Médiatrice d'un segment

1. Introduction et problématique

Situation-problème : deux élèves, Lina et Sami, habitent dans deux maisons représentées par les points A et B sur un plan. La mairie veut installer une fontaine à un endroit qui soit exactement à la même distance des deux maisons. Où peut-on placer cette fontaine ? Au début, on peut penser qu’il n’existe qu’un seul emplacement : le milieu du segment [AB]. En réalité, il existe une infinité de points situés à la même distance de A et de B. Tous ces points sont alignés sur une droite particulière : la médiatrice du segment [AB].

En classe de 6e, la médiatrice d’un segment est une notion importante de géométrie. Elle permet de relier plusieurs idées déjà rencontrées : le segment, son milieu, la perpendicularité, la construction au compas et l’égalité de distances. Elle sert aussi à apprendre à justifier une affirmation en géométrie. Par exemple, si un point P appartient à la médiatrice de [AB], on peut conclure que PA = PB. Inversement, si PA = PB, alors le point P appartient à la médiatrice de [AB].

Dans cette leçon, l’objectif est de savoir reconnaître, construire et caractériser la médiatrice d’un segment au compas et à l’équerre. On retiendra quatre expressions essentielles : médiatrice d’un segment, droite perpendiculaire au segment en son milieu, points équidistants des extrémités et construction au compas. En majuscules, on peut les repérer ainsi : MÉDIATRICE, PERPENDICULAIRE, ÉQUIDISTANT, COMPAS.

2. Définition

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

Soit un segment [AB]. Pour qu’une droite soit la médiatrice de [AB], deux conditions doivent être vérifiées en même temps. Premièrement, elle doit passer par le milieu du segment [AB]. Deuxièmement, elle doit être perpendiculaire à la droite (AB). Si une droite passe seulement par le milieu mais n’est pas perpendiculaire, ce n’est pas la médiatrice. Si une droite est perpendiculaire à (AB) mais ne passe pas par le milieu de [AB], ce n’est pas non plus la médiatrice.

Le mot médiatrice contient l’idée de « milieu ». Mais attention : la médiatrice n’est pas le milieu. Le milieu est un point. La médiatrice est une droite. Elle contient une infinité de points. Chaque point de cette droite a une propriété remarquable : il est à la même distance de A et de B.

Le mot repère est équidistant. On peut le découper en syllabes : é - qui - dis - tant. Deux distances sont égales quand un point est équidistant de deux autres points. Exemple : si PA = 4 cm et PB = 4 cm, alors le point P est équidistant de A et de B.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des deux extrémités de ce segment.

Pour le segment [AB], cela signifie : si un point P est sur la médiatrice de [AB], alors PA = PB. Cette propriété est très utile pour justifier une égalité de longueurs sans mesurer. On n’a pas besoin de sortir la règle graduée : l’appartenance à la médiatrice suffit.

Théorème réciproque : Si un point est équidistant des deux extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Pour le segment [AB], cela signifie : si PA = PB, alors P est sur la médiatrice de [AB]. Cette réciproque est importante pour reconnaître qu’un point appartient à une médiatrice. Elle explique aussi pourquoi la construction au compas fonctionne. Quand on trace un arc de cercle de centre A et un arc de cercle de centre B avec la même ouverture, leurs points d’intersection sont à la même distance de A et de B. Ils appartiennent donc à la médiatrice de [AB].

On peut retenir une phrase simple : la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Cette phrase est une caractérisation : elle permet à la fois de reconnaître la médiatrice et de l’utiliser pour démontrer des égalités de distances.

4. Démonstration

On explique pourquoi tout point de la médiatrice de [AB] est à la même distance de A et de B. Soit O le milieu de [AB]. La médiatrice de [AB] est la droite qui passe par O et qui est perpendiculaire à [AB]. Prenons un point P sur cette médiatrice. On veut montrer que PA = PB.

Comme O est le milieu de [AB], on a OA = OB. Comme la médiatrice est perpendiculaire à [AB], les angles PÔA et PÔB sont droits. Les triangles POA et POB sont donc deux triangles rectangles. Ils ont le côté [PO] en commun, et ils ont aussi OA = OB. Les deux triangles sont superposables : ils ont un côté de même longueur, un autre côté commun, et l’angle compris est droit. On en déduit que les longueurs PA et PB sont égales.

Cette démonstration montre le lien entre la définition et la propriété d’équidistance. La médiatrice n’est pas seulement une droite « bien placée » sur la figure : elle donne une information de distance. La réciproque s’explique de façon intuitive avec le compas. Si un point P vérifie PA = PB, alors P est sur le cercle de centre A passant par P et aussi sur le cercle de centre B passant par P, avec le même rayon. Les points qui respectent cette égalité se placent sur la droite perpendiculaire à [AB] en son milieu : la médiatrice.

Au collège, on ne demande pas toujours une démonstration longue, mais il faut savoir rédiger une justification courte : « P appartient à la médiatrice de [AB], donc PA = PB. » ou « PA = PB, donc P appartient à la médiatrice de [AB]. »

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : j’identifie le segment [AB] et ses deux extrémités A et B. Je vérifie que les lettres sont bien placées sur la figure.
2. Je choisis une ouverture de compas : j’ouvre le compas avec un rayon supérieur à la moitié de la longueur AB. Si l’ouverture est trop petite, les arcs de cercle ne se couperont pas.
3. Je trace depuis A : sans changer l’écartement, je place la pointe du compas sur A et je trace deux arcs, l’un au-dessus du segment et l’autre au-dessous.
4. Je trace depuis B : je garde exactement la même ouverture de compas, je place la pointe sur B et je trace deux arcs qui coupent les premiers.
5. Je nomme les intersections : les arcs se coupent en deux points, par exemple P et Q. Ces deux points sont équidistants de A et de B.
6. Je trace la droite : avec la règle, je trace la droite (PQ). Cette droite est la médiatrice du segment [AB].
7. Je vérifie : la droite (PQ) coupe [AB] en son milieu et elle est perpendiculaire à [AB]. Je peux vérifier la perpendicularité avec l’équerre.
8. Je conclus : j’écris une phrase complète : « La droite (PQ) est la médiatrice du segment [AB]. »

La routine à mémoriser est : Je repère / J’applique / Je vérifie. 👀 Je repère le segment [AB] et ses extrémités. 🧭 J’applique la construction au compas avec deux arcs de même rayon depuis A et depuis B. ✅ Je vérifie que la droite obtenue coupe [AB] en son milieu et perpendiculairement.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : on donne un segment [AB]. Une droite d passe par le milieu O de [AB] et elle est perpendiculaire à [AB]. Que peut-on dire de la droite d ?

Solution : pour reconnaître une médiatrice, on vérifie les deux conditions de la définition. La droite d passe par le milieu O de [AB]. Elle est aussi perpendiculaire à [AB]. Les deux conditions sont donc réunies.

Conclusion : la droite d est la médiatrice du segment [AB].

On peut ensuite utiliser la propriété d’équidistance. Si un point P appartient à la droite d, alors P appartient à la médiatrice de [AB]. Donc PA = PB. Par exemple, si on sait que P est sur d et que PA = 5 cm, on peut conclure que PB = 5 cm sans mesurer.

Ce premier exemple est un cas direct : on part de la définition de la médiatrice pour identifier la droite. Il faut faire attention à ne pas oublier une condition. Dire seulement « d passe par le milieu » ne suffit pas. Dire seulement « d est perpendiculaire au segment » ne suffit pas non plus. Une bonne rédaction de 6e peut être : « La droite d passe par le milieu de [AB] et elle est perpendiculaire à [AB], donc d est la médiatrice de [AB]. »

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : on sait que le point P vérifie PA = PB. Que peut-on dire du point P par rapport au segment [AB] ?

Solution : l’égalité PA = PB signifie que le point P est à la même distance de A et de B. On dit que P est équidistant des extrémités A et B du segment [AB]. Or, la propriété réciproque dit que si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Conclusion : le point P appartient à la médiatrice du segment [AB].

Exemple numérique : si PA = 4 cm et PB = 4 cm, alors PA = PB. Le point P est donc sur la médiatrice de [AB]. Il n’est pas nécessaire que P soit sur le segment [AB]. Il peut être au-dessus, au-dessous ou ailleurs sur la droite médiatrice.

Ce cas inverse est souvent plus difficile parce qu’on ne voit pas forcément la médiatrice dessinée. Il faut raisonner à partir des distances. La phrase clé est : « Comme PA = PB, le point P est équidistant de A et de B ; donc P appartient à la médiatrice de [AB]. » Cette phrase doit être rédigée clairement, car elle montre que l’on utilise bien la propriété d’équidistance.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : sur un plan, deux villages sont représentés par les points A et B. On veut construire un arrêt de bus qui soit à la même distance des deux villages. Comment trouver tous les emplacements possibles ?

Solution : les emplacements cherchés doivent être équidistants de A et de B. On cherche donc tous les points P tels que PA = PB. D’après la propriété de la médiatrice, l’ensemble de ces points est la médiatrice du segment [AB]. Il faut donc construire la médiatrice de [AB].

Construction : on trace le segment [AB]. On ouvre le compas avec une ouverture supérieure à la moitié de AB. On trace deux arcs de cercle de centre A, puis deux arcs de cercle de centre B en gardant la même ouverture. Les arcs se coupent en deux points, que l’on appelle M et N. On trace la droite (MN). Cette droite est la médiatrice de [AB].

Interprétation : n’importe quel point choisi sur la droite (MN) est à la même distance du village A et du village B. Si l’arrêt de bus est placé sur cette droite, il respecte la condition demandée. Si on impose en plus une contrainte, par exemple être près d’une route, il faudra choisir le point de la médiatrice qui convient le mieux sur le plan.

Conclusion rédigée : « Les emplacements possibles de l’arrêt de bus sont les points de la médiatrice du segment [AB], car ce sont exactement les points équidistants de A et de B. »

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : tracer une droite passant par le milieu mais non perpendiculaire — À faire : vérifier que les deux conditions sont réunies : milieu et perpendiculaire.
• Erreur : tracer des arcs de cercle qui ne se coupent pas — À faire : ouvrir le compas avec un rayon supérieur à la moitié de AB.
• Erreur : modifier l’ouverture du compas entre les arcs tracés depuis A et ceux tracés depuis B — À faire : garder exactement la même ouverture pour obtenir des points équidistants.
• Erreur : confondre la médiatrice et le milieu — À faire : se rappeler que le milieu est un point, tandis que la médiatrice est une droite.
• Erreur : affirmer que PA = PB sans justification — À faire : écrire : « P est sur la médiatrice de [AB], donc PA = PB. »
• Erreur : croire que la médiatrice doit forcément être verticale sur la feuille — À faire : observer que son orientation dépend de celle du segment [AB]. Elle est toujours perpendiculaire au segment.
• Erreur : utiliser seulement la règle graduée pour mesurer approximativement — À faire : privilégier la construction au compas, plus précise et conforme à la propriété géométrique.

10. À retenir

• La médiatrice d’un segment est une droite.
• Elle est perpendiculaire au segment et passe par son milieu.
• Pour le segment [AB], la médiatrice coupe [AB] en son milieu.
• Tout point situé sur la médiatrice de [AB] est à la même distance de A et de B.
• Si un point P est sur la médiatrice de [AB], alors PA = PB.
• Si PA = PB, alors P appartient à la médiatrice de [AB].
• La médiatrice peut se construire au compas sans mesurer la longueur du segment.
• Pour construire correctement, il faut garder la même ouverture de compas depuis A et depuis B.
• Le mot équidistant signifie « à la même distance ».
• Une rédaction correcte utilise les mots : milieu, perpendiculaire, médiatrice, équidistant.

Phrase bilan : La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points équidistants de A et de B.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices sur la médiatrice d’un segment en 6e. Le document peut contenir des activités de reconnaissance, de construction et de rédaction. Les exercices permettent de s’entraîner progressivement : identifier une médiatrice sur une figure, compléter des phrases de justification, construire une médiatrice au compas, vérifier une perpendicularité à l’équerre, puis utiliser la propriété d’équidistance dans de petits problèmes.

Aperçu des types d’exercices proposés : Reconnaître les propriétés, Vrai ou faux ?, Remettre la construction dans l’ordre, Écrire une conclusion, Utiliser la propriété.

Barème possible sur 20 points : reconnaissance des propriétés de la médiatrice, 4 points ; construction correcte au compas, 5 points ; utilisation de l’équerre pour vérifier la perpendicularité, 3 points ; utilisation de la propriété d’équidistance, 5 points ; rédaction claire des conclusions, 3 points.

Exemple de consigne : « Trace un segment [AB] de longueur 6 cm. Construis sa médiatrice au compas. Appelle O le point d’intersection entre la médiatrice et [AB]. Que peux-tu dire de O ? Place un point P sur la médiatrice et complète : PA … PB. Justifie. » Une réponse attendue serait : « O est le milieu de [AB]. Comme P appartient à la médiatrice de [AB], alors PA = PB. »

12. Questions fréquentes