Multiplication d'un décimal par un entier

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, on rencontre très souvent des grandeurs décimales. Un stylo coûte 1,35 €, une tablette de chocolat pèse 0,125 kg, une piste mesure 7,5 m, et l’on doit parfois prendre plusieurs fois la même quantité. Si 6 élèves achètent chacun un cahier à 3,75 €, combien paient-ils en tout ? Le calcul à effectuer est 3,75 × 6. On sait déjà multiplier des nombres entiers, par exemple 375 × 6 = 2250, mais il faut ensuite comprendre où placer la virgule pour obtenir le bon résultat : 3,75 × 6 = 22,50, c’est-à-dire 22,50 €.

La difficulté principale n’est donc pas seulement de faire la multiplication : c’est de conserver le sens du nombre décimal. En 6e, on apprend à relier l’écriture décimale au tableau de numération, aux fractions décimales et aux ordres de grandeur. Le mot repère de cette leçon est virgule, que l’on peut découper en syllabes : vir-gule. La virgule sépare la partie entière et la partie décimale. Elle ne se place pas au hasard : elle indique la valeur de chaque chiffre.

Dans cette fiche, l’objectif est double : savoir multiplier un nombre décimal par un nombre entier, et automatiser les multiplications par 10, 100 et 1000. En écriture imprimée, on rencontrera par exemple : 3,75 × 6 = 22,50. En titre ou en affichage, on pourra lire : MULTIPLICATION D'UN DÉCIMAL PAR UN ENTIER. À la fin de la leçon, on devra être capable de calculer, de poser l’opération si nécessaire, de placer correctement la virgule et de vérifier que le résultat est vraisemblable.

2. Définition

Définition : Multiplier un nombre décimal par un nombre entier, c’est additionner plusieurs fois le même nombre décimal. Par exemple, 4,2 × 3 signifie 4,2 + 4,2 + 4,2. On peut aussi effectuer le calcul en multipliant comme avec des nombres entiers, puis en replaçant correctement la virgule dans le résultat.

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une partie entière et une partie décimale finie. Par exemple, 8,4 ; 0,75 ; 12,06 et 103,5 sont des nombres décimaux. Dans 12,06, la partie entière est 12 et la partie décimale est 06. Le chiffre 0 juste après la virgule est important : il indique qu’il n’y a pas de dixième, mais qu’il y a 6 centièmes.

Un nombre entier est un nombre sans partie décimale : 0, 1, 2, 3, 10, 25, 100 sont des entiers. Dans un calcul comme 6,25 × 4, le facteur décimal est 6,25 et le facteur entier est 4. On peut lire ce calcul : « quatre fois 6,25 » ou « 6,25 multiplié par 4 ».

La multiplication par un entier conserve le sens des grandeurs. Si 1 paquet pèse 2,35 kg, alors 5 paquets pèsent 2,35 × 5 kg. Le résultat doit être plus grand que 2,35, car on prend 5 fois cette masse. Cette idée simple aide à éviter des erreurs de virgule : si le résultat obtenu est beaucoup trop petit ou beaucoup trop grand, il faut le vérifier.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour multiplier un nombre décimal par un entier, on peut supprimer provisoirement la virgule du nombre décimal, effectuer la multiplication comme avec des entiers, puis replacer la virgule dans le résultat en gardant le même nombre de chiffres après la virgule que dans le facteur décimal.

Exemple : dans 3,75 × 6, le nombre 3,75 a 2 chiffres après la virgule. On calcule d’abord 375 × 6 = 2250. Comme il y avait 2 chiffres après la virgule dans 3,75, on place 2 chiffres après la virgule dans 2250 : on obtient 22,50. On peut donc écrire 3,75 × 6 = 22,50, et aussi 22,5 si l’on ne veut pas conserver le zéro final.

Les multiplications par 10, 100 et 1000 sont des cas très importants. Multiplier par 10 rend le nombre 10 fois plus grand : la virgule se déplace d’un rang vers la droite. Multiplier par 100 rend le nombre 100 fois plus grand : la virgule se déplace de deux rangs vers la droite. Multiplier par 1000 rend le nombre 1000 fois plus grand : la virgule se déplace de trois rangs vers la droite.

• 4,7 × 10 = 47
• 4,7 × 100 = 470
• 4,7 × 1000 = 4700
• 0,36 × 10 = 3,6
• 0,36 × 100 = 36
• 0,36 × 1000 = 360

Attention : on dit souvent « on déplace la virgule », mais en réalité, ce sont les chiffres qui changent de rang dans le tableau de numération. Cette formulation permet de mieux comprendre pourquoi on ajoute parfois des zéros de position.

4. Démonstration

Pour justifier la méthode, on peut utiliser les fractions décimales. Un nombre décimal avec un chiffre après la virgule peut s’écrire en dixièmes ; un nombre décimal avec deux chiffres après la virgule peut s’écrire en centièmes ; un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule peut s’écrire en millièmes.

Prenons le calcul 3,75 × 6. Le nombre 3,75 signifie 375 centièmes, donc 3,75 = 375 ÷ 100. Alors :

3,75 × 6 = (375 ÷ 100) × 6.

On peut d’abord multiplier 375 par 6, puis diviser par 100 :

(375 × 6) ÷ 100 = 2250 ÷ 100 = 22,50.

On retrouve exactement la méthode : on calcule 375 × 6, puis on replace deux chiffres après la virgule, car diviser par 100 revient à placer le résultat en centièmes.

Avec 0,84 × 7, on a 0,84 = 84 ÷ 100. Donc 0,84 × 7 = (84 × 7) ÷ 100 = 588 ÷ 100 = 5,88. Le résultat a deux chiffres après la virgule parce que le facteur décimal de départ avait deux chiffres après la virgule.

Pour les multiplications par 10, 100 ou 1000, le raisonnement vient du tableau de numération. Dans 2,48, le chiffre 2 est celui des unités, 4 celui des dixièmes, 8 celui des centièmes. Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur 10 fois plus grande : les dixièmes deviennent des unités, les unités deviennent des dizaines. Ainsi 2,48 × 10 = 24,8. Quand on multiplie par 100, chaque chiffre avance de deux rangs : 2,48 × 100 = 248.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je repère le nombre décimal, l’entier multiplicateur et le nombre de chiffres après la virgule. Par exemple, dans 3,75 × 6, le nombre décimal est 3,75, l’entier est 6 et il y a 2 chiffres après la virgule.
2. J’écris le calcul sans la virgule. Je transforme provisoirement le nombre décimal en entier : 3,75 devient 375. Cette étape est provisoire : elle sert seulement à calculer plus facilement.
3. Je multiplie comme avec des entiers. Je calcule 375 × 6 = 2250. Si le calcul est difficile mentalement, je peux poser l’opération en colonne.
4. Je replace la virgule. Comme 3,75 avait 2 chiffres après la virgule, je place 2 chiffres après la virgule dans le résultat : 2250 devient 22,50.
5. Je simplifie si c’est utile. 22,50 peut s’écrire 22,5, mais dans un prix on garde souvent 22,50 € pour montrer les centimes.
6. Je vérifie. J’estime le résultat. 3,75 est proche de 4, donc 3,75 × 6 est proche de 4 × 6 = 24. Le résultat 22,50 est cohérent.

La routine à mémoriser est : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère la virgule et le nombre de chiffres après la virgule. J’applique la multiplication comme avec des entiers. Je vérifie avec un ordre de grandeur pour éviter une erreur de placement.

Pour multiplier par 10, 100 ou 1000, la méthode est plus directe : multiplier par 10 déplace la virgule d’un rang vers la droite ; multiplier par 100 de deux rangs ; multiplier par 1000 de trois rangs. Si l’on manque de chiffres, on ajoute des zéros de position. Par exemple, 6,2 × 100 = 620 et 0,08 × 1000 = 80.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculons 7,45 × 6.

Étape 1 : on repère le nombre décimal. Le nombre 7,45 a 2 chiffres après la virgule : 4 et 5.

Étape 2 : on enlève provisoirement la virgule. Le calcul devient 745 × 6.

Étape 3 : on effectue la multiplication entière :

  745
×   6
-----
 4470

Étape 4 : on replace la virgule. Comme 7,45 possède 2 chiffres après la virgule, le résultat doit avoir 2 chiffres après la virgule. On obtient donc 44,70.

Conclusion : 7,45 × 6 = 44,70, ce qui peut aussi s’écrire 44,7.

Vérification : 7,45 est proche de 7,5. Or 7,5 × 6 = 45. Le résultat 44,70 est très proche de 45, donc il est vraisemblable. Si l’on avait obtenu 447 ou 4,47, l’ordre de grandeur aurait permis de repérer une erreur.

Ce type de calcul est le plus fréquent : on utilise la multiplication posée ou mentale, puis on replace la virgule en comptant les chiffres après la virgule dans le facteur décimal.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un cas inverse, on connaît le résultat d’une multiplication entière et on doit retrouver le bon calcul décimal. Complétons : 6,25 × 4 = ?

On commence par ignorer provisoirement la virgule : 6,25 devient 625. On calcule alors 625 × 4 = 2500. Mais il serait faux de répondre 2500, car on n’a pas encore replacé la virgule. Le nombre 6,25 possède 2 chiffres après la virgule. Le résultat doit donc avoir 2 chiffres après la virgule : 2500 devient 25,00.

On peut écrire : 6,25 × 4 = 25,00 = 25.

Le résultat 25 est logique : 6,25 est un peu plus que 6, et 6 × 4 = 24. On attend donc un résultat un peu supérieur à 24, pas 2500. L’ordre de grandeur confirme que 25 est correct.

Autre situation inverse : on sait que 132 × 8 = 1056. Alors, sans refaire toute la multiplication, on peut trouver :

• 13,2 × 8 = 105,6 car 13,2 a 1 chiffre après la virgule ;
• 1,32 × 8 = 10,56 car 1,32 a 2 chiffres après la virgule ;
• 0,132 × 8 = 1,056 car 0,132 a 3 chiffres après la virgule.

Le même produit entier 1056 peut donc correspondre à plusieurs résultats décimaux selon la position de la virgule dans le facteur de départ. C’est pourquoi il faut toujours repérer la virgule avant de commencer.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Problème : une famille achète 8 bouteilles de jus de fruit. Une bouteille coûte 2,35 €. Combien la famille paie-t-elle en tout ?

On repère la situation : le prix d’une bouteille est 2,35 € et il y a 8 bouteilles. On doit donc calculer 2,35 × 8.

On transforme provisoirement 2,35 en 235. On calcule :

  235
×   8
-----
 1880

Le nombre 2,35 possède 2 chiffres après la virgule. On replace donc 2 chiffres après la virgule dans 1880 : cela donne 18,80.

La famille paie donc 18,80 €.

Vérification : 2,35 € est proche de 2,50 €. Or 2,50 × 8 = 20,00 €. Le résultat 18,80 € est proche de 20 €, donc il est cohérent. On garde ici deux chiffres après la virgule, car il s’agit d’un prix exprimé en euros et en centimes.

Autre exemple concret avec une longueur : une planche mesure 1,25 m. On met bout à bout 6 planches identiques. La longueur totale est 1,25 × 6 = 7,50 m. On peut écrire 7,5 m, mais 7,50 m rappelle que l’on a calculé avec des centièmes de mètre.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : La virgule est déplacée du mauvais côté pour ×10, ×100 ou ×1000. — À faire : Se rappeler que multiplier rend le nombre 10, 100 ou 1000 fois plus grand : la virgule va vers la droite.
• Erreur : L’élève oublie de replacer la virgule après une multiplication posée. — À faire : Entourer ou noter le nombre de chiffres après la virgule avant de commencer le calcul.
• Erreur : Le résultat possède trop ou pas assez de décimales. — À faire : Compter précisément les chiffres après la virgule dans le facteur décimal, puis les reporter dans le produit.
• Erreur : Des zéros utiles sont supprimés trop tôt. — À faire : Distinguer les zéros de position et les zéros finaux. Dans 0,08 × 1000 = 80, les zéros aident à changer de rang.
• Erreur : Le résultat n’est pas vraisemblable. — À faire : Arrondir le nombre décimal pour obtenir un ordre de grandeur. Par exemple, 9,8 × 7 est proche de 10 × 7 = 70.
• Erreur : Penser que 14,10 et 14,1 sont toujours présentés de la même manière. — À faire : Comprendre qu’ils sont égaux comme nombres, mais que dans un prix, 14,10 € indique 14 euros et 10 centimes.

10. À retenir

• Multiplier un nombre décimal par un entier, c’est prendre plusieurs fois ce nombre décimal.
• Pour calculer, on peut multiplier comme avec des entiers, puis replacer la virgule.
• Le nombre de chiffres après la virgule du résultat est le même que celui du facteur décimal de départ.
• Exemple : 3,75 × 6 = 22,50 car 375 × 6 = 2250 et 3,75 a 2 chiffres après la virgule.
• Multiplier par 10 déplace la virgule d’un rang vers la droite : 5,62 × 10 = 56,2.
• Multiplier par 100 déplace la virgule de deux rangs vers la droite : 5,62 × 100 = 562.
• Multiplier par 1000 déplace la virgule de trois rangs vers la droite : 5,62 × 1000 = 5620.
• Les zéros peuvent être utiles pour garder les bons rangs dans le tableau de numération.
• Un zéro final après la virgule peut parfois être supprimé : 22,50 = 22,5.
• Dans une grandeur, surtout un prix, on garde souvent deux chiffres après la virgule : 18,80 €.
• Un bon réflexe est d’estimer le résultat avant ou après le calcul pour vérifier la cohérence.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : multiplication d’un décimal par un entier en 6e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement sur les automatismes, les calculs posés et les problèmes concrets.

Les exercices proposés peuvent porter sur plusieurs compétences : automatiser ×10, ×100, ×1000, placer la virgule, recomposer un calcul, choisir la bonne méthode et résoudre un problème. Par exemple, on peut demander de compléter 4,08 × 100 = …, de calculer 12,6 × 7, de retrouver le résultat décimal à partir d’un produit entier, ou encore de calculer le prix de plusieurs objets identiques.

Un barème possible sur 20 points peut être le suivant : multiplications par 10, 100 et 1000 : 4 points ; calculs directs d’un décimal par un entier : 5 points ; étapes de méthode et placement de la virgule : 4 points ; résolution de problèmes et phrase-réponse : 5 points ; présentation, unités et vérification de la vraisemblance : 2 points.

Pour réussir les exercices, il est conseillé d’écrire les étapes, même lorsque le calcul paraît simple. Une réponse correcte doit contenir le calcul, le placement de la virgule, l’unité si le problème en comporte une, et une phrase-réponse lorsque l’on répond à une question concrète.

12. Questions fréquentes