Lecture et écriture des nombres décimaux

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au CDI, un élève lit sur une étiquette le prix d’un livre : 12,345 €. Il dit : « douze virgule trois cent quarante-cinq euros ». Un autre répond : « ce n’est pas exactement cela : 12 est la partie entière, et 345 indique des millièmes ». Qui a raison ? Comment lire correctement ce nombre ? Comment savoir ce que vaut chaque chiffre ?

En classe de 6e, la lecture et l’écriture des nombres décimaux sont essentielles pour comprendre les mesures, les prix, les longueurs, les masses et les aires. Un nombre décimal est souvent écrit avec une virgule : par exemple 4,7 ; 18,54 ; 0,006 ; 125,30. La virgule décimale sépare deux parties : la partie entière, située à gauche, et la partie décimale, située à droite. Mais les chiffres après la virgule ne se lisent pas comme un simple nombre entier indépendant : chaque chiffre a un rang précis.

L’objectif de cette leçon est de savoir lire, écrire et décomposer un nombre décimal selon les rangs : unités, dixièmes, centièmes, millièmes. On apprendra à repérer la partie entière et la partie décimale, à utiliser un tableau de numération, à éviter les confusions fréquentes comme 4,09 et 4,9, et à écrire un nombre à partir d’une phrase.

2. Définition

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. La partie située avant la virgule s’appelle la partie entière. La partie située après la virgule s’appelle la partie décimale. Par exemple, dans 12,345, la partie entière est 12 et la partie décimale est 345.

La virgule décimale sert à indiquer le passage des unités aux parts plus petites que l’unité. Le premier chiffre après la virgule est le chiffre des dixièmes, le deuxième est le chiffre des centièmes, le troisième est le chiffre des millièmes.

On peut retenir l’ordre suivant :

• à gauche de la virgule : unités, dizaines, centaines, milliers ;
• à droite de la virgule : dixièmes, centièmes, millièmes.

Exemple : dans le nombre 12,345, le chiffre 1 est au rang des dizaines, le chiffre 2 au rang des unités, le chiffre 3 au rang des dixièmes, le chiffre 4 au rang des centièmes et le chiffre 5 au rang des millièmes.

Ce nombre se lit : « douze unités et trois cent quarante-cinq millièmes ». On peut aussi entendre dans la vie courante « douze virgule trois quatre cinq », mais en mathématiques il faut savoir donner le sens de chaque chiffre.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans l’écriture décimale d’un nombre, la valeur d’un chiffre dépend de son rang. Chaque rang situé à droite de la virgule vaut dix fois moins que le rang précédent : un dixième vaut 0,1 ; un centième vaut 0,01 ; un millième vaut 0,001.

Cette propriété est fondamentale : un même chiffre n’a pas la même valeur selon sa place. Dans 4,9, le chiffre 9 est au rang des dixièmes : il vaut 0,9. Dans 4,09, le chiffre 9 est au rang des centièmes : il vaut 0,09. Dans 4,009, le chiffre 9 est au rang des millièmes : il vaut 0,009.

On peut donc décomposer un nombre décimal en additionnant la valeur de chacun de ses chiffres. Par exemple :

12,345 = 12 + 0,3 + 0,04 + 0,005.

On peut aussi écrire cette décomposition avec des fractions décimales :

12,345 = 12 + 3 ÷ 10 + 4 ÷ 100 + 5 ÷ 1 000.

Ou encore :

12,345 = 12 + 3/10 + 4/100 + 5/1 000.

Les zéros jouent parfois un rôle important. Dans 7,006, les deux zéros après la virgule montrent que le 6 est au rang des millièmes. Si on écrit 7,6, le 6 est au rang des dixièmes : ce n’est pas le même nombre. En revanche, les zéros placés à la fin de la partie décimale ne changent pas la valeur : 4,70 = 4,7 et 12,300 = 12,3.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi chaque chiffre change de valeur selon son rang, on peut partir de l’unité. Une unité peut être partagée en 10 parts égales : chaque part est un dixième, noté 0,1 ou 1/10. Si on partage une unité en 100 parts égales, chaque part est un centième, noté 0,01 ou 1/100. Si on partage une unité en 1 000 parts égales, chaque part est un millième, noté 0,001 ou 1/1 000.

Regardons le nombre 12,345. La partie entière 12 signifie qu’il y a 12 unités. Après la virgule, le chiffre 3 est juste après les unités : il indique donc 3 dixièmes. Le chiffre 4 vient ensuite : il indique 4 centièmes. Le chiffre 5 vient encore après : il indique 5 millièmes.

On obtient donc :

12,345 = 12 unités + 3 dixièmes + 4 centièmes + 5 millièmes.

En écriture décimale :

12,345 = 12 + 0,3 + 0,04 + 0,005.

Cette décomposition montre que les chiffres de la partie décimale ne forment pas un nombre entier indépendant. Dans 12,345, le 345 ne signifie pas 345 unités, mais 345 millièmes. En effet, 3 dixièmes + 4 centièmes + 5 millièmes = 300 millièmes + 40 millièmes + 5 millièmes = 345 millièmes. Ainsi, 12,345 peut se lire : « douze unités et trois cent quarante-cinq millièmes ».

Cette explication justifie aussi l’importance des zéros. Dans 14,08, le 0 indique qu’il n’y a aucun dixième. Le 8 est donc au rang des centièmes. Le nombre se lit « quatorze unités et huit centièmes », et non « quatorze virgule huit » si l’on veut être précis sur les rangs.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la virgule. Elle sépare la partie entière et la partie décimale. Dans 18,54, la virgule est entre 18 et 54.
2. Je nomme la partie entière. La partie entière est ce qui se trouve avant la virgule. Dans 18,54, la partie entière est 18.
3. Je nomme la partie décimale. La partie décimale est ce qui se trouve après la virgule. Dans 18,54, la partie décimale est 54.
4. Je donne un rang à chaque chiffre. Après la virgule, on lit dans l’ordre : dixièmes, centièmes, millièmes. Dans 18,54, le 5 est au rang des dixièmes et le 4 au rang des centièmes.
5. Je décompose le nombre. Par exemple : 18,54 = 18 + 0,5 + 0,04.
6. Je lis le nombre avec précision. 18,54 se lit « dix-huit unités et cinquante-quatre centièmes ».
7. Je vérifie les zéros. Dans 18,054, le 5 n’est plus au rang des dixièmes, mais au rang des centièmes, et le 4 est au rang des millièmes.

Routine utile : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère la virgule, j’applique les rangs dans un tableau de numération, puis je vérifie que chaque chiffre est dans la bonne colonne. Cette routine évite la plupart des erreurs de lecture des nombres décimaux en 6e.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Lire, décomposer et indiquer les rangs des chiffres du nombre 36,827.

Étape 1 : repérer la virgule. Dans 36,827, la partie entière est 36 et la partie décimale est 827.

Étape 2 : donner les rangs. Le chiffre 3 est au rang des dizaines. Le chiffre 6 est au rang des unités. Le chiffre 8 est au rang des dixièmes. Le chiffre 2 est au rang des centièmes. Le chiffre 7 est au rang des millièmes.

Étape 3 : décomposer.

36,827 = 36 + 0,8 + 0,02 + 0,007.

On peut aussi écrire :

36,827 = 36 + 8/10 + 2/100 + 7/1 000.

Étape 4 : lire le nombre. La partie décimale 827 correspond à 827 millièmes. Le nombre se lit donc : « trente-six unités et huit cent vingt-sept millièmes ».

Conclusion : La lecture correcte dépend du dernier rang utilisé. Comme le dernier chiffre est au rang des millièmes, on lit la partie décimale en millièmes.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Écrire en chiffres le nombre : « quatre unités et neuf millièmes ».

Étape 1 : écrire la partie entière. La phrase indique « quatre unités ». La partie entière est donc 4.

Étape 2 : comprendre la partie décimale. « Neuf millièmes » signifie 9/1 000, c’est-à-dire 0,009. Le chiffre 9 doit être placé au troisième rang après la virgule.

Étape 3 : placer les zéros nécessaires. Après la virgule, le premier rang est celui des dixièmes, le deuxième est celui des centièmes, le troisième est celui des millièmes. Comme il n’y a pas de dixième ni de centième, on écrit deux zéros avant le 9.

Réponse : quatre unités et neuf millièmes s’écrit 4,009.

Erreur fréquente : écrire 4,9. Dans 4,9, le 9 est au rang des dixièmes, donc il vaut 0,9. Or 9 millièmes valent 0,009. Ces deux nombres sont très différents.

On peut vérifier avec une décomposition :

4,009 = 4 + 0,009.

Alors que :

4,9 = 4 + 0,9.

Le tableau de numération est un outil très efficace pour éviter cette confusion entre dixièmes, centièmes et millièmes.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Lors d’une séance de sciences, un élève mesure la masse d’un petit objet. La balance affiche 7,306 kg. Lire ce nombre, indiquer la valeur du chiffre 3 et expliquer pourquoi 7,306 n’est pas égal à 7,36.

Étape 1 : repérer les parties. Dans 7,306, la partie entière est 7. La partie décimale est 306.

Étape 2 : identifier les rangs. Le chiffre 3 est au rang des dixièmes. Le chiffre 0 est au rang des centièmes. Le chiffre 6 est au rang des millièmes.

Étape 3 : donner la valeur du chiffre 3. Comme 3 est au rang des dixièmes, il vaut 0,3 kg, c’est-à-dire 3 dixièmes de kilogramme.

Étape 4 : lire le nombre. Le dernier chiffre est au rang des millièmes, donc 7,306 se lit : « sept unités et trois cent six millièmes ».

Étape 5 : comparer avec 7,36. Dans 7,36, le chiffre 6 est au rang des centièmes. Dans 7,306, le chiffre 6 est au rang des millièmes. On peut écrire :

7,306 = 7 + 0,3 + 0,006.

7,36 = 7 + 0,3 + 0,06.

Comme 0,006 est plus petit que 0,06, les deux nombres ne sont pas égaux. Le zéro au rang des centièmes dans 7,306 est donc utile : il permet de placer correctement le chiffre 6.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Lire 14,08 comme « quatorze virgule huit » en pensant que le 8 est au rang des dixièmes. — À faire : Placer 14,08 dans un tableau de numération : le 0 est au rang des dixièmes et le 8 au rang des centièmes. On lit « quatorze unités et huit centièmes ».
• Erreur : Écrire 4,9 au lieu de 4,009 pour « quatre unités et neuf millièmes ». — À faire : Rappeler que les millièmes sont au troisième rang après la virgule : dixièmes, centièmes, millièmes.
• Erreur : Supprimer tous les zéros après la virgule. — À faire : Distinguer les zéros inutiles à la fin et les zéros utiles au milieu. Par exemple, 4,70 = 4,7, mais 7,306 ≠ 7,36.
• Erreur : Inverser centièmes et millièmes. — À faire : Répéter l’ordre des rangs après la virgule : dixièmes, centièmes, millièmes, puis l’utiliser dans un tableau.
• Erreur : Croire que la partie décimale est un nombre entier indépendant. — À faire : Utiliser les fractions décimales : dans 0,37, la partie décimale représente 37 centièmes, et non 37 unités.

10. À retenir

• Un nombre décimal peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule.
• La partie entière est située avant la virgule ; la partie décimale est située après la virgule.
• Après la virgule, les rangs sont : dixièmes, centièmes, millièmes.
• La valeur d’un chiffre dépend de son rang. Dans 4,09, le 9 vaut 0,09 ; dans 4,9, le 9 vaut 0,9.
• Un nombre décimal peut se décomposer. Exemple : 12,345 = 12 + 0,3 + 0,04 + 0,005.
• Les zéros placés au milieu de la partie décimale peuvent être indispensables pour placer les chiffres au bon rang.
• Les zéros placés à la fin de la partie décimale ne changent pas la valeur du nombre : 8,50 = 8,5.
• Pour lire un nombre décimal précisément, on peut utiliser le dernier rang de la partie décimale : 18,54 se lit « dix-huit unités et cinquante-quatre centièmes ».
• La méthode efficace est : je repère la virgule, j’applique les rangs, je vérifie la valeur de chaque chiffre.

11. Exercices d'application

Un fichier PDF d’exercices peut accompagner cette leçon : il doit permettre de s’entraîner progressivement à la lecture des nombres décimaux 6e, à l’écriture en chiffres, à la décomposition et à l’identification des rangs. Les exercices proposés peuvent être organisés ainsi : repérer les parties du nombre, lire les nombres décimaux, recomposer un nombre décimal, écrire en chiffres, identifier le rang d’un chiffre.

Aperçu des types d’exercices :

• Repérer les parties du nombre : dans 25,608, entourer la partie entière et souligner la partie décimale.
• Lire les nombres décimaux : écrire en toutes lettres 3,75 ; 14,08 ; 0,009 ; 126,304.
• Recomposer un nombre décimal : transformer 8 + 0,4 + 0,03 + 0,006 en écriture décimale.
• Écrire en chiffres : écrire « douze unités et cinq centièmes » ou « neuf unités et sept millièmes ».
• Identifier le rang d’un chiffre : dans 42,371, donner le rang et la valeur du chiffre 7.

Barème possible sur 20 points : repérage de la partie entière et de la partie décimale, 4 points ; lecture correcte des nombres décimaux, 4 points ; recomposition à partir d’une décomposition, 4 points ; écriture en chiffres à partir d’une phrase, 4 points ; identification du rang et de la valeur des chiffres, 4 points.

12. Questions fréquentes