 0. Le nombre b, appelé dénominateur, indique en combien de parts égales on partage une unité. Le nombre a, appelé numérateur, indique combien de parts on prend ou combien de parts on avance sur la droite graduée.

Sur une droite graduée, l’unité est la distance entre deux entiers consécutifs, par exemple entre 0 et 1, entre 1 et 2 ou entre 2 et 3. Pour placer une fraction comme 5/6, on partage chaque unité en 6 parts égales, puis on avance de 5 parts à partir de 0. Le point 5/6 est donc situé entre 0 et 1, juste avant 1.

Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 : 4/4 = 1, 6/6 = 1. Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est comprise entre 0 et 1 : par exemple 3/4 est entre 0 et 1. Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1 : par exemple 5/4 est plus grand que 1, car 4/4 = 1 et 5/4 = 1 + 1/4.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. Par exemple, 7/10, 35/100 et 125/1000 sont des fractions décimales. Elles se placent aussi sur une droite graduée : 7/10 signifie que l’unité est partagée en 10 parts égales et que l’on avance de 7 parts.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour encadrer une fraction a/b entre deux entiers consécutifs, on cherche deux multiples consécutifs de b qui entourent a. Si n × b < a < (n + 1) × b, alors n < a/b < n + 1.

Ce résultat permet de savoir dans quel intervalle placer une fraction. Par exemple, pour encadrer 13/5, on cherche les multiples de 5 autour de 13 : 10 = 2 × 5 et 15 = 3 × 5. Comme 10 < 13 < 15, on obtient 2 < 13/5 < 3. La fraction 13/5 se place donc entre 2 et 3.

On utilise aussi la décomposition d’une fraction pour la placer plus facilement. Si le numérateur dépasse le dénominateur, on peut écrire la fraction comme une somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. Par exemple, 9/4 = 8/4 + 1/4 = 2 + 1/4. On place donc le point 9/4 un quart d’unité après 2.

Autres propriétés utiles en 6e :

• Deux fractions égales se placent au même endroit sur la droite graduée. Par exemple 1/2 et 2/4 désignent le même point.
• Une unité doit toujours être partagée en parts égales. Si les parts ne sont pas égales, la graduation n’est pas correcte.
• Le dénominateur ne donne pas le nombre total de traits de toute la droite, mais le nombre de parts dans une seule unité.
• Pour lire une fraction sur une droite, on observe d’abord le partage d’une unité, puis on compte les intervalles depuis 0 ou depuis un entier connu.

4. Démonstration

Expliquons pourquoi la méthode d’encadrement fonctionne. Prenons une fraction a/b, avec b non nul. Dire que n < a/b < n + 1 signifie que la fraction est située entre l’entier n et l’entier suivant n + 1 sur la droite graduée. Comme une unité est partagée en b parts égales, l’entier n correspond à n unités complètes, c’est-à-dire n × b parts de taille 1/b.

De même, l’entier n + 1 correspond à n + 1 unités complètes, donc à (n + 1) × b parts de taille 1/b. Si le numérateur a est compris entre n × b et (n + 1) × b, alors le nombre de parts a est supérieur au nombre de parts nécessaires pour atteindre n, mais inférieur au nombre de parts nécessaires pour atteindre n + 1. Le point représentant a/b se trouve donc entre n et n + 1.

Par exemple, pour 14/3, chaque unité est partagée en 3 parts égales. L’entier 4 correspond à 4 × 3 = 12 parts. L’entier 5 correspond à 5 × 3 = 15 parts. Comme 14 parts se situent entre 12 parts et 15 parts, on a 4 < 14/3 < 5. Sur la droite graduée, on place 14/3 entre 4 et 5, plus précisément deux tiers après 4, car 14/3 = 12/3 + 2/3 = 4 + 2/3.

Cette démonstration montre que les fractions ne sont pas seulement des « morceaux » inférieurs à 1. Elles sont des nombres qui peuvent se placer partout sur une droite graduée, comme les entiers, les nombres décimaux et les autres nombres étudiés au collège.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je regarde le dénominateur de la fraction. Il indique en combien de parts égales il faut partager chaque unité. Pour 7/4, chaque unité est partagée en 4 parts égales.
2. Je repère aussi l’encadrement. Je compare le numérateur et le dénominateur. Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est entre 0 et 1. S’il est plus grand, je cherche entre quels entiers elle se trouve.
3. J’applique. Je compte les parts égales. Pour 7/4, je peux compter 7 quarts depuis 0 : 1/4, 2/4, 3/4, 4/4 = 1, 5/4, 6/4, 7/4.
4. J’applique avec une décomposition si nécessaire. Pour aller plus vite, j’écris 7/4 = 4/4 + 3/4 = 1 + 3/4. Je pars donc de 1, puis j’avance de 3 quarts.
5. Je vérifie. Je contrôle que chaque unité, par exemple de 0 à 1 puis de 1 à 2, est partagée de la même façon. Le dénominateur correspond bien au nombre de parts dans une unité.
6. Je vérifie l’ordre. Si j’ai placé 7/4, le point doit être entre 1 et 2, car 4/4 = 1 et 8/4 = 2. Il ne peut pas être avant 1.

La routine à retenir est donc : 👀 Je repère le partage de l’unité ; ✏️ J’applique en comptant les parts ou en décomposant ; ✅ Je vérifie l’encadrement et le bon rang du point.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Placer la fraction 3/4 sur une demi-droite graduée.

Étape 1 : lire la fraction. Dans 3/4, le dénominateur est 4. Cela signifie que l’unité doit être partagée en 4 parts égales. Le numérateur est 3 : on doit avancer de 3 parts.

Étape 2 : préparer la droite. On trace une demi-droite graduée avec 0 et 1. On partage le segment de 0 à 1 en 4 intervalles de même longueur. Les graduations correspondent alors à 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4.

Étape 3 : placer le point. À partir de 0, on compte trois intervalles : premier intervalle 1/4, deuxième intervalle 2/4, troisième intervalle 3/4. On place le point sur la troisième graduation après 0.

Vérification : 3 est plus petit que 4, donc 3/4 est inférieur à 1. Le point doit bien se trouver entre 0 et 1. Comme il reste encore un quart pour atteindre 1, le point 3/4 est placé juste avant 1, mais pas sur 1.

Cet exemple est un cas direct : la fraction est inférieure à 1 et se place dans la première unité. Il faut surtout faire attention à compter les intervalles, c’est-à-dire les espaces entre les traits, et non les traits eux-mêmes.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : On veut placer 9/4 sur une droite graduée. Entre quels entiers consécutifs se trouve cette fraction ?

Étape 1 : comparer. Le numérateur 9 est plus grand que le dénominateur 4. La fraction 9/4 est donc supérieure à 1. Elle ne peut pas être placée entre 0 et 1.

Étape 2 : chercher les multiples de 4. Les multiples de 4 qui entourent 9 sont 8 et 12. On a 8 = 2 × 4 et 12 = 3 × 4. Donc 8/4 = 2 et 12/4 = 3.

Étape 3 : encadrer. Comme 8 < 9 < 12, on obtient 2 < 9/4 < 3. La fraction se trouve entre 2 et 3.

Étape 4 : décomposer. On écrit 9/4 = 8/4 + 1/4 = 2 + 1/4. Cela signifie que l’on part de 2, puis que l’on avance d’un quart d’unité.

Placement : Sur la droite, on partage l’unité de 2 à 3 en 4 parts égales. On place 9/4 sur la première graduation après 2.

Vérification : Le point est bien après 2 et avant 3. Il n’est pas au milieu, car 2 + 1/2 correspondrait à 10/4, et il n’est pas juste avant 3, car cela correspondrait à 11/4. Ici, 9/4 est exactement un quart après 2.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Une piste rectiligne est graduée en kilomètres. Un cycliste part du point 0. Une borne de ravitaillement est située à 13/5 km. Entre quels kilomètres entiers se trouve-t-elle ? Comment la placer sur une droite graduée ?

Étape 1 : comprendre l’unité. L’unité est ici le kilomètre. Chaque intervalle entre deux entiers consécutifs représente 1 km : de 0 à 1, de 1 à 2, de 2 à 3, etc.

Étape 2 : utiliser le dénominateur. Dans 13/5, le dénominateur est 5. Chaque kilomètre doit donc être partagé en 5 parts égales. Chaque part représente 1/5 km.

Étape 3 : encadrer la fraction. On cherche les multiples de 5 autour de 13. On trouve 10 = 2 × 5 et 15 = 3 × 5. Donc 10/5 = 2 et 15/5 = 3. Comme 10 < 13 < 15, on a 2 < 13/5 < 3.

Étape 4 : décomposer. 13/5 = 10/5 + 3/5 = 2 + 3/5. La borne se trouve donc 3 cinquièmes de kilomètre après le kilomètre 2.

Étape 5 : placer. On partage l’intervalle entre 2 et 3 en 5 parts égales. À partir de 2, on compte trois intervalles : 2 + 1/5, 2 + 2/5, 2 + 3/5. On place la borne sur la troisième graduation après 2.

Réponse : La borne de ravitaillement est située entre 2 km et 3 km, précisément à 2 + 3/5 km. Cet exemple montre l’utilité de l’encadrement dans une situation concrète : il permet de savoir dans quelle portion de la droite regarder avant de placer le point avec précision.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Placer 5/4 avant 1 parce que c’est une fraction. — À faire : Comparer le numérateur et le dénominateur : comme 5 > 4, la fraction dépasse 1. On écrit 5/4 = 1 + 1/4.
• Erreur : Partager toute la droite en 4 parts pour placer une fraction de dénominateur 4. — À faire : Partager chaque unité en 4 parts égales : de 0 à 1, de 1 à 2, de 2 à 3, etc.
• Erreur : Compter les traits au lieu des intervalles. — À faire : Compter les espaces entre les graduations. Une part correspond à un intervalle, pas à une marque.
• Erreur : Oublier l’entier de départ pour une fraction supérieure à 1. — À faire : Décomposer la fraction. Par exemple 9/4 = 2 + 1/4, donc on part de 2 puis on avance d’un quart.
• Erreur : Encadrer 13/5 entre 1 et 2 en ne regardant que le chiffre 1 du numérateur 13. — À faire : Chercher les multiples du dénominateur : 10/5 = 2 et 15/5 = 3, donc 13/5 est entre 2 et 3.
• Erreur : Placer 4/3 au même endroit que 4/4. — À faire : Lire le dénominateur : 4/4 = 1, tandis que 4/3 = 1 + 1/3, donc le point est après 1.

10. À retenir

• Une fraction a/b est un nombre que l’on peut placer sur une droite graduée.
• Le dénominateur b indique en combien de parts égales on partage chaque unité.
• Le numérateur a indique combien de parts on prend ou combien de parts on avance.
• Pour placer 3/4, on partage l’unité en 4 parts égales et on avance de 3 parts depuis 0.
• Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est entre 0 et 1.
• Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 : par exemple 4/4 = 1.
• Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1.
• Pour encadrer a/b, on cherche les multiples de b qui entourent a.
• Si n × b < a < (n + 1) × b, alors n < a/b < n + 1.
• Une fraction supérieure à 1 se place souvent plus facilement en la décomposant : 13/5 = 2 + 3/5.
• Il faut compter les intervalles entre les graduations, pas seulement les traits.
• La routine efficace est : je repère, j’applique, je vérifie.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Placer une fraction sur une droite graduée — 6e » avec énoncés, droites graduées à compléter et corrigé détaillé.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Lire des points sur une droite graduée : l’élève observe une droite déjà partagée et doit écrire la fraction correspondant à chaque point marqué.
• Vrai ou faux ? l’élève justifie des affirmations comme « 5/4 est entre 0 et 1 » ou « 12/5 est entre 2 et 3 ».
• Décomposer pour encadrer : l’élève transforme des fractions supérieures à 1, par exemple 17/6 = 2 + 5/6, puis donne l’encadrement entre deux entiers consécutifs.
• Placer les fractions : l’élève place des nombres comme 3/5, 7/5, 11/4, 14/3 ou 23/10 sur des droites graduées adaptées.
• Choisir la bonne graduation : l’élève doit reconnaître si une droite est correctement partagée pour placer une fraction donnée.

Barème possible sur 20 points : lire une fraction sur une droite graduée, 4 points ; reconnaître le partage correct de l’unité, 4 points ; placer précisément une fraction, 5 points ; décomposer une fraction supérieure à 1, 4 points ; encadrer entre deux entiers consécutifs, 3 points. Les exercices permettent de travailler les attendus de 6e : utiliser les fractions simples, comprendre le partage de l’unité et repérer des nombres sur une demi-droite graduée.

12. Questions fréquentes