Pourcentages : calculer un pourcentage d'une grandeur

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, une association organise une vente de cahiers au prix de 8 € l’unité. Pour attirer les familles, elle annonce : « réduction de 25 % sur chaque cahier ». Un élève affirme qu’il faut enlever 25 € parce qu’il voit le nombre 25. Un autre pense qu’il faut diviser le prix par 25. Un troisième dit : « 25 %, c’est un quart, donc je calcule le quart de 8 € ». Qui a raison ? Comment calculer rapidement et sans se tromper un pourcentage simple d’une grandeur ?

Les pourcentages sont très présents dans la vie quotidienne : soldes, résultats sportifs, recettes de cuisine, remplissage d’une bouteille, statistiques d’une classe, batteries de téléphone, réductions, augmentations ou répartitions. En classe de 6e, l’objectif est de comprendre le sens d’un pourcentage et de savoir calculer des pourcentages simples d’une grandeur, en particulier 10 %, 25 %, 50 % et 75 %. Ces pourcentages sont utiles car ils se transforment facilement en fractions simples : un dixième, un quart, la moitié et trois quarts.

Dans cette leçon, on apprend à lire une situation, à repérer la grandeur de départ, à remplacer le pourcentage par une opération simple, puis à vérifier si le résultat est cohérent. On travaillera avec des euros, des élèves, des litres, des centilitres, des cahiers ou des longueurs. Le but n’est pas seulement de trouver un nombre : il faut aussi comprendre ce que ce nombre représente et écrire une phrase réponse avec l’unité.

2. Définition

Définition : Un pourcentage indique une proportion « pour 100 ». Calculer un pourcentage d’une grandeur, c’est chercher la partie de cette grandeur correspondant à cette proportion. Par exemple, 25 % de 80 signifie 25 pour 100 appliqué à 80. Comme 25 % = 25 ÷ 100 = 1/4, on calcule 80 ÷ 4 = 20.

Le mot repère est pourcentage. On peut le découper ainsi : pour-cen-tage. L’idée principale est dans l’expression « pour cent », c’est-à-dire « pour 100 ». Ainsi, 10 % signifie 10 pour 100, 50 % signifie 50 pour 100, et 75 % signifie 75 pour 100.

En 6e, on rencontre surtout des pourcentages simples que l’on peut calculer mentalement :

• 10 % = un dixième : calculer 10 %, c’est diviser par 10.
• 25 % = un quart : calculer 25 %, c’est diviser par 4.
• 50 % = la moitié : calculer 50 %, c’est diviser par 2.
• 75 % = trois quarts : calculer 75 %, c’est calculer 3/4 de la grandeur, ou additionner 50 % et 25 %.

On peut aussi retenir les formulations en toutes lettres : DIX POUR CENT, VINGT-CINQ POUR CENT, CINQUANTE POUR CENT et SOIXANTE-QUINZE POUR CENT. Ces expressions aident à associer l’écriture avec le sens.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour calculer un pourcentage simple d’une grandeur, on peut remplacer ce pourcentage par la fraction égale correspondante : 10 % = 1/10, 25 % = 1/4, 50 % = 1/2 et 75 % = 3/4. On applique ensuite cette fraction à la grandeur de départ.

Les égalités importantes à connaître sont les suivantes :

• 10 % = 10/100 = 1/10, donc 10 % d’une quantité se calcule avec la division par 10.
• 25 % = 25/100 = 1/4, donc 25 % d’une quantité se calcule avec la division par 4.
• 50 % = 50/100 = 1/2, donc 50 % d’une quantité se calcule avec la division par 2.
• 75 % = 75/100 = 3/4, donc 75 % d’une quantité se calcule en prenant trois quarts.

Une propriété de vérification est très utile : lorsqu’on calcule un pourcentage inférieur à 100 % d’une grandeur positive, le résultat doit être inférieur à la grandeur de départ. Par exemple, 25 % de 80 ne peut pas être 120, car 25 % est une partie de 80, pas une quantité plus grande que 80.

Dans les problèmes de réduction, il faut distinguer deux grandeurs : le montant de la réduction et le prix final. Si un article coûte 40 € et bénéficie d’une réduction de 25 %, les 25 % donnent d’abord la somme enlevée. Le prix payé est ensuite obtenu en soustrayant cette réduction au prix de départ.

4. Démonstration

Montrons pourquoi 25 % correspond à un quart. Par définition, 25 % signifie 25 pour 100, donc 25/100. Or 25/100 peut être simplifié : on divise le numérateur et le dénominateur par 25. On obtient 25 ÷ 25 = 1 et 100 ÷ 25 = 4. Donc 25/100 = 1/4. Ainsi, calculer 25 % d’une grandeur revient à calculer un quart de cette grandeur, c’est-à-dire à la diviser par 4.

On peut faire le même raisonnement pour 50 %. Le nombre 50 % signifie 50/100. En divisant par 50, on obtient 1/2. Calculer 50 % d’une grandeur revient donc à calculer sa moitié. Par exemple, 50 % de 36 élèves, c’est 36 ÷ 2 = 18 élèves.

Pour 10 %, on part de 10/100. En divisant par 10, on obtient 1/10. Calculer 10 % d’une grandeur revient donc à diviser cette grandeur par 10. Par exemple, 10 % de 35 € vaut 35 ÷ 10 = 3,5 €.

Enfin, 75 % signifie 75/100. En divisant par 25, on obtient 3/4. Calculer 75 % d’une grandeur revient donc à prendre trois quarts. On peut le faire de deux façons. Première méthode : on calcule un quart puis on multiplie par 3. Par exemple, 75 % de 80 vaut 80 ÷ 4 = 20, puis 20 × 3 = 60. Deuxième méthode : on calcule 50 % et 25 %, puis on additionne. 50 % de 80 vaut 40 et 25 % de 80 vaut 20, donc 75 % de 80 vaut 40 + 20 = 60.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je lis attentivement la question. Je cherche le pourcentage demandé et la grandeur de départ. Exemple : dans « calculer 25 % de 80 € », le pourcentage est 25 % et la grandeur de départ est 80 €.
2. Je choisis la bonne signification. Je remplace le pourcentage par une fraction simple : 10 % = 1/10, 25 % = 1/4, 50 % = 1/2, 75 % = 3/4.
3. J’applique l’opération. Pour 10 %, je divise par 10. Pour 25 %, je divise par 4. Pour 50 %, je divise par 2. Pour 75 %, je peux calculer trois quarts ou faire 50 % + 25 %.
4. J’écris le calcul. Même si le calcul est mental, j’écris une ligne claire : 25 % de 80 € = 80 € ÷ 4 = 20 €.
5. Je vérifie. Si le pourcentage est inférieur à 100 %, le résultat doit être plus petit que la grandeur de départ. 20 € est bien plus petit que 80 €.
6. Je réponds avec l’unité. J’écris une phrase courte : « 25 % de 80 € représentent 20 €. » Dans un problème, je précise ce que représente le résultat : réduction, prix payé, nombre d’élèves, quantité d’eau, etc.

Cette routine peut se résumer ainsi : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le pourcentage et la grandeur. J’applique la règle adaptée. Je vérifie la cohérence du résultat.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Calculer 10 %, 25 %, 50 % et 75 % de 120 cahiers.

Calcul de 10 % : 10 % = 1/10, donc on divise par 10. On obtient 120 ÷ 10 = 12. Ainsi, 10 % de 120 cahiers représentent 12 cahiers.

Calcul de 25 % : 25 % = 1/4, donc on divise par 4. On obtient 120 ÷ 4 = 30. Ainsi, 25 % de 120 cahiers représentent 30 cahiers.

Calcul de 50 % : 50 % = 1/2, donc on divise par 2. On obtient 120 ÷ 2 = 60. Ainsi, 50 % de 120 cahiers représentent 60 cahiers.

Calcul de 75 % : 75 % = 3/4. On peut d’abord calculer un quart : 120 ÷ 4 = 30. Puis on prend trois quarts : 30 × 3 = 90. Ainsi, 75 % de 120 cahiers représentent 90 cahiers.

Vérification : Tous les résultats sont inférieurs à 120, car 10 %, 25 %, 50 % et 75 % sont inférieurs à 100 %. De plus, les résultats augmentent quand le pourcentage augmente : 12, puis 30, puis 60, puis 90.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Dans une classe, 25 % des élèves représentent 7 élèves. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ?

Cette fois, on ne cherche pas directement 25 % d’une grandeur connue. On connaît la partie et on cherche la grandeur totale. Il faut donc raisonner à l’envers.

On sait que 25 % = 1/4. Dire que 25 % des élèves représentent 7 élèves signifie qu’un quart de la classe contient 7 élèves. Si un quart vaut 7 élèves, alors la classe entière contient 4 quarts. On calcule donc 7 × 4 = 28.

Phrase réponse : Il y a 28 élèves dans la classe.

Vérification : Calculons 25 % de 28 : 28 ÷ 4 = 7. On retrouve bien 7 élèves. La réponse est cohérente.

Ce type de question demande de bien lire l’énoncé. Si la grandeur totale est inconnue, il ne faut pas diviser automatiquement. Il faut se demander : « Est-ce que je connais le total ou est-ce que je connais seulement une partie ? » Quand on connaît la partie correspondant à 25 %, on peut multiplier par 4 pour retrouver le total. Quand on connaît la partie correspondant à 50 %, on peut multiplier par 2. Quand on connaît 10 %, on peut multiplier par 10 pour retrouver 100 %.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un sac de sport coûte 48 €. Pendant les soldes, il bénéficie d’une réduction de 25 %. Quel est le montant de la réduction ? Quel est le prix payé après réduction ?

Étape 1 : repérer les données. Le prix de départ est 48 €. Le pourcentage de réduction est 25 %. On demande deux choses : le montant de la réduction et le prix payé après réduction.

Étape 2 : calculer la réduction. 25 % = 1/4, donc on calcule le quart de 48 €. On fait 48 ÷ 4 = 12. La réduction est donc de 12 €.

Étape 3 : calculer le prix final. Le prix final n’est pas 12 €. Le nombre 12 € représente seulement la somme enlevée. Pour trouver le prix payé, on soustrait la réduction au prix de départ : 48 € − 12 € = 36 €.

Phrase réponse : Le montant de la réduction est 12 €. Le prix payé après réduction est 36 €.

Vérification : Une réduction de 25 % enlève un quart du prix. Si on enlève 12 € à 48 €, il reste 36 €. Le prix final est bien inférieur au prix de départ. Il est aussi supérieur à la moitié du prix, car une réduction de 25 % est plus petite qu’une réduction de 50 %. Le résultat est donc raisonnable.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Calculer 25 % en divisant par 25. — À faire : Mémoriser que 25 % = 25/100 = 1/4, donc on divise par 4.
• Erreur : Donner le montant de la réduction au lieu du prix après réduction. — À faire : Lire la question jusqu’au bout et surligner les mots importants : montant de la réduction, nouveau prix, prix payé.
• Erreur : Penser que 75 % se calcule en divisant par 75. — À faire : Utiliser 75 % = 3/4, ou calculer 50 % + 25 %.
• Erreur : Oublier l’unité dans la réponse. — À faire : Écrire une phrase réponse avec l’unité : euros, élèves, cL, cahiers, mètres.
• Erreur : Obtenir un résultat plus grand que la grandeur de départ pour un pourcentage inférieur à 100 %. — À faire : Vérifier l’ordre de grandeur : 10 %, 25 %, 50 % et 75 % donnent une partie de la grandeur totale.
• Erreur : Confondre la grandeur de départ et la grandeur obtenue. — À faire : Identifier clairement le total de départ avant de calculer.
• Erreur : Ne pas distinguer « calculer 75 % » et « enlever 75 % ». — À faire : Dans une réduction, calculer d’abord ce qui est enlevé, puis soustraire si l’on demande le prix final.

10. À retenir

• Un pourcentage signifie « pour 100 ».
• Calculer un pourcentage d’une grandeur, c’est calculer une partie de cette grandeur.
• 10 % = un dixième : on divise par 10.
• 25 % = un quart : on divise par 4.
• 50 % = la moitié : on divise par 2.
• 75 % = trois quarts : on calcule un quart puis on multiplie par 3, ou on additionne 50 % et 25 %.
• Un pourcentage inférieur à 100 % d’une grandeur positive donne un résultat inférieur à cette grandeur.
• Dans une réduction, le pourcentage donne d’abord le montant enlevé, pas forcément le prix final.
• Il faut toujours écrire une phrase réponse avec l’unité adaptée.
• La méthode efficace est : je repère, j’applique, je vérifie.

Les quatre repères essentiels sont donc : 10 % = un dixième, 25 % = un quart, 50 % = la moitié et 75 % = trois quarts. Ces égalités permettent de calculer rapidement, souvent mentalement, de nombreux pourcentages de la vie courante.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les pourcentages simples en 6e.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau de pourcentages simples, lire une situation et calculer la quantité demandée, recomposer un pourcentage, écrire le calcul correspondant, puis résoudre des problèmes de réduction avec une phrase réponse.

• Exercice 1 : Compléter le tableau des pourcentages simples. Barème : 4 points.
• Exercice 2 : Lire une situation et calculer. Barème : 4 points.
• Exercice 3 : Recomposer un pourcentage, par exemple calculer 75 % avec 50 % + 25 %. Barème : 4 points.
• Exercice 4 : Écrire le calcul correct et le résultat avec l’unité. Barème : 4 points.
• Exercice 5 : Résoudre des problèmes de réduction en distinguant réduction et prix final. Barème : 4 points.

Pour réussir ces exercices, il est conseillé de toujours souligner la grandeur de départ et d’entourer le pourcentage. Ensuite, on écrit l’opération choisie. Enfin, on vérifie si le résultat est raisonnable. Cette démarche est conforme aux attendus de fin de cycle : comprendre le sens des nombres, utiliser des fractions simples et résoudre des problèmes issus de situations concrètes.

12. Questions fréquentes