Symétrie axiale : axe et symétrique d'une figure

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on veut décorer une affiche avec un papillon, un masque ou un logo parfaitement équilibré. Une moitié est déjà dessinée, et il faut construire l’autre moitié pour que les deux parties se superposent exactement si l’on plie la feuille le long d’une droite. Comment placer les nouveaux points ? Comment être sûr que la figure obtenue est bien l’image de la première ? Cette question conduit à la notion de symétrie axiale, très utilisée en géométrie de 6e.

En classe de 6e, l’objectif est double : construire l’image d’une figure par symétrie axiale et identifier les axes de symétrie d’une figure. On apprend à utiliser la règle graduée, l’équerre et parfois le compas ou le papier calque. La symétrie axiale est aussi une transformation géométrique : elle associe à chaque point un point image, situé de l’autre côté d’une droite appelée axe de symétrie.

Le mot repère est miroir. On peut le découper en syllabes : mi-roir. Dans une symétrie axiale, l’axe joue le rôle d’un miroir. Si un point A est à 3 cm de l’axe, son image A' est aussi à 3 cm de l’axe, mais de l’autre côté. Cette image est « retournée » : la figure garde la même forme et les mêmes dimensions, mais son orientation est inversée comme dans un miroir.

2. Définition

Définition : Deux points M et M' sont symétriques par rapport à une droite d lorsque d est la médiatrice du segment [MM']. Cela signifie que d coupe [MM'] en son milieu et que d est perpendiculaire à [MM']. Si M est sur la droite d, alors son symétrique par rapport à d est M lui-même.

La droite d est appelée axe de symétrie. On dit aussi que M' est l’image de M par la symétrie d’axe d. La phrase importante à connaître est : M et M' sont symétriques par rapport à d. En majuscules, on peut retenir : POINTS SYMÉTRIQUES.

Une figure F' est l’image d’une figure F par symétrie axiale si chaque point de F' est le symétrique d’un point correspondant de F par rapport au même axe. Pour construire l’image d’un triangle ABC, on construit les images A', B' et C' des sommets A, B et C, puis on relie A', B' et C' dans le même ordre.

Une droite est un axe de symétrie d’une figure si, en pliant la figure le long de cette droite, les deux parties se superposent exactement. Par exemple, un rectangle possède deux axes de symétrie : les droites passant par les milieux de deux côtés opposés. Un carré possède quatre axes de symétrie : deux droites passant par les milieux de côtés opposés et deux diagonales.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si M' est le symétrique de M par rapport à une droite d, alors la droite d est la médiatrice du segment [MM']. Donc d est perpendiculaire à [MM'] et passe par son milieu.

Théorème : La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les alignements, les milieux, les périmètres et les aires. Une figure et son image par symétrie axiale sont superposables.

La phrase clé est : la symétrie conserve les longueurs, les angles et les alignements. En majuscules, on retient : CONSERVATION. Ainsi, si AB = 5 cm, alors A'B' = 5 cm. Si les points A, B et C sont alignés, alors leurs images A', B' et C' sont aussi alignées. Si un angle mesure 40°, son image mesure également 40°.

Autre propriété essentielle : les points situés sur l’axe ne bougent pas. On les appelle des points invariants. Si A appartient à l’axe d, alors A' = A. Cette propriété est très utile dans les constructions : il ne faut jamais déplacer un sommet placé exactement sur l’axe.

Enfin, une symétrie axiale ne change pas les dimensions d’une figure, mais elle inverse son orientation. Une flèche tournée vers la droite peut devenir une flèche tournée vers la gauche. Une lettre comme F ou R ne se superpose pas forcément à son image sans retournement. C’est pour cela que l’image obtenue ressemble à ce que l’on voit dans un miroir.

4. Démonstration

On justifie la construction d’un point image à partir de la définition de la médiatrice. Soit une droite d et un point A qui n’est pas situé sur d. Pour construire le symétrique A' de A, on trace d’abord la droite perpendiculaire à d passant par A. Cette perpendiculaire coupe d en un point H. Le point H est appelé le pied de la perpendiculaire.

Ensuite, on place A' sur cette même perpendiculaire, de l’autre côté de d, de façon que HA' = HA. On obtient donc trois points alignés A, H et A', avec H entre A et A'. Comme AH = HA', H est le milieu de [AA']. De plus, la droite d est perpendiculaire à [AA'] puisque [AA'] est porté par la perpendiculaire à d.

La droite d passe donc par le milieu de [AA'] et elle est perpendiculaire à [AA']. Par définition, d est la médiatrice de [AA']. En majuscules, on retient : MÉDIATRICE. On peut donc conclure que A et A' sont symétriques par rapport à d.

Cette démonstration explique pourquoi on ne peut pas simplement « déplacer » un point horizontalement ou verticalement sans tenir compte de l’axe. Le segment qui relie un point à son image doit être perpendiculaire à l’axe. L’égalité des distances doit être mesurée à partir du pied H, et non à partir d’un autre point de la droite.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir une construction de symétrie axiale, on peut appliquer la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. 👀 Je repère : j’identifie l’axe de symétrie et les points importants de la figure à transformer. Pour un polygone, je repère les sommets. Pour une figure plus complexe, je repère les points de construction utiles.
2. 📐 J’applique : pour chaque point A, je trace la perpendiculaire à l’axe passant par A. Cette droite coupe l’axe en H. Puis je reporte la même distance de l’autre côté : AH = HA'.
3. Je place les images : je nomme clairement les points images avec une apostrophe : A devient A', B devient B', C devient C'. Si un point est sur l’axe, il reste au même endroit.
4. Je relie dans l’ordre : une fois tous les points images construits, je relie les images dans le même ordre que les points de départ. Si la figure initiale est ABCD, l’image est A'B'C'D'.
5. ✅ Je vérifie : je contrôle que l’axe est la médiatrice du segment reliant chaque point et son image. Je vérifie donc que le segment [AA'] est perpendiculaire à l’axe et que l’axe coupe [AA'] en son milieu.

Pour être précis, il faut utiliser les instruments adaptés : l’équerre pour les perpendiculaires, la règle graduée ou le compas pour reporter les distances. Une construction à main levée peut aider à comprendre, mais elle ne suffit pas pour une réponse géométrique rigoureuse.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : construire le symétrique du point A par rapport à une droite d. Le point A n’est pas sur d et se trouve à 2 cm de cette droite.

Résolution : on commence par tracer la perpendiculaire à la droite d passant par A. Elle coupe d en H. On mesure la distance AH : elle vaut 2 cm. De l’autre côté de la droite d, sur la même perpendiculaire, on place le point A' tel que HA' = 2 cm.

On obtient alors A, H et A' alignés. Le point H est le milieu du segment [AA'] car AH = HA'. La droite d est perpendiculaire à [AA'] car on a construit [AA'] sur une perpendiculaire à d. Donc d est la médiatrice de [AA'].

Conclusion : A' est bien le symétrique de A par rapport à d. La vérification importante est double : même distance à l’axe et position de l’autre côté de l’axe. Si A est à 2 cm de d, alors A' est aussi à 2 cm de d.

Cette construction est le modèle de base pour toutes les autres. Pour construire l’image d’une figure, on répète cette méthode pour chacun des points importants. On peut imaginer que la droite d est un miroir : le point image est en face du point de départ, à la même distance du miroir.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : on donne deux points B et B'. On veut construire l’axe de symétrie qui transforme B en B'.

Résolution : si B et B' sont symétriques par rapport à une droite d, alors d est la médiatrice du segment [BB']. Il faut donc construire la médiatrice de [BB']. On commence par tracer le segment [BB']. Puis on cherche son milieu I. On peut le trouver avec la règle graduée : si BB' = 6 cm, alors BI = IB' = 3 cm.

Ensuite, on trace la droite perpendiculaire à [BB'] passant par I. Cette droite est la médiatrice de [BB']. Elle est donc l’axe de symétrie recherché. On peut la nommer d.

Vérification : la droite d coupe [BB'] en son milieu I et elle est perpendiculaire à [BB']. Elle respecte donc exactement la définition de la médiatrice. Par conséquent, B et B' sont symétriques par rapport à d.

Ce cas inverse est important : parfois, on ne demande pas de construire l’image d’un point, mais de retrouver l’axe. Il faut alors penser immédiatement au mot médiatrice. L’axe n’est pas une droite quelconque placée entre les deux points : il doit être au milieu et perpendiculaire au segment reliant le point et son image.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Léa dessine la moitié gauche d’un papillon sur une feuille quadrillée. Le corps du papillon est placé sur une droite verticale d. Elle veut construire la moitié droite par symétrie axiale d’axe d. La moitié gauche contient trois points importants : A, B et C. Le point A est à 1 carreau de l’axe, B à 3 carreaux et C à 2 carreaux. Le point D, situé sur le corps du papillon, appartient à l’axe.

Résolution : l’axe d joue le rôle du miroir. Pour le point A, on compte 1 carreau jusqu’à l’axe, puis on reporte 1 carreau de l’autre côté sur la même ligne perpendiculaire à l’axe. On obtient A'. Pour B, on reporte 3 carreaux de l’autre côté de d, ce qui donne B'. Pour C, on reporte 2 carreaux et on place C'.

Le point D est sur l’axe. Son symétrique est donc lui-même : D' = D. Il ne faut pas le déplacer. Une fois A', B', C' et D' placés, on relie les points images dans le même ordre que sur la moitié de départ. Le contour obtenu est la moitié droite du papillon.

Conclusion : la figure image a les mêmes longueurs et les mêmes angles que la figure initiale. Les deux moitiés se superposeraient si l’on pliait la feuille le long de l’axe d. La symétrie axiale permet donc de construire une figure équilibrée avec précision.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : placer le point image du mauvais côté de l’axe — À faire : se rappeler que l’axe joue le rôle d’un miroir ; utiliser un pliage ou du papier calque pour visualiser le retournement.
• Erreur : obtenir des distances à l’axe qui ne sont pas égales — À faire : marquer le pied de la perpendiculaire H et vérifier AH = HA'.
• Erreur : tracer une parallèle à l’axe au lieu d’une perpendiculaire — À faire : retenir que l’axe est la médiatrice de [AA'], donc perpendiculaire au segment reliant le point et son image.
• Erreur : déplacer un point situé sur l’axe — À faire : retenir qu’un point placé sur l’axe est invariant : son image est lui-même.
• Erreur : construire une figure image qui n’a pas la même forme que la figure initiale — À faire : construire les images point par point, puis relier les points dans l’ordre correspondant.

Une autre erreur fréquente consiste à oublier les noms des points images. En géométrie, la notation est importante : si A est transformé, son image se note A'. Cela permet de lire facilement la construction et de justifier les propriétés utilisées.

10. À retenir

• Un axe de symétrie est une droite qui partage une figure en deux parties superposables par pliage.
• Deux points M et M' sont symétriques par rapport à d lorsque d est la médiatrice de [MM'].
• Pour construire l’image A' d’un point A, on trace la perpendiculaire à l’axe passant par A, puis on reporte la même distance de l’autre côté.
• Si un point est situé sur l’axe de symétrie, il ne bouge pas : son image est lui-même.
• La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les alignements, les milieux, les périmètres et les aires.
• Une figure et son image par symétrie axiale sont superposables, mais leur orientation est inversée comme dans un miroir.
• Pour construire le symétrique d’une figure, on construit d’abord les images des points importants, puis on relie les points images dans le même ordre.

Les mots à maîtriser sont : axe de symétrie, points symétriques, médiatrice, perpendiculaire, milieu, image et conservation. Ces mots permettent d’expliquer une construction avec un vocabulaire géométrique adapté.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Symétrie axiale 6e : reconnaître, construire, justifier » avec corrigé et barème. Les exercices permettent de s’entraîner progressivement à reconnaître un axe de symétrie, à construire l’image d’un point ou d’une figure, et à utiliser le vocabulaire géométrique attendu en 6e.

Aperçu des types d’exercices proposés : Reconnaître un axe de symétrie, Vrai ou faux sur la symétrie axiale, Remettre les étapes dans l’ordre, Coder une construction, Construire le symétrique d’une figure. Certains exercices se font sur papier quadrillé, d’autres sur papier blanc avec règle graduée et équerre.

Barème possible sur 20 points : reconnaissance correcte des axes de symétrie, 4 points ; connaissance des propriétés de la symétrie axiale, 4 points ; ordre et clarté des étapes de construction, 3 points ; précision des constructions avec les instruments, 6 points ; justification avec vocabulaire géométrique adapté, 3 points.

Pour réussir, il faut toujours laisser les traits de construction utiles : perpendiculaires, pieds sur l’axe, distances reportées. Un dessin propre et codé vaut mieux qu’une figure approximative. Les codages d’égalité de longueurs et d’angles droits aident à montrer que la définition est respectée.

12. Questions fréquentes