Théorème de Thalès : cours complet 3ème
Le théorème de Thalès : cours complet pour la 3ème
Le théorème de Thalès est l'un des piliers du programme de mathématiques en 3ème. Il permet de calculer des longueurs dans des figures géométriques à partir de droites parallèles. Cette leçon complète t'explique le théorème, sa réciproque, la méthode de rédaction et les configurations classiques (triangle et papillon).
- Enoncer et appliquer le théorème de Thalès
- Utiliser la réciproque du théorème de Thalès
- Rédiger correctement une démonstration avec Thalès
- Reconnaitre les configurations triangle et papillon
1. Enoncé du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès s'applique lorsque deux droites parallèles coupent deux droites sécantes.
Soit deux droites (d) et (d') sécantes en un point A.
Si une droite (BC) est parallèle à une droite (DE), avec B et D sur (d), C et E sur (d'), alors :
AB/AD = AC/AE = BC/DE
En clair : quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, elles découpent des segments proportionnels. C'est cette proportionnalité qui permet de calculer des longueurs inconnues.
2. La formule du théorème de Thalès
La formule de Thalès s'écrit sous forme de rapports égaux. Dans un triangle ABC ou une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en M et (AC) en N :
Ces trois rapports sont toujours égaux. Connaitre deux longueurs dans chaque rapport suffit pour calculer la troisième.
Exemple concret
Dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC] tels que (MN) est parallèle à (BC).
- AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm
- On cherche AN.
D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC
Donc : 3/5 = AN/7
AN = 3 x 7 / 5 = 4,2 cm
3. Les deux configurations du théorème de Thalès
Configuration en triangle
C'est la configuration la plus courante. Le point de croisement des sécantes (le sommet) est à l'extérieur du segment formé par les parallèles. Les points M et N sont entre A et les sommets B et C.
Configuration en papillon (ou en sablier)
Dans la configuration papillon du théorème de Thalès, le point de croisement est entre les deux droites parallèles. Les segments se croisent au point A, formant un X.
4. Comment rédiger avec le théorème de Thalès
La rédaction du théorème de Thalès est un exercice classique au brevet. Voici le modèle à suivre, étape par étape :
- Identifier la configuration : nommer les points et la figure (triangle ou papillon)
- Vérifier les conditions : écrire que les droites sont sécantes en un point et qu'une droite est parallèle à l'autre
- Enoncer le théorème : « D'après le théorème de Thalès... » suivi des rapports égaux
- Calculer : remplacer par les valeurs numériques et effectuer le calcul
Exemple de rédaction complète
Données : Dans la figure ci-dessous, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés. AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 3 cm, BC = 9 cm.
Calculer AC et MN.
Les droites (AM) et (AN) sont sécantes en A.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
4/6 = 3/AC = MN/9
Pour AC : 4/6 = 3/AC donc AC = 3 x 6 / 4 = 4,5 cm
Pour MN : 4/6 = MN/9 donc MN = 4 x 9 / 6 = 6 cm
5. La réciproque du théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si :
AM/AB = AN/AC
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Exemple d'utilisation de la réciproque
A, M, B sont alignés. A, N, C sont alignés. AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5.
Calculons les rapports :
AM/AB = 2/5 = 0,4
AN/AC = 3/7,5 = 0,4
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
6. A quoi sert le théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès a de nombreuses applications concrètes :
- Calculer des distances inaccessibles : hauteur d'un batiment, largeur d'une rivière
- Les plans et les échelles : cartes, maquettes, agrandissements et réductions
- La construction : tracer des parallèles, diviser un segment en parties égales
- Le brevet des collèges : exercice incontournable de l'épreuve de mathématiques
7. Fiche de révision — L'essentiel à retenir
| Element | A retenir |
|---|---|
| Théorème direct | Droites parallèles + sécantes = segments proportionnels |
| Formule | AM/AB = AN/AC = MN/BC |
| Réciproque | Rapports égaux + même ordre = droites parallèles |
| Configuration triangle | Sommet à l'extérieur des parallèles |
| Configuration papillon | Sommet entre les parallèles |
| Rédaction brevet | 4 étapes : config, conditions, enoncé, calcul |
Pour aller plus loin
Maintenant que tu maitrises le cours, entraine-toi avec nos exercices corrigés sur le théorème de Thalès pour le brevet. Tu peux aussi revoir le théorème de Pythagore qui est souvent combiné avec Thalès dans les exercices du brevet.
