La proportionnalité : reconnaître et calculer

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, une coopérative vend des cahiers identiques. On sait que 3 cahiers coûtent 6 €. Combien coûtent 5 cahiers ? Et 12 cahiers ? Peut-on répondre rapidement sans refaire une nouvelle affiche de prix à chaque fois ? Pour résoudre ce type de question, on utilise la proportionnalité. Cette notion est très importante en 6e, car elle sert dans de nombreuses situations de la vie quotidienne : prix et quantités, recettes de cuisine, distances sur une carte, vitesses constantes, agrandissements, réductions, conversions d’unités simples.

Dans l’exemple des cahiers, si 3 cahiers coûtent 6 €, alors 1 cahier coûte 2 €. Le prix est donc obtenu en multipliant le nombre de cahiers par 2. On peut écrire : prix = nombre de cahiers × 2. Le nombre 2 est ici le coefficient de proportionnalité. Si on achète 5 cahiers, on paie 5 × 2 = 10 €. Si on achète 12 cahiers, on paie 12 × 2 = 24 €. Le calcul est possible parce que le prix d’un cahier reste toujours le même.

Mais toutes les situations où les nombres augmentent ne sont pas proportionnelles. Par exemple, si un taxi demande 4 € de prise en charge puis 2 € par kilomètre, le prix augmente quand la distance augmente, mais il n’est pas obtenu uniquement en multipliant la distance par un même nombre. Pour 1 km, on paie 6 € ; pour 2 km, on paie 8 € ; pour 3 km, on paie 10 €. Les rapports prix ÷ distance ne sont pas les mêmes. Ce n’est donc pas une situation de proportionnalité.

L’objectif de cette leçon est d’apprendre à identifier une situation de proportionnalité, à utiliser un tableau de proportionnalité, à trouver un coefficient de proportionnalité, puis à calculer une valeur manquante appelée quatrième proportionnelle. La routine à retenir est simple : Je repère, j’applique, je vérifie.

2. Définition

Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. On peut écrire : grandeur 2 = grandeur 1 × k, où k est le coefficient de proportionnalité.

Une grandeur est une quantité que l’on peut mesurer ou compter : un prix en euros, une masse en kilogrammes, une longueur en centimètres, une durée en minutes, un nombre d’objets, une distance en kilomètres. Quand deux grandeurs sont proportionnelles, elles évoluent ensemble de manière multiplicative. Si on double la première grandeur, on double la deuxième. Si on triple la première, on triple la deuxième. Si on divise la première par 2, on divise aussi la deuxième par 2.

Le mot repère est proportionnalité, que l’on peut découper en syllabes : pro - por - tion - na - li - té. Exemple : si 3 cahiers coûtent 6 €, alors 1 cahier coûte 2 € et 5 cahiers coûtent 10 €. Le prix est toujours obtenu en multipliant le nombre de cahiers par 2 : c’est une situation de proportionnalité.

Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on passe d’une ligne à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. On dit aussi : on multiplie toute une ligne par le même nombre. Par exemple :

Dans ce tableau, la deuxième ligne s’obtient en multipliant la première par 2. Le coefficient de proportionnalité est donc 2.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un tableau de proportionnalité, on peut passer d’une ligne à l’autre en multipliant par un même coefficient. On peut aussi multiplier ou diviser une colonne par un nombre pour obtenir une autre colonne, à condition de faire la même opération sur les deux lignes.

En 6e, on utilise surtout trois propriétés pratiques de la proportionnalité.

Propriété 1 : le coefficient de proportionnalité. Si la deuxième grandeur s’obtient en multipliant la première par le même nombre, alors la situation est proportionnelle. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. Exemple : si des pommes coûtent 3 € le kilogramme, alors le prix est égal à la masse en kg × 3. Pour 2 kg, on paie 6 € ; pour 4 kg, on paie 12 € ; pour 0,5 kg, on paie 1,50 €.

Propriété 2 : le passage à l’unité. Pour calculer une valeur inconnue, on peut d’abord calculer la valeur correspondant à 1 unité, puis multiplier par la quantité demandée. C’est la méthode : calculer pour 1 puis pour la quantité demandée. Exemple : si 4 stylos coûtent 10 €, alors 1 stylo coûte 10 ÷ 4 = 2,50 €. Donc 7 stylos coûtent 7 × 2,50 = 17,50 €.

Propriété 3 : les relations entre colonnes. Dans un tableau de proportionnalité, si une colonne est multipliée par 3, l’autre ligne est aussi multipliée par 3. Si on ajoute deux colonnes de la première ligne, on peut ajouter les valeurs correspondantes de la deuxième ligne. Exemple : si 2 kg coûtent 6 € et 5 kg coûtent 15 €, alors 7 kg coûtent 6 + 15 = 21 €, car 7 = 2 + 5.

On appelle quatrième proportionnelle la valeur manquante d’un tableau proportionnel quand trois valeurs sont connues. Il s’agit de trouver la valeur manquante d’un tableau proportionnel. Le produit en croix peut parfois être évoqué, mais en 6e on privilégie le sens : coefficient, passage à l’unité et relations multiplicatives.

4. Démonstration

On veut comprendre pourquoi les méthodes de calcul fonctionnent. Prenons une situation proportionnelle : 6 bouteilles d’eau coûtent 9 €. Le prix est proportionnel au nombre de bouteilles, car chaque bouteille a le même prix. Pour trouver le prix d’une bouteille, on divise 9 par 6 : 9 ÷ 6 = 1,5. Une bouteille coûte donc 1,50 €. Le prix de n’importe quel nombre de bouteilles s’obtient en multipliant ce nombre par 1,5.

Si on note x le nombre de bouteilles et y le prix en euros, alors on peut écrire : y = x × 1,5. Le nombre 1,5 est le coefficient de proportionnalité. Pour 10 bouteilles, y = 10 × 1,5 = 15. Pour 4 bouteilles, y = 4 × 1,5 = 6. Ce raisonnement montre que la connaissance du prix pour 1 unité permet de calculer tous les autres prix.

Montrons aussi pourquoi une relation entre colonnes fonctionne. Si 2 bouteilles coûtent 3 € et 4 bouteilles coûtent 6 €, alors 6 bouteilles coûtent 9 €, car 6 bouteilles = 2 bouteilles + 4 bouteilles, et 9 € = 3 € + 6 €. Cela fonctionne parce que le prix de chaque bouteille est constant. On additionne des quantités de même nature et les prix correspondants.

Attention : cette propriété ne fonctionne pas dans une situation non proportionnelle. Supposons qu’un parc d’attractions demande 5 € d’entrée puis 2 € par ticket de manège. Pour 1 ticket, on paie 7 €. Pour 2 tickets, on paie 9 €. Pour 3 tickets, on paie 11 €. Les prix augmentent de 2 €, mais ils ne sont pas obtenus en multipliant le nombre de tickets par le même coefficient. Le rapport 7 ÷ 1 = 7, puis 9 ÷ 2 = 4,5, puis 11 ÷ 3 ≈ 3,67 : ce n’est pas constant. La proportionnalité exige une relation multiplicative stable, pas seulement une augmentation régulière.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les deux grandeurs. Je cherche ce que l’on compare : nombre d’objets et prix, masse et prix, distance et durée, quantité d’ingrédients et nombre de personnes. J’écris les unités pour ne pas mélanger les grandeurs.
2. Je vérifie si la situation semble proportionnelle. Je me demande si une grandeur s’obtient en multipliant l’autre par le même nombre. Si le prix unitaire, la vitesse, le tarif au kg ou la quantité par personne reste constant, la situation peut être proportionnelle.
3. Je construis un tableau. Je place une grandeur sur la première ligne et l’autre grandeur sur la deuxième ligne. Chaque colonne doit associer des valeurs qui vont ensemble.
4. Je cherche un coefficient de proportionnalité. Je calcule par exemple : grandeur 2 ÷ grandeur 1. Si le même résultat apparaît dans toutes les colonnes connues, le tableau est proportionnel.
5. J’applique une méthode adaptée. Je peux utiliser le coefficient de proportionnalité, le passage à l’unité ou une relation entre colonnes. En 6e, il est important de comprendre le sens avant d’utiliser une formule automatique.
6. Je calcule la valeur manquante. Si je connais le coefficient k, je fais grandeur 1 × k. Si je passe à l’unité, je divise d’abord pour trouver la valeur correspondant à 1, puis je multiplie.
7. Je vérifie le résultat. Je contrôle que l’ordre de grandeur est cohérent. Si j’achète plus d’objets, le prix doit être plus élevé dans une situation de prix constant. Je vérifie aussi que l’unité est correcte.
8. Je rédige une phrase-réponse. Une réponse sans unité est incomplète. J’écris par exemple : « 8 cahiers coûtent 16 € » ou « Il faut 300 g de farine ».

La routine à mémoriser est : 🔎 Je repère les grandeurs et le multiplicateur ; 🧮 j’applique le coefficient ou le passage à l’unité ; ✅ je vérifie que le même coefficient fonctionne dans tout le tableau.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : 1 kg de tomates coûte 3,20 €. Combien coûtent 4 kg de tomates ?

Analyse : Le prix dépend de la masse achetée. Le prix d’un kilogramme est toujours le même : 3,20 €. Il s’agit donc d’une situation de proportionnalité. On peut écrire : prix = masse × 3,20.

Calcul : 4 × 3,20 = 12,80.

Réponse : 4 kg de tomates coûtent 12,80 €.

Vérification : 4 kg, c’est 4 fois 1 kg. Le prix doit donc être 4 fois plus grand que 3,20 €. Le résultat 12,80 € est cohérent.

Dans cet exemple, on connaît directement le coefficient de proportionnalité : c’est le prix pour 1 kg. La méthode est donc rapide. Il faut cependant bien garder l’unité : le coefficient signifie ici « 3,20 € par kilogramme ».

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : 5 cahiers coûtent 12,50 €. Combien coûtent 8 cahiers ?

Analyse : On ne connaît pas directement le prix d’un cahier. On utilise donc le passage à l’unité. Si 5 cahiers coûtent 12,50 €, alors 1 cahier coûte 12,50 ÷ 5.

Étape 1 : calcul pour 1. 12,50 ÷ 5 = 2,50. Un cahier coûte 2,50 €.

Étape 2 : calcul pour 8. 8 × 2,50 = 20.

Réponse : 8 cahiers coûtent 20 €.

Vérification : Le coefficient de proportionnalité est 2,50. On vérifie : 5 × 2,50 = 12,50 et 8 × 2,50 = 20. Le même coefficient fonctionne bien.

On vient de calculer une quatrième proportionnelle : dans le tableau, trois valeurs étaient connues ou déduites, et il fallait trouver la valeur manquante correspondant à 8 cahiers. Cette méthode est très utile lorsque les nombres ne permettent pas une relation simple comme « doubler » ou « tripler ».

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Pour préparer une boisson fruitée pour 6 personnes, on utilise 900 mL de jus d’orange. Quelle quantité de jus faut-il pour 10 personnes, en gardant la même recette ?

Analyse : On suppose que chaque personne reçoit la même quantité de boisson. La quantité de jus est donc proportionnelle au nombre de personnes. On peut utiliser le passage à l’unité : calculer la quantité pour 1 personne, puis pour 10 personnes.

Étape 1 : pour 1 personne. 900 ÷ 6 = 150. Il faut 150 mL de jus par personne.

Étape 2 : pour 10 personnes. 10 × 150 = 1 500. Il faut donc 1 500 mL de jus.

Réponse : Pour 10 personnes, il faut 1 500 mL de jus d’orange, c’est-à-dire 1,5 L.

Vérification : Pour 6 personnes, 6 × 150 = 900 mL. Pour 10 personnes, 10 × 150 = 1 500 mL. Le coefficient est bien constant : 150 mL par personne.

Cet exemple montre que la proportionnalité est très utilisée dans les recettes. Si on change le nombre de personnes, il faut multiplier toutes les quantités par le même facteur. Si on ne le fait pas, la recette n’aura plus le même goût.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner toujours le même nombre au lieu de multiplier — À faire : comparer les rapports, par exemple prix ÷ quantité, pour vérifier qu’un même coefficient existe.
• Erreur : affirmer qu’un tableau est proportionnel après avoir vérifié une seule colonne — À faire : tester toutes les colonnes connues ou chercher un même coefficient partout.
• Erreur : oublier l’unité dans la réponse — À faire : écrire une phrase-réponse complète avec €, kg, km, min, mL ou l’unité adaptée.
• Erreur : se tromper dans les divisions avec des nombres décimaux — À faire : vérifier avec la multiplication inverse. Par exemple, si 12,50 ÷ 5 = 2,50, alors 2,50 × 5 doit redonner 12,50.
• Erreur : utiliser le produit en croix mécaniquement sans comprendre les grandeurs — À faire : revenir au tableau, identifier les lignes, les unités et le sens du coefficient.
• Erreur : confondre une situation additive avec une situation proportionnelle — À faire : se demander si l’on multiplie toujours par le même nombre, et non si l’on ajoute toujours la même quantité.

Un bon réflexe consiste à se poser la question : « Si la première grandeur vaut 0, la deuxième devrait-elle aussi valoir 0 ? » Dans beaucoup de situations proportionnelles, oui. Par exemple, si on achète 0 kg de pommes, on paie 0 €. Si on parcourt 0 km à vitesse constante, la durée est 0 h. En revanche, avec un abonnement ou un prix fixe de départ, la situation n’est souvent pas proportionnelle.

10. À retenir

• Deux grandeurs sont proportionnelles si l’une s’obtient en multipliant l’autre par un même nombre.
• Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
• On peut écrire : grandeur 2 = grandeur 1 × k.
• Dans un tableau de proportionnalité, on multiplie toute une ligne par le même nombre pour obtenir l’autre ligne.
• Le passage à l’unité consiste à calculer d’abord la valeur pour 1, puis à multiplier par la quantité demandée.
• Une quatrième proportionnelle est une valeur manquante dans un tableau proportionnel lorsque trois valeurs sont connues.
• Il ne suffit pas que les nombres augmentent pour qu’il y ait proportionnalité.
• Pour vérifier, on calcule des rapports comme prix ÷ quantité ou distance ÷ durée et on regarde s’ils sont égaux.
• La réponse doit toujours être accompagnée d’une unité et d’une phrase claire.

La proportionnalité est une notion de base du programme de mathématiques du cycle 3. En 6e, on apprend surtout à reconnaître les situations, à organiser les données dans un tableau, à utiliser le coefficient de proportionnalité et à calculer une valeur manquante avec des méthodes compréhensibles.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « La proportionnalité : reconnaître et calculer (6e) » avec corrigé et barème.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter ou refuser un tableau, reconnaître les situations proportionnelles, remettre la méthode dans l’ordre, calculer une quatrième proportionnelle, transformer un énoncé en tableau. Ces exercices permettent de travailler à la fois le calcul, la compréhension des grandeurs et la justification.

Exemples de consignes possibles : « Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie ta réponse », « Complète la valeur manquante », « Calcule d’abord le prix pour 1 objet », « Écris le coefficient de proportionnalité », « Transforme l’énoncé en tableau puis réponds à la question ».

Barème indicatif sur 20 points : reconnaître une situation proportionnelle, 4 points ; justifier avec un coefficient ou un contre-exemple, 4 points ; compléter correctement un tableau, 4 points ; calculer une quatrième proportionnelle, 6 points ; présenter clairement les calculs et les unités, 2 points. Pour réussir, il ne faut pas seulement donner un nombre : il faut montrer la méthode, indiquer les unités et vérifier la cohérence du résultat.

12. Questions fréquentes