Périmètre d'un polygone : carré, rectangle, triangle

1. Introduction et problématique

Situation-problème : la classe de 6e prépare une exposition dans le couloir du collège. Pour mettre en valeur les affiches, on veut coller un ruban tout autour de plusieurs panneaux : un panneau rectangulaire, un panneau carré et un panneau triangulaire. La question est simple : quelle longueur de ruban faut-il acheter pour entourer chaque panneau sans en manquer et sans en acheter beaucoup trop ?

Pour répondre, il faut savoir calculer la longueur du contour d’une figure. En géométrie, cette longueur s’appelle le périmètre. Le mot repère est : périmètre, que l’on peut découper en syllabes : pé-ri-mè-tre. Le périmètre est donc la longueur totale du tour d’une figure. Par exemple, pour un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm, le contour est formé de quatre côtés : 5 cm, 3 cm, 5 cm et 3 cm. On calcule alors : P = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm. On peut aussi écrire : P = 2 × (5 + 3) = 16 cm.

En 6e, selon les attendus du programme de mathématiques du cycle 3, on apprend à identifier des figures usuelles, à utiliser les propriétés de leurs côtés et à calculer des grandeurs, notamment des longueurs. Le périmètre est une grandeur : il s’exprime avec une unité de longueur, comme le millimètre, le centimètre, le mètre ou le kilomètre. Le résultat ne doit donc jamais être écrit sans unité.

2. Définition

Définition : Le périmètre d’un polygone est la longueur totale de son contour. Pour le calculer, on additionne les longueurs de tous ses côtés, dans une même unité.

Un polygone est une figure fermée formée uniquement de segments. Un triangle, un rectangle, un carré, un pentagone ou un hexagone sont des polygones. Comme le périmètre correspond au tour complet de la figure, on peut imaginer que l’on fait glisser son doigt sur tous les côtés, sans en oublier aucun, puis que l’on additionne toutes les longueurs parcourues.

La phrase essentielle à retenir est : Périmètre = somme des longueurs des côtés. En majuscules, pour bien mémoriser : PÉRIMÈTRE = SOMME DES LONGUEURS DES CÔTÉS.

Il est important de distinguer le périmètre de l’aire. Le périmètre mesure le contour : c’est une longueur. L’aire mesure la surface intérieure : elle s’exprime en unités carrées, comme cm² ou m². Pour un rectangle, multiplier la longueur par la largeur donne l’aire, pas le périmètre.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs de tous ses côtés. Si des côtés sont égaux, on peut utiliser une écriture simplifiée avec une multiplication.

Pour un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur. On appelle souvent L la longueur et l la largeur. Le rectangle possède deux longueurs et deux largeurs. On peut donc écrire :

Rectangle : P = L + l + L + l, donc P = 2 × (L + l).

Cette formule se lit : le périmètre d’un rectangle est égal à deux fois la somme de la longueur et de la largeur. En majuscules pour mémoriser : RECTANGLE : P = 2 × (L + l).

Pour un carré, les quatre côtés ont la même longueur. Si on appelle c la longueur d’un côté, alors le périmètre est :

Carré : P = c + c + c + c, donc P = 4 × c.

En majuscules : CARRÉ : P = 4 × c.

Pour un triangle, il y a trois côtés. Si leurs longueurs sont notées a, b et c, alors :

Triangle : P = a + b + c.

En majuscules : TRIANGLE : P = a + b + c.

4. Démonstration

La formule générale du périmètre vient directement de sa définition. Le périmètre est la longueur du contour. Or le contour d’un polygone est formé de plusieurs segments appelés côtés. Pour connaître la longueur totale du contour, il faut donc additionner la longueur de chacun de ces segments.

Prenons un rectangle. Un rectangle possède quatre côtés. Les côtés opposés sont de même longueur : deux côtés mesurent L et deux côtés mesurent l. En suivant le contour dans l’ordre, on obtient : P = L + l + L + l. En regroupant les longueurs identiques, on a L + L = 2 × L et l + l = 2 × l. On peut aussi regrouper une longueur et une largeur, puis multiplier par 2 : P = (L + l) + (L + l), donc P = 2 × (L + l). Cette formule ne change pas le sens du calcul : elle évite seulement d’écrire quatre termes.

Pour un carré, la justification est encore plus directe. Un carré a quatre côtés de même longueur. Si chaque côté mesure c, alors le contour mesure c + c + c + c. Additionner quatre fois le même nombre revient à le multiplier par 4. Ainsi, P = 4 × c.

Pour un triangle, il n’y a pas de formule plus courte dans le cas général, car les trois côtés peuvent avoir des longueurs différentes. On additionne donc les trois mesures : P = a + b + c. Si le triangle est particulier, par exemple équilatéral, on pourra utiliser le fait que ses trois côtés sont égaux, mais en 6e il faut d’abord retenir la méthode générale : additionner tous les côtés.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la figure. Je regarde s’il s’agit d’un rectangle, d’un carré, d’un triangle ou d’un autre polygone. Je repère aussi tous les côtés qui forment le contour.
2. Je lis les longueurs données. Je note les mesures indiquées sur la figure ou dans l’énoncé. Pour un rectangle, je repère la longueur L et la largeur l. Pour un carré, je repère le côté c. Pour un triangle, je repère les trois côtés.
3. Je vérifie les unités. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de calculer. Si nécessaire, je convertis : par exemple 1 m = 100 cm.
4. Je choisis la méthode. Je peux additionner tous les côtés un par un. Si la figure est un rectangle, j’utilise P = 2 × (L + l). Si la figure est un carré, j’utilise P = 4 × c. Si la figure est un triangle, j’utilise P = a + b + c.
5. J’effectue le calcul. Je respecte les priorités opératoires. Dans P = 2 × (L + l), je calcule d’abord ce qui est entre parenthèses, puis je multiplie par 2.
6. J’écris une phrase-réponse. Le résultat est une longueur. J’écris donc une unité : cm, m, km, etc. Exemple : « Le périmètre du rectangle est 16 cm. »
7. Je vérifie la cohérence. Le périmètre doit être plus grand qu’un seul côté. Si mon résultat est plus petit que la longueur d’un côté, il y a sûrement une erreur.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 5 cm. On veut calculer son périmètre.

Étape 1 : je repère la figure. C’est un rectangle. Il possède deux longueurs de 8 cm et deux largeurs de 5 cm.

Étape 2 : je choisis la formule. Pour un rectangle, on utilise : P = 2 × (L + l).

Étape 3 : je remplace les lettres par les valeurs. Ici, L = 8 cm et l = 5 cm. Donc : P = 2 × (8 + 5).

Étape 4 : je calcule. On calcule d’abord la parenthèse : 8 + 5 = 13. Puis : 2 × 13 = 26.

Étape 5 : je réponds avec l’unité. Le périmètre du rectangle est 26 cm.

On peut vérifier en additionnant les quatre côtés : 8 + 5 + 8 + 5 = 26. On trouve bien le même résultat. Cette vérification permet de comprendre que la formule P = 2 × (L + l) n’est pas une règle magique : elle résume simplement l’addition des quatre côtés du rectangle.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère un carré dont le périmètre est 36 cm. On cherche la longueur d’un côté.

Étape 1 : je repère la figure. C’est un carré. Ses quatre côtés ont la même longueur.

Étape 2 : je rappelle la formule. Pour un carré, P = 4 × c, où c désigne la longueur d’un côté.

Étape 3 : je remplace ce que je connais. Le périmètre vaut 36 cm, donc : 36 = 4 × c.

Étape 4 : je cherche le nombre qui multiplié par 4 donne 36. On peut faire une division : c = 36 ÷ 4.

Étape 5 : je calcule. 36 ÷ 4 = 9.

Étape 6 : je réponds. La longueur d’un côté du carré est 9 cm.

Pour vérifier, on recalcule le périmètre : 4 × 9 = 36 cm. Le résultat est cohérent. Dans un problème inverse, on connaît le périmètre et on cherche une longueur. Il faut alors utiliser le lien entre le périmètre et les côtés, puis effectuer l’opération inverse : une division quand le périmètre est obtenu par multiplication.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un jardinier veut poser une bordure autour d’un petit massif en forme de triangle. Les trois côtés du massif mesurent 2 m, 3 m et 4 m. La bordure est vendue en rouleaux de 5 m. Combien de mètres de bordure faut-il au total ? Combien de rouleaux doit-il acheter ?

Étape 1 : je repère la figure. Le massif est un triangle. Pour calculer son périmètre, on additionne les trois côtés.

Étape 2 : j’écris la formule. Pour un triangle : P = a + b + c.

Étape 3 : je remplace par les longueurs. P = 2 + 3 + 4.

Étape 4 : je calcule. 2 + 3 + 4 = 9. Le périmètre du massif est donc 9 m.

Étape 5 : j’interprète la question. Le jardinier a besoin de 9 m de bordure. Les rouleaux mesurent 5 m chacun. Avec un rouleau, il aurait seulement 5 m, ce n’est pas assez. Avec deux rouleaux, il aurait 10 m.

Réponse : Il faut 9 m de bordure au total, et le jardinier doit acheter 2 rouleaux de 5 m.

Ce problème montre que le calcul du périmètre sert dans des situations concrètes : poser une clôture, entourer une affiche, border un terrain, encadrer une photo ou calculer une distance parcourue autour d’un terrain.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Multiplier la longueur par la largeur pour un rectangle. — À faire : Se rappeler que L × l donne l’aire, tandis que le périmètre se calcule avec le contour : P = 2 × (L + l).
• Erreur : Oublier un côté dans la somme. — À faire : Numéroter les côtés un par un ou suivre le contour avec le doigt avant d’écrire le calcul.
• Erreur : Utiliser P = L + l pour un rectangle. — À faire : Penser qu’un rectangle a deux longueurs et deux largeurs : P = L + l + L + l.
• Erreur : Écrire un résultat sans unité. — À faire : Terminer chaque réponse par une unité de longueur : mm, cm, m ou km.
• Erreur : Additionner des longueurs qui ne sont pas dans la même unité. — À faire : Convertir toutes les mesures dans une même unité avant de commencer le calcul.
• Erreur : Confondre carré et rectangle. — À faire : Vérifier les propriétés : un carré a quatre côtés égaux ; un rectangle a seulement ses côtés opposés égaux.

10. À retenir

• Le périmètre est la longueur totale du contour d’une figure.
• Pour calculer le périmètre d’un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés.
• Le périmètre est une longueur : il s’exprime en mm, cm, m, km, etc.
• Pour un rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 × (L + l).
• Pour un carré de côté c : P = 4 × c.
• Pour un triangle de côtés a, b et c : P = a + b + c.
• Avant de calculer, il faut vérifier que toutes les longueurs sont dans la même unité.
• Une bonne routine est : Je repère la figure et ses longueurs, j’applique la bonne somme ou la bonne formule, puis je vérifie le résultat et l’unité.

11. Exercices d'application

Un PDF d’exercices peut proposer une progression complète pour s’entraîner au calcul du périmètre d’un polygone en 6e : compléter un tableau, répondre à des questions de type vrai ou faux, recomposer le bon calcul, écrire la formule puis calculer, et résoudre des problèmes de périmètre dans des situations concrètes.

Exemples d’exercices possibles : calculer le périmètre d’un rectangle de longueur 12 cm et de largeur 7 cm ; trouver le périmètre d’un carré de côté 6 m ; additionner les trois côtés d’un triangle mesurant 4 cm, 5 cm et 8 cm ; retrouver la longueur d’un côté d’un carré connaissant son périmètre ; déterminer le nombre de mètres de clôture nécessaires pour entourer un terrain rectangulaire.

Pour le corrigé, on peut utiliser un barème sur 10 points : identifier correctement la figure et les longueurs utiles, 2 points ; choisir la bonne méthode ou la bonne formule, 2 points ; effectuer correctement les calculs, 2 points ; écrire une réponse avec l’unité adaptée, 2 points ; présenter clairement les étapes du raisonnement, 2 points. Ce barème valorise à la fois le calcul, le raisonnement et la qualité de la réponse.

12. Questions fréquentes