Multiplication de deux nombres décimaux

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au marché, un fromage coûte 12,40 € le kilogramme. Lina en achète 3,2 kg pour une fête familiale. Elle veut calculer le prix à payer : il faut donc effectuer 12,4 × 3,2. Si elle multiplie seulement 124 × 32, elle obtient 3968, mais ce nombre ne peut pas être le prix en euros : 3968 € serait beaucoup trop grand. Il faut comprendre comment la virgule se place dans le produit de deux nombres décimaux.

En classe de 6e, la multiplication de deux nombres décimaux prolonge la multiplication des nombres entiers et la numération décimale. On apprend à poser et calculer un produit décimal, mais aussi à contrôler le résultat par estimation. Cette vérification est essentielle : elle permet de repérer un résultat impossible, une virgule mal placée ou une erreur de retenue.

Dans cette leçon, l’objectif est de savoir calculer un produit de deux décimaux, par exemple 12,4 × 3,2 = 39,68, en appliquant une règle simple : on multiplie sans tenir compte des virgules, puis on replace la virgule en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs. La compétence attendue est double : effectuer correctement la technique opératoire et donner du sens au résultat obtenu grâce à un ordre de grandeur.

2. Définition

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. Multiplier deux nombres décimaux, c’est calculer leur produit en tenant compte de la valeur des chiffres : unités, dixièmes, centièmes, millièmes, etc.

Dans une multiplication comme 12,4 × 3,2, les nombres 12,4 et 3,2 sont appelés les facteurs. Le résultat s’appelle le produit. On lit : « douze virgule quatre multiplié par trois virgule deux ».

Le mot repère de cette leçon est virgule : vir-gule. Il faut savoir la repérer, mais il ne faut pas la traiter comme dans une addition. Pour additionner ou soustraire des décimaux, on aligne les virgules. Pour multiplier des décimaux, on ne les aligne pas nécessairement : on calcule d’abord comme si les facteurs étaient des nombres entiers.

Exemple de référence : 12,4 a 1 chiffre après la virgule et 3,2 a 1 chiffre après la virgule. Au total, cela fait 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule. On calcule 124 × 32 = 3968. On place ensuite la virgule pour obtenir 2 chiffres après la virgule : 39,68. Donc 12,4 × 3,2 = 39,68.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour multiplier deux nombres décimaux, on peut multiplier les nombres sans tenir compte des virgules, puis placer dans le produit autant de chiffres après la virgule qu’il y en a au total dans les deux facteurs.

Cette règle repose sur la numération décimale. Un chiffre après la virgule correspond aux dixièmes, deux chiffres aux centièmes, trois chiffres aux millièmes. Par exemple, multiplier par 0,1 revient à prendre un dixième ; multiplier par 0,01 revient à prendre un centième.

Quelques propriétés utiles restent vraies avec les nombres décimaux :

• Commutativité : on peut changer l’ordre des facteurs. Par exemple 2,5 × 4 = 4 × 2,5.
• Associativité : dans un produit de plusieurs facteurs, on peut regrouper les calculs. Par exemple (0,5 × 2) × 3 = 0,5 × (2 × 3).
• Multiplication par 1 : multiplier par 1 ne change pas le nombre. Par exemple 7,8 × 1 = 7,8.
• Multiplication par 0 : multiplier par 0 donne 0. Par exemple 9,36 × 0 = 0.

Il faut aussi retenir une idée importante : le produit de deux décimaux n’est pas toujours plus grand que les facteurs. Par exemple 8 × 0,5 = 4. Multiplier par un nombre plus petit que 1 diminue le nombre de départ.

4. Démonstration

On explique la règle avec la numération décimale. Prenons l’exemple 12,4 × 3,2. Le nombre 12,4 peut s’écrire 124 ÷ 10, car 12,4 correspond à 124 dixièmes. Le nombre 3,2 peut s’écrire 32 ÷ 10.

On a donc :

12,4 × 3,2 = (124 ÷ 10) × (32 ÷ 10).

En multipliant les numérateurs et les dénominateurs, cela revient à calculer :

(124 × 32) ÷ (10 × 10).

On obtient 124 × 32 = 3968, puis 10 × 10 = 100. Il faut donc diviser 3968 par 100. Diviser par 100 revient à déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche : 3968 ÷ 100 = 39,68. Ainsi, 12,4 × 3,2 = 39,68.

Cette démonstration justifie la règle : chaque chiffre après la virgule dans un facteur correspond à une division par 10. Si le premier facteur a 1 chiffre après la virgule et le second aussi, on divise par 10 puis encore par 10, donc par 100. Le produit final doit alors avoir 2 chiffres après la virgule.

Autre exemple : 0,25 × 1,3. Le nombre 0,25 a 2 chiffres après la virgule, et 1,3 en a 1. Au total, il faudra 3 chiffres après la virgule dans le produit. On calcule 25 × 13 = 325, puis on place 3 chiffres après la virgule : 0,325.

5. Méthode pas à pas

Routine : Je repère / J’applique / Je vérifie. Cette méthode permet d’éviter les erreurs les plus fréquentes et de garder le sens du calcul.

1. Je repère : je compte le nombre de chiffres après la virgule dans chaque facteur. Par exemple, dans 12,4 × 3,2, il y a 1 chiffre après la virgule dans 12,4 et 1 chiffre après la virgule dans 3,2.
2. Je calcule le total : j’additionne ces nombres. Ici, 1 + 1 = 2. Le produit final devra donc avoir 2 chiffres après la virgule.
3. J’applique : je multiplie comme si les deux nombres étaient entiers, sans tenir compte des virgules. Ici, je calcule 124 × 32.
4. Je pose l’opération si nécessaire : 124 × 32 = 124 × 30 + 124 × 2 = 3720 + 248 = 3968.
5. Je replace la virgule : je place la virgule dans 3968 pour obtenir 2 chiffres après la virgule : 39,68.
6. Je simplifie l’écriture si besoin : les zéros inutiles à la fin de la partie décimale peuvent être supprimés. Par exemple 4,500 = 4,5.
7. Je vérifie : je contrôle avec un ordre de grandeur. Ici, 12,4 est proche de 12 et 3,2 est proche de 3. Or 12 × 3 = 36. Le résultat 39,68 est raisonnable.

Attention : si le produit entier n’a pas assez de chiffres pour placer la virgule, on ajoute des zéros à gauche. Par exemple 0,3 × 0,04 : on calcule 3 × 4 = 12. Il faut 1 + 2 = 3 chiffres après la virgule. On écrit donc 0,012.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculer 12,4 × 3,2.

Étape 1 : compter les chiffres après la virgule. Dans 12,4, il y a 1 chiffre après la virgule. Dans 3,2, il y a aussi 1 chiffre après la virgule. Au total, il y a 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule.

Étape 2 : multiplier sans virgule. On calcule 124 × 32.

124 × 32 = 124 × 30 + 124 × 2 = 3720 + 248 = 3968.

Étape 3 : replacer la virgule. Le produit doit avoir 2 chiffres après la virgule. Dans 3968, on place donc la virgule ainsi : 39,68.

Conclusion : 12,4 × 3,2 = 39,68.

Contrôle par estimation : 12,4 est proche de 12 et 3,2 est proche de 3. On peut estimer 12 × 3 = 36. Le résultat exact 39,68 est proche de 36, donc il est cohérent. Si on avait trouvé 396,8 ou 3,968, l’ordre de grandeur aurait alerté sur une virgule mal placée.

Ce premier exemple montre le cas le plus courant : chaque facteur possède un chiffre après la virgule. Le produit possède alors deux chiffres après la virgule. La technique est identique pour des facteurs ayant deux ou trois chiffres après la virgule, mais il faut être encore plus attentif au comptage.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On connaît un produit sans virgule et on doit retrouver le produit décimal. Calculer 4,05 × 0,6, sachant que 405 × 6 = 2430.

Étape 1 : compter les chiffres après la virgule. Le nombre 4,05 a 2 chiffres après la virgule : 0 et 5. Le nombre 0,6 a 1 chiffre après la virgule. Au total, il y a 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule.

Étape 2 : utiliser le produit entier. On sait que 405 × 6 = 2430.

Étape 3 : placer la virgule. Le résultat doit avoir 3 chiffres après la virgule. Dans 2430, on place la virgule pour obtenir 2,430.

Étape 4 : simplifier si possible. Le zéro final après la virgule est inutile : 2,430 = 2,43.

Conclusion : 4,05 × 0,6 = 2,43.

Contrôle par estimation : 4,05 est proche de 4 et 0,6 est un peu plus que 0,5. La moitié de 4 est 2 ; le résultat doit être un peu plus grand que 2. Le résultat 2,43 est raisonnable.

Ce cas est dit « inverse » car on part d’un produit entier déjà connu pour replacer la virgule. C’est un entraînement efficace : il oblige à distinguer le calcul de la multiplication entière et le placement de la virgule.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un cycliste parcourt 18,75 km en une heure. Il roule pendant 2,4 heures à la même vitesse moyenne. Quelle distance parcourt-il ?

Il faut calculer 18,75 × 2,4.

Étape 1 : comprendre la situation. Si le cycliste parcourt environ 19 km en 1 heure, alors en un peu plus de 2 heures, il parcourra environ 19 × 2 = 38 km, et un peu plus encore car 2,4 est supérieur à 2. On s’attend donc à un résultat autour de 45 km.

Étape 2 : compter les chiffres après la virgule. Le nombre 18,75 a 2 chiffres après la virgule. Le nombre 2,4 a 1 chiffre après la virgule. Le produit aura donc 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule.

Étape 3 : multiplier sans virgule. On calcule 1875 × 24.

1875 × 24 = 1875 × 20 + 1875 × 4 = 37 500 + 7 500 = 45 000.

Étape 4 : replacer la virgule. Le produit doit avoir 3 chiffres après la virgule : 45,000.

Étape 5 : simplifier. 45,000 = 45.

Conclusion : le cycliste parcourt 45 km.

Vérification : l’estimation annonçait un résultat autour de 45 km. Le résultat exact est donc cohérent. Ce problème montre que le produit de deux décimaux peut parfois être un nombre entier. La présence de virgules dans les facteurs ne signifie pas obligatoirement que le résultat aura une écriture décimale non nulle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : aligner les virgules comme dans une addition. — À faire : rappeler qu’en multiplication on ne cherche pas à aligner les virgules ; on multiplie d’abord comme des entiers.
• Erreur : placer la virgule au hasard dans le produit. — À faire : compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs et l’écrire avant de calculer.
• Erreur : obtenir un résultat beaucoup trop grand ou beaucoup trop petit. — À faire : utiliser un ordre de grandeur avant ou après le calcul pour vérifier si le résultat est raisonnable.
• Erreur : oublier les zéros dans des nombres comme 0,04 ou 5,04. — À faire : lire les nombres correctement : 0,04 représente quatre centièmes, et 5,04 représente cinq unités et quatre centièmes.
• Erreur : supprimer un zéro nécessaire avant de placer la virgule. — À faire : placer d’abord la virgule, puis seulement ensuite supprimer les zéros inutiles à la fin de la partie décimale.
• Erreur : faire des erreurs de retenues dans la multiplication entière. — À faire : vérifier les tables, poser soigneusement l’opération et contrôler les produits partiels.

Une bonne habitude consiste à entourer les chiffres après la virgule dans chaque facteur. Cela rend visible le nombre de chiffres à retrouver dans le produit. On peut aussi écrire une phrase de contrôle : « Le produit doit avoir ... chiffres après la virgule. »

10. À retenir

• Pour multiplier deux nombres décimaux, on commence par multiplier les nombres sans les virgules.
• On compte ensuite le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
• Le produit doit avoir autant de chiffres après la virgule que ce total.
• Exemple fondamental : 12,4 × 3,2 = 39,68, car 124 × 32 = 3968 et 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule.
• Si le produit entier n’a pas assez de chiffres, on ajoute des zéros à gauche. Exemple : 0,3 × 0,04 = 0,012.
• Les zéros placés à la fin de la partie décimale peuvent être supprimés : 7,500 = 7,5.
• On ne doit pas aligner les virgules pour multiplier : cette règle concerne l’addition et la soustraction.
• Un ordre de grandeur permet de vérifier le résultat : il aide à contrôler le placement de la virgule.
• Multiplier par un nombre inférieur à 1 peut donner un résultat plus petit que le nombre de départ.

La phrase clé à mémoriser est : « On multiplie sans virgule puis on replace la virgule. » Pour être précis, on ajoute : « Le nombre de chiffres après la virgule au produit est la somme des nombres de chiffres après la virgule dans les facteurs. »

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Multiplication de deux nombres décimaux en 6e » avec entraînement progressif, corrigé et barème. Le document peut contenir des tableaux à compléter, des calculs posés, des problèmes concrets et des questions d’estimation.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Compléter le tableau des produits : calculer des produits simples comme 2,3 × 4, 1,2 × 0,5 ou 0,7 × 0,8.
• Placer la virgule : à partir d’un produit entier donné, retrouver le produit décimal correct.
• Remettre la méthode dans l’ordre : classer les étapes « compter », « multiplier », « placer la virgule », « vérifier ».
• Poser et calculer : effectuer des multiplications plus longues comme 15,6 × 2,8 ou 4,25 × 3,6.
• Problèmes et estimation : calculer un prix, une distance, une masse ou une aire, puis vérifier avec un ordre de grandeur.

Barème possible pour un exercice complet sur 10 points : technique opératoire posée correctement, 2 points ; multiplication des nombres sans virgule correctement effectuée, 3 points ; nombre de chiffres après la virgule correctement compté, 2 points ; virgule correctement placée et zéros inutiles simplifiés, 2 points ; contrôle par estimation ou ordre de grandeur clairement indiqué, 1 point.

Pour progresser, il est conseillé de refaire régulièrement de petits calculs mentaux : 0,5 × 8, 0,25 × 4, 1,5 × 2, 0,1 × 37. Ces repères aident à donner du sens aux résultats et à éviter les erreurs de virgule.

12. Questions fréquentes