Les longueurs : conversions et unités

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, la classe de 6e prépare un parcours sportif dans la cour. Un groupe mesure une ligne droite de 18 m, un autre annonce 250 cm pour une zone de départ, et un troisième note 4 dam pour la distance totale entre deux repères. Pour calculer la longueur du parcours ou son périmètre, peut-on additionner directement 18 m, 250 cm et 4 dam ? Non, car ces longueurs ne sont pas exprimées dans la même unité. Il faut d’abord les convertir dans une unité commune.

Dans la vie quotidienne, les longueurs sont partout : la taille d’un élève en mètres et centimètres, la longueur d’un cahier en centimètres, l’épaisseur d’un livre en millimètres, la distance entre deux villes en kilomètres. En mathématiques, savoir convertir entre mm, cm, dm, m, dam, hm et km est indispensable pour comparer, calculer, résoudre des problèmes et vérifier si un résultat est vraisemblable.

L’objectif de cette leçon est d’apprendre à convertir entre les unités de longueur, à utiliser correctement le tableau de conversion et à appliquer ces conversions dans des situations simples, notamment pour calculer un périmètre. La méthode travaillée est : Je repère / J’applique / Je vérifie.

2. Définition

Définition : Une longueur est une mesure de distance entre deux points, ou une mesure de taille, de largeur, de hauteur, d’épaisseur ou de périmètre. Dans le système métrique, l’unité de référence des longueurs est le mètre, noté m. On utilise aussi des unités plus grandes que le mètre, comme le kilomètre, et des unités plus petites, comme le centimètre ou le millimètre.

Les unités de longueur utilisées au collège, de la plus grande à la plus petite, sont :

km, hm, dam, m, dm, cm, mm

On lit : kilomètre, hectomètre, décamètre, mètre, décimètre, centimètre, millimètre. Le mot repère est mètre, que l’on peut découper ainsi : mè-tre. C’est l’unité repère. Par exemple, 3 m = 300 cm, car dans le tableau on se déplace de deux colonnes vers la droite, de m vers dm puis de dm vers cm ; on multiplie donc par 100.

Quelques égalités fondamentales doivent être connues :

• 1 km = 1000 m : un kilomètre contient mille mètres.
• 1 m = 100 cm : un mètre contient cent centimètres.
• 1 cm = 10 mm : un centimètre contient dix millimètres.
• 1 m = 10 dm et 1 dm = 10 cm.

Le tableau de conversion s’écrit toujours dans l’ordre : km hm dam m dm cm mm. Cet ordre est essentiel pour ne pas se tromper.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans le tableau des unités de longueur, lorsque l’on se déplace d’une colonne vers la droite, on passe à une unité 10 fois plus petite : le nombre qui mesure la longueur est multiplié par 10. Lorsque l’on se déplace d’une colonne vers la gauche, on passe à une unité 10 fois plus grande : le nombre qui mesure la longueur est divisé par 10.

Cette propriété permet d’effectuer toutes les conversions de longueur. Si l’on se déplace de deux colonnes vers la droite, on multiplie par 100. Si l’on se déplace de trois colonnes vers la droite, on multiplie par 1000. Dans l’autre sens, deux colonnes vers la gauche correspondent à une division par 100, et trois colonnes vers la gauche à une division par 1000.

Exemples :

• De m vers cm : on va deux colonnes vers la droite, donc 1 m = 100 cm.
• De km vers m : on va trois colonnes vers la droite, donc 1 km = 1000 m.
• De mm vers m : on va trois colonnes vers la gauche, donc 1000 mm = 1 m.
• De cm vers m : on va deux colonnes vers la gauche, donc 100 cm = 1 m.

Une règle importante du programme de 6e est la suivante : pour additionner ou soustraire des longueurs, il faut qu’elles soient exprimées dans la même unité. On ne calcule pas directement 2 m + 30 cm. On convertit d’abord, par exemple en centimètres : 2 m = 200 cm, donc 2 m + 30 cm = 230 cm.

4. Démonstration

Pourquoi le tableau fonctionne-t-il ? Le système métrique est construit sur des groupements par 10. Chaque unité voisine est 10 fois plus grande ou 10 fois plus petite que celle qui la suit. Cela signifie que :

• 1 km = 10 hm ;
• 1 hm = 10 dam ;
• 1 dam = 10 m ;
• 1 m = 10 dm ;
• 1 dm = 10 cm ;
• 1 cm = 10 mm.

Regardons la conversion de 1 m en centimètres. On sait que 1 m = 10 dm. On sait aussi que 1 dm = 10 cm. Donc 10 dm = 10 × 10 cm = 100 cm. Ainsi, 1 m = 100 cm.

Regardons maintenant 1 km en mètres. On sait que 1 km = 10 hm, que 1 hm = 10 dam, et que 1 dam = 10 m. Donc 1 km = 10 × 10 × 10 m = 1000 m. C’est pourquoi on retient 1 km = 1000 m.

Enfin, si l’on convertit dans l’autre sens, par exemple 1000 mm en mètres, on utilise le raisonnement inverse. Comme 1 m = 1000 mm, alors 1000 mm = 1 m. Le nombre diminue parce que le mètre est une unité plus grande que le millimètre.

Le tableau de conversion n’est donc pas une astuce magique : il représente simplement cette organisation par puissances de 10. Il aide à placer les chiffres, à gérer la virgule et à éviter les oublis de zéros.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère l’unité de départ. Je lis l’unité donnée dans l’énoncé : km, hm, dam, m, dm, cm ou mm. Par exemple, dans 4,7 m, l’unité de départ est le mètre.
2. Je repère l’unité d’arrivée. Je cherche dans quelle unité il faut écrire la réponse. Par exemple, convertir 4,7 m en cm signifie que l’unité d’arrivée est le centimètre.
3. Je connais l’ordre des unités. J’écris ou je visualise le tableau : km hm dam m dm cm mm. Je ne change jamais cet ordre.
4. Je place le nombre correctement. Le chiffre des unités du nombre doit être placé dans la colonne de l’unité de départ. Pour 4,7 m, le chiffre 4 est dans la colonne m.
5. Je me déplace vers l’unité demandée. De m vers cm, je vais deux colonnes vers la droite. Le nombre est donc multiplié par 100.
6. J’écris le résultat. 4,7 m = 470 cm.
7. Je vérifie le sens. Le centimètre est plus petit que le mètre : il faut donc un nombre plus grand. Comme 470 est plus grand que 4,7, le résultat est logique.

La routine à mémoriser est : 🔎 Je repère l’unité de départ et l’unité d’arrivée ; ➡️ J’applique le déplacement dans le tableau ; ✅ Je vérifie si le résultat est logique.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Convertir 6 m en centimètres.

Étape 1 : repérer les unités. L’unité de départ est le mètre, noté m. L’unité d’arrivée est le centimètre, noté cm.

Étape 2 : utiliser l’ordre du tableau. On écrit mentalement : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. De m à cm, on passe par dm puis cm. On se déplace donc de deux colonnes vers la droite.

Étape 3 : appliquer la conversion. Une colonne vers la droite signifie ×10. Deux colonnes vers la droite signifient ×100. Donc :

6 m = 6 × 100 cm = 600 cm.

Étape 4 : vérifier. Le centimètre est plus petit que le mètre, donc le nombre doit augmenter. Le résultat 600 cm est bien plus grand que 6, ce qui est logique. On peut aussi vérifier avec l’égalité connue : 1 m = 100 cm, donc 6 m = 600 cm.

Réponse : 6 m = 600 cm.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Convertir 4500 mm en mètres.

Étape 1 : repérer les unités. L’unité de départ est le millimètre, noté mm. L’unité d’arrivée est le mètre, noté m.

Étape 2 : utiliser l’ordre du tableau. L’ordre est : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Pour aller de mm vers m, on remonte de mm vers cm, puis dm, puis m. On se déplace donc de trois colonnes vers la gauche.

Étape 3 : appliquer la conversion. Une colonne vers la gauche signifie ÷10. Trois colonnes vers la gauche signifient ÷1000. Donc :

4500 mm = 4500 ÷ 1000 m = 4,5 m.

Étape 4 : vérifier. Le mètre est plus grand que le millimètre. Il faut donc un nombre plus petit. Le nombre 4,5 est bien plus petit que 4500. Le résultat est vraisemblable.

Réponse : 4500 mm = 4,5 m.

Attention : on n’écrit pas 4500 mm = 450 m. Ce serait beaucoup trop grand. Une longueur de 4500 mm correspond à 4 mètres et demi, c’est-à-dire à peu près la longueur d’une petite voiture.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : On veut poser une bordure autour d’un petit terrain rectangulaire. Sa longueur mesure 12 m et sa largeur mesure 850 cm. Quel est son périmètre en mètres ?

Étape 1 : comprendre le problème. Le périmètre d’un rectangle est la longueur totale de son contour. On additionne les quatre côtés. Pour un rectangle, on peut calculer :

Périmètre = longueur + largeur + longueur + largeur, ou P = 2 × longueur + 2 × largeur.

Étape 2 : repérer les unités. La longueur est donnée en mètres : 12 m. La largeur est donnée en centimètres : 850 cm. On ne doit pas additionner directement des mètres et des centimètres. L’énoncé demande une réponse en mètres, donc on convertit la largeur en mètres.

Étape 3 : convertir. De cm vers m, on se déplace de deux colonnes vers la gauche : cm → dm → m. On divise par 100.

850 cm = 850 ÷ 100 m = 8,5 m.

Étape 4 : calculer le périmètre.

P = 2 × 12 m + 2 × 8,5 m

P = 24 m + 17 m = 41 m.

Étape 5 : vérifier. Le terrain mesure 12 m de long et 8,5 m de large. Un périmètre de 41 m est cohérent : le contour est plus grand que chaque côté, mais il reste raisonnable pour un petit terrain.

Réponse : Il faut 41 m de bordure.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Écrire 1 m = 10 cm. — À faire : Reprendre le tableau : de m vers cm, il y a deux colonnes, donc 1 m = 100 cm.
• Erreur : Déplacer la virgule dans le mauvais sens. — À faire : Dire à voix haute : vers une unité plus petite, le nombre augmente ; vers une unité plus grande, le nombre diminue.
• Erreur : Oublier des zéros dans une conversion. — À faire : Placer correctement le chiffre des unités dans la colonne de l’unité de départ avant de compléter les colonnes.
• Erreur : Additionner des longueurs d’unités différentes, par exemple 2 m + 35 cm = 37. — À faire : Choisir une unité commune : 2 m = 200 cm, donc 2 m + 35 cm = 235 cm.
• Erreur : Donner un résultat invraisemblable, comme dire qu’une porte mesure 200 cm = 200 m. — À faire : Comparer à une longueur connue : une règle mesure environ 30 cm, une porte environ 2 m, un kilomètre correspond à une longue distance de marche.

10. À retenir

• L’unité de référence des longueurs est le mètre, noté m.
• L’ordre des unités est : km, hm, dam, m, dm, cm, mm.
• Vers la droite dans le tableau, on va vers des unités plus petites : le nombre augmente.
• Vers la gauche dans le tableau, on va vers des unités plus grandes : le nombre diminue.
• Une colonne correspond à un facteur 10 : on multiplie par 10 vers la droite et on divise par 10 vers la gauche.
• 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm, 1 cm = 10 mm.
• Pour calculer une somme, une différence ou un périmètre, il faut d’abord exprimer toutes les longueurs dans la même unité.
• La bonne méthode est : Je repère / J’applique / Je vérifie.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : conversions de longueurs 6e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à utiliser le tableau de conversion, à convertir des longueurs simples ou décimales, puis à résoudre des problèmes de périmètre.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Compléter le tableau de conversions : placer des nombres dans les colonnes km, hm, dam, m, dm, cm, mm.
• Choisir la bonne conversion : sélectionner, par exemple, la bonne égalité entre 3 m, 30 cm, 300 cm et 3000 cm.
• Recomposer les égalités : associer des longueurs équivalentes, comme 2,5 m et 250 cm.
• Écrire la conversion demandée : convertir en m, en cm, en mm ou en km selon la consigne.
• Résoudre avec un périmètre : convertir les mesures dans une unité commune, puis calculer le contour d’une figure.

Barème possible pour un devoir sur 20 points : connaissance de l’ordre des unités, 2 points ; utilisation correcte du tableau de conversion, 3 points ; conversions simples exactes, 5 points ; conversions avec nombres décimaux, 4 points ; résolution de problèmes et rédaction, 6 points.

12. Questions fréquentes